量子力学中的力学量

量子力学中的力学量第1页，共31页，2023年，2月20日，星期四一般力学量的算符：二：力学量的算符前面已知的算符例子：动量算符能量算符自由粒子的能量算符，或动能算符哈密顿算符1，利用自由粒子的波函数得到动量和能量算符，再设坐标算符就是坐标本身；2，力学量的其他算符，可以由其经典形式得出：设力学量F，其经典表达式为F=F(r,p)，则对应算符为第2页，共31页，2023年，2月20日，星期四角动量算符经典力学中，动量为p，坐标r的粒子，绕坐标原点O的角动量：L=r×p，则量子力学中，对应的角动量算符为：（注意区别其中i，分别表示虚数单位和x方向单位矢量）考虑总角动量与分量之间的关系：等等。经典力学中没有，而量子力学中特有的力学量（例如自旋），则通过另外的方法引入。第3页，共31页，2023年，2月20日，星期四三：算符的一般性质和运算规则1：算符的和：称为算符的和。

交换律：加法结合律：2：算符的积：一般不满足交换律：例如：即：交换后不相等。第4页，共31页，2023年，2月20日，星期四3：算符的对易式：

定义对易式：则2中的结果可以表示成：同样：而：一般情况写成：——量子力学的基本对易式其中——离散Dirac函数第5页，共31页，2023年，2月20日，星期四四：算符和力学量之间的关系：前面已经求解了两个定态问题（一维无限深势阱和一维线性谐振子），其共同特征是求解定态薛定谔方程：一维无限深势阱：第6页，共31页，2023年，2月20日，星期四一维线性谐振子：量子力学认为：当体系处于哈密顿算符的本征态ψn时，算符所对应的本征值E有确定值En。由此总结出下面的假定（量子力学的基本假设之一）：（思考）如果体系状态不是该力学量算符的本征态，那么力学量的值应该是多少？第7页，共31页，2023年，2月20日，星期四五：厄密算符：1，厄密算符的本征值是实数：定义：如果对于任意两个函数ψ和φ，有算符满足等式则称为厄密算符。积分范围是所有变量变化的整个区域。证明：由于ψ和φ的任意性，可以取φ=ψ，且为厄密算符的本征函数，对应的本征值为λ，则上面的式子左边为：而右边为：即：可知λ为实数。第8页，共31页，2023年，2月20日，星期四说明：1)，厄密算符的本征值为实数；2)，表示力学量的算符为厄密算符，才能使对应的本征值（即力学量的值）为实数。2，厄密算符的属于不同本征值的本征函数相互正交：1)，正交性：如果两个不同的函数ψ1

和ψ2

满足关系式：称ψ1

和ψ2

相互正交。式中的积分是对变量变化的全部区域进行的。2)，厄密算符的本征函数之间相互正交。证明：设厄密算符F，其本征值为λ1

，λ2

，…，λn

，…，且都不相等，对应的本征函数为φ1

，φ2

，…，φn

，…，任意取两个本征方程：第9页，共31页，2023年，2月20日，星期四则有：厄密算符的定义式：左边：右边：即：第10页，共31页，2023年，2月20日，星期四由于通常φk

还是归一化的，即：所以上面的结论可以写成：——本征函数的正交归一化条件。如果算符的本征值组成连续谱，则上述条件可以写成：满足上述正交归一化条件的函数系φk

（分立谱）或φλ

（连续谱）称为正交归一系。第11页，共31页，2023年，2月20日，星期四第2节动量算符和角动量算符本节介绍常见的力学量：动量和角动量算符的一些性质。一：动量算符：三维：一维：本征方程：1，本征值px为任意实数，连续谱。2，本征函数ψ(x)不能按照通常的方法归一化，下式不成立：此类波函数可使用周期性边界条件，进行箱归一化。第12页，共31页，2023年，2月20日，星期四二：角动量算符：1：角动量算符的形式：量子力学中的角动量算符表示为：其分量形式为：

等等。角动量平方算符：第13页，共31页，2023年，2月20日，星期四2：球坐标系中的角动量算符：用球坐标系，则：则角动量z分量和平方算符在球坐标系中可以写成：第14页，共31页，2023年，2月20日，星期四3：角动量平方以及z分量算符的本征值和本征函数：角动量平方算符的本征方程为：数学物理方法里面介绍，此方程的本征值为λħ2，其中本征函数为球函数（球谐函数）Y(θ,φ)，其形式为：——缔合勒让德多项式——归一化系数第15页，共31页，2023年，2月20日，星期四说明：1，每个l对应一个不同的本征值λħ2=l(l+1)ħ2，其中l称为角量子数。2，每个本征值l(l+1)ħ2

