数字信号课件（郑楚君）第2章1

1第二章离散时间信号和离散时间系统2.1

引言本书研究的对象是数字信号的分析和处理。信号通常分为：连续时间信号、离散时间信号、数字信号。

通常把时间连续、幅度也连续的信号称为模拟信号或称为连续时间信号。时间离散、幅度连续的信号被称为离散时间信号。时间离散、幅度也离散的信号被称为数字信号。系统的作用是把信号变换成某种更合乎要求的形式。输入和输出都是模拟信号的系统被称为模拟系统；输入和输出都是离散时间信号的系统被称为离散时间系统；输入和输出都是数字信号的系统被称为数字系统。时域离散信号的表示方法；典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性;系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法;模拟信号数字处理方法。本章主要学习52.2

离散时间信号

离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n的函数，表示为x(n)。离散时间信号也常用图形描述。6一、常用的典型序列1．单位脉冲(采样，冲激)序列图1-2单位采样序列和单位冲激信号（a）单位脉冲序列；（b）单位冲激信号72．单位阶跃序列u(n)与单位脉冲序列的关系83．矩形序列图1-4矩形序列(N=4)94．实指数序列105．正弦型序列

式中ω是正弦序列数字域的频率。它反映了序列变化快慢的速率，或相邻两个样点的弧度数。11

对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。模拟正弦信号：数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为

ω：数字域频率；Ω：模拟域频率

T：采样周期；fs：采样频率数字域频率相当于模拟域频率对采样频率的归一化值。126．复指数序列式中，ω为数字域频率。若σ=0，可得欧拉公式复正弦序列137.周期序列

如果对所有n存在一个最小整数N，满足则称x(n)为周期序列，记，最小周期为N。例：因此，x(n)是周期为8的周期序列。14下面讨论一般正弦序列的周期性

要使x(n+N)=x(n)，即x(n)为周期为N的周期序列，则要求，即，即N，k为整数，且k的取值保证N是最小的正整数。15分三种情况讨论（）

（1）当为整数时，取k=1，x(n)即是周期为的周期序列。

（2）当为有理数时（P、Q为互素的整数），则正弦序列是以P为周期的周期序列。

（3）当为无理数时，任何整数k

都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。16例1-2判断下列函数的周期性，并画出相应的波形。①②③17二、序列运算1.乘法和加法图1-7序列的加法和乘法182．移位及翻转

表示序列右移（延时）；表示序列左移（超前）。是以n=0的纵轴为对称轴左右翻转得到。图1-8序列的移位图图1-9序列的翻转

193.尺度变换

表示序列每m点(或每隔m-1点)取一点，称为序列的压缩或抽取。表示把原序列两相邻值之间插入零值，称为序列的伸展或内插零值。20三、任意序列的单位脉冲序列表示

任意序列可表示成单位脉冲序列的移位加权和。即例如212.3离散时间系统

系统——将输入序列x(n)变换成输出序列y(n)的一种运算，以T[]表示，则一个离散时间系统可用下图来表示记为y(n)=T[x(n)]

T[]y(n)x(n)221.LinearSystems

线性系统满足叠加性和均匀性。

设T[x1(n)]=y1(n)，T[x2(n)]=y2(n)

如果T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)成立，则此系统为线性系统，否则为非线性系统。23

例1-3：判别系统y(n)=T[x(n)]=ax(n)+b是否为线性系统？解:设T[x1(n)]=ax1(n)+bT[x2(n)]=ax2(n)+b

因为T[cx1(n)+dx2(n)]=a[cx1(n)+cx2(n)]+b而cy1(n)+dy2(n)=cax1(n)+dax2(n)+b(c+d)≠T[cx1(n)+dx2(n)]故此系统不是线性系统。线性系统z(n)x(n)y(n)y0(n)图1-15

增量线性系统

242.Time-InvariantSystems

系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关。或者说，系统的参数不随时间变化，即不管输入信号作用的时间先后，输出信号的形状均相同，仅是出现的时间不同。

设y(n)=T[x(n)]，若y(n-k)=T[x(n-k)]成立，则称该系统为时不变系统。25图1-16系统时不变说明的示意图26

例1-5判别y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解：因为因此该系统不是时不变系统。273.线性时不变系统