对应2l+1个不同的本征函数Ylm(θ,φ)，其中m=-l,...,0,1,2,...,l，共有2l+1个不同的取值。其中m称为磁量子数。3，多个本征函数对应于一个本征值的情形——简并。一个本征值所对应的本征函数数目——简并度。角动量平方算符本征值的简并度为2l+1。（本征值对应着能量，本征函数对应状态，则相当于同一个能级上有多个不同的状态。）角动量z分量算符，其本征方程为：其形式解为：A——归一化常数第16页，共31页，2023年，2月20日，星期四φ是2π为周期的，则有Φ(φ+2π)=Φ(φ)，即：可解出本征值为：对应本征函数为：归一化：可以证明球函数Ylm(θ,φ)，也是Lz的本征函数（证明过程略），即有：第17页，共31页，2023年，2月20日，星期四一般称l=0的状态为s态，l=1,2,3,...的状态分别为p,d,f,...，处于这些态的粒子，分别称为s,p,d,f粒子。下面列出前面几个球函数：第18页，共31页，2023年，2月20日，星期四第3节电子在库仑场中的运动氢原子考虑一个电子在一个带正电的核所产生的电场（库仑场）中运动。电子质量μ，电荷-e，核的电荷+Ze。则：Z=1对应氢原子，Z>1对应类氢原子，比如：He+(Z=2),Li++(Z=3)等等。电子受核吸引的势能：(SI)(CGS)r——电子到核的距离则体系的哈密顿算符为：本征方程（即定态薛定谔方程）为：第19页，共31页，2023年，2月20日，星期四写成球坐标系中的形式：用分离变量法，设本征函数为：代入薛定谔方程，可分离为两个方程：——径向方程式中λ

为常数。其中第二个方程正好是前面讨论过的角动量算符的本征方程，其本征值和本征函数为：λ=l(l+1)，l=0,1,2,...，Y(θ,φ)即为球函数。第20页，共31页，2023年，2月20日，星期四把λ=l(l+1)，l=0,1,2,...代入径向方程：此方程为变系数二阶常微分方程（与谐振子模型类似，可用类似的方法求解），可解得：分析径向方程可知：当E为负，为束缚态；当E为正，能量具有连续谱。上面公式中：n——总量子数，或称主量子数。——氢原子第一玻尔轨道半径第21页，共31页，2023年，2月20日，星期四——缔合拉盖尔多项式（具体内容可参见《数学物理方法》课程）——归一化常数说明：1，当E为负时，获得了分立的能级2，ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)3，能级En只与主量子数n有关，对应一个n，l可以取l=0,1,2,…,n-1，共n个值；对应一个l，m可以取m=-l,...,0,...,l，共有2l+1个不同的值。则对于能级En，共有：个不同的状态。En是n2度简并的。第22页，共31页，2023年，2月20日，星期四下面列出前面几个径向函数Rnl(r)第23页，共31页，2023年，2月20日，星期四如果考虑核的位置不固定，即：电子与核均可以运动，则成为较为实际的氢原子的情形。在数学处理的过程中，如果引入约化质量和约化坐标，求解氢原子的过程与求解库仑场中的电子类似。当n增加时，能级之间的距离逐渐减少。n→∞时，电子不再束缚在核的周围，发生电离现象。E∞与基态E1之间的差称为电离能：电子由能级En跃迁至En'时会发出光，它的频率为：Rc——里德堡常数，上式即为量子力学推导出的巴尔末公式第24页，共31页，2023年，2月20日，星期四当氢原子处于ψnlm(r,θ,φ)时，电子在(r,θ,φ)点周围的体积元dτ=r2sinθdrdθdφ内的几率为：s,p,d,f态电子的角分布电子的距离分布第25页，共31页，2023年，2月20日，星期四第4节算符与力学量的关系如果F是满足某种条件的厄密算符，且有本征方程：φn为正交归一系，则任何函数都可展开为：其中cn为常系数，称为几率振幅。可以证明：引入假设：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是对应算符的本征值之一，测得λn的几率是|cn|2。第26页，共31页，2023年，2月20日，星期四按照由几率求平均值的法则，可以求得力学量F在ψ态中的平均值为：上两式等价的证明：上式中的ψ是归一化的，如果ψ没有归一化，则公式为：第27页，共31页，2023年，2月20日，星期四第5节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系一，对易关系定义——算符对易——算符不对易二，对易的情形（两力学量同时具有确定值的条件）定理：如算符F，G有共同的本征函数φn，且组成完全系，则F与G对易。定理的推广：如果一组算符有共同的本征函数，而且这些共同的本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。第28页，共31页，2023年，2月20日，星期四三，不对易的情形（测不准关系）：设算符F,G满足：——算符