同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变系统。（1）输入与输出之间的关系输入为单位脉冲序列时系统的输出称为单位脉冲响应。由h(n)可以确定任意输入时的系统输出，从而推出线性时不变离散时间系统一个非常重要的描述关系式。T[·]28对LTI系统，讨论对任意输入的系统输出任意输入序列：系统输出：T[·]

任意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加权和

——离散卷积或线性卷积29线性时不变系统卷积运算有明确的物理意义，就是在一般意义上描述了线性时不变离散时间系统对输入序列的作用或处理作用。

一个LTI系统可以用单位脉冲响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该系统单位脉冲响应h(n)的卷积。

30（2）线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下：

（1）翻转（折叠）：先在哑变量坐标轴m上画出x(m)和h(m)，将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成h(-m)。

（2）移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当m为正数时，右移m；当m为负数时，左移m。

（3）相乘：将h(n-m)和x(m)的对应取样值相乘。

（4）相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。31例1-6

设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：采用图解法。32

例1-7

设x(n)=3δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)，

h(n)=2δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解：采用列表法。

n=?3211126112711271123112133

在Matlab中，卷积可通过调用函数y=conv(x,h)来实现。卷积的性质：

1）两个长度分别为N和M的序列，线性卷积后的序列长度为N+M-1。证明：设x1(n)是长度为N的有限长序列（0≤n≤N-1），x2(n)是长度为M的有限长序列（0≤n≤M-1）。

x1(m)的非零区间为0≤m≤N-1，x2(n-m)的非零区间为0≤n-m≤M-1，两个不等式相加有0≤n≤N+M-2，所以，y(n)是一个长度为N+M-1的有限长序列。432）线性卷积服从交换律、结合律和分配律444.因果系统

如果系统n0时刻的输出，只取决于n0时刻以及n0时刻以前的输入序列，而和n0时刻以后的输入序列无关，则称为因果系统。

在数学上因果系统满足方程：y(n)=f[x(n)，x(n-1)，x(n-2)，……]

一个线性时不变系统为因果系统的充分必要条件是:

因果系统的因果性是指系统物理上的可实现性。45非因果系统的延时实现465.稳定系统

稳定系统是指有界输入产生有界输出的系统。即如果|x(n)|≤M（M为正常数），有|y(n)|<+∞，则该系统被称为稳定系统。一个线性时不变系统稳定的充分和必要条件是其单位取样响应h(n)绝对可和，即47

例1-8

设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。

解：（1）因果性

由于n<0时，h(n)=0，系统是因果系统。（2）稳定性因此系统稳定的条件是:

48

例1-9

判别系统y(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)的因果稳定性。

解：（1）因果性

因为y(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)只与x(n)的当前值有关，而与x(n+1)，x(n+2)……等未来值无关，故系统是因果的。

（2）稳定性

当|x(n)|<M时有T[x(n)]|<M|cos(ωn+φ)|，由于|cos(ωn+φ)|≤1是有界的，所以y(n)=T[x(n)]也是有界的，故系统是稳定的。49

系统的线性、时不变性、因果性和稳定性是系统的四个互不相关的性质。502.3.3

离散时间系统的时域描述––––差分方程一、常系数线性差分方程的一般表达式或其中ak，br都是常数。51说明：

1）差分方程的阶数是用方程y(n-k)项中的k取值最大与最小之差确定的。

2）

该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。

52差分方程的特点

采用差分方程描述系统简便、直观、易于计算机实现

容易得到系统的运算结构

便于求解系统的瞬态响应但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等。实际上用来描述系统多数还是由系统函数。53二、差分方程的求解

常系数差分方程的求解方法有迭代法，时域经典法，卷积法和变换域法。

时域经典法类似于解微分方程，过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。迭代法(递推法)比较简单，且适合于计算机求解，但不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形式解答）。卷积法适用于系统起始状态为零时的求解。变换域方法类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里采用Z变换法来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有效的方法。54

例1-10：若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求初始条件分别为h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0时的单位脉冲响应h(n)。

解：（1）令x(n)=δ(n)，根据初始条件可递推如下

y(0)=ay(-1)+δ(0)=1

y(1)=ay(0)+δ(1)=a

y(2)=ay(1)+δ(2)=a2……y(n)=ay(n-1)=an因此，h(n)=y(n)=anu(n)55

例1-10：若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求初始条件分别为h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0时的单位脉冲响应h(n)。

解：（2）将差分方程改写成y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)]根据初始条件可递推如下

y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0

y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=-a-1……

y(n)=ay(n-1)=-an因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)56以上结果说明：

（1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。（2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且只有当起始条件选择合适时，才相当于一个线性时不变系统。

在以下的讨论中，除非另外声明，我们都假设常系数线性差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统，并且多数是指因果系统。连续系统的描述：微分方程,卷积，转移函数（Laplace变换）,频率响应（Fourier变换）离散时间系统离散系统的描述：差分方程,卷积，转移函数（Z变换）,频率响应（DTFT,DFT）例:当前时刻差分方程前一时刻例:令则单位抽样响应描述了离散系统的特征，是重要的“物理量”，由可得到例:IIR系统即InfiniteImpulseResponseFiniteImpulseResponse例有限长：FIR系统66三、Matlab实现y=filter(b,a,x)

例1-11解：MATLAB程序a=[1,-1,0.9];b=[1];x=impseq(0,-20,120);%输入n=[-20:120];h=filter(b,a,x);%系统输出stem(n,h,'.');2.4离散时间信号和系统的

频域描述对于离散时间系统——时域分析方法采用差分方程描述频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具本章主要内容：

本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析信号和系统的频域特性。

2.1序列的傅里叶变换的定义及性质

2.2序列的Z变换

2.3系统函数与频率响应2.1

序列的傅立叶变换的定义及性质一、序列的傅里叶变换的定义众所周知，连续时间信号x(t)的傅里叶变换定义为：而X(jΩ)的傅里叶反变换定义为

离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为反变换

在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字域频率。X(ejω)一般为复数。值得注意的是，式中右边的级数并不总是收敛的，或者说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。只有当序列x(n)绝对可和式中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。二、常用序列的傅里叶变换

1.单位脉冲序列

其傅里叶变换为？含义是什么

单位脉冲信号包含了所有频率分量，而且这些分量的幅度和相位都相同。

这就是用单位脉冲响应能够表征线性时不变系统的原因。2.矩形序列其傅里叶变换为

图2.1RN(n)的幅度与相位曲线设N=5，幅度与相位随ω变化曲线3.实指数序列其傅里叶变换为

设a=0.6，幅度与相位随ω变化曲线如图。离散时间傅里叶变换的两个特点：（1）X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。（2）当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值|X(ejω)|在0≤ω≤2π区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。二、序列的傅里叶变换的性质

1.线性设则式中a，b为常数。

2.时移与频移设，则时移特性频移特性

3.周期性

序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。

4.对称性质

设一复序列，如果满足则称序列为共轭对称序列。如果满足，则称序列为共轭反对称序列。比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。（公式2）（公式3）（公式4）（公式5）（公式6）（公式7）

1）任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和（如是实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和）

类似地，序列的傅里叶变换可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和。

2）DTFT的对称特性（同学们自己证明）

若x(n)为实序列，则推论

对于实序列的DTFT，要画出X(ejω)的幅频特性，只需要X(ejω)半个周期即可，通常在实际中是选择ω∈[0,π]的部分。

5.时域卷积定理

若，则

6.频域卷积定理（复卷积定理）

若，则

7.帕斯瓦尔（Parseval）定理信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。三、MATLAB实现

例2-1

，，求离散时间傅里叶变换并探讨其周期性。解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一地定义在一个2

周期上。以下程序是在[-2，2]之间的两个周期中的401个频点上作计算以观察周期性。n=0:10;x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);%用矩阵-向量乘法求DTFTmagX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]);subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);对

是周期的，但不是共轭对称的。

例2-2

解：

不仅对对称，而且是共轭对称的。因此，对实序列，我们只需画出它们从（0）间的傅里叶变换的模和相角响应。952.4.3.离散时间系统的频率响应设输入序列是频率为ω的复指数序列，由线性卷积公式，得到系统的响应频率响应的定义当离散线性时不变系统的输入是频率为ω的复指数序列时，输出为同频率的复指数序列乘以加权函数H(ω)。H(ω)反映复指数序列通过系统后幅度和相位随频率ω的变化H(ω)是一个与系统的特性有关的量，称为单位脉冲响应为h(n)的系统的频率响应。

96H(ω)的表示

复函数H(ω)是以2π为周期的连续周期函数，用实部和虚部表示为

H(ω)用幅度与相位表示为H(ω)的幅度响应和相位响应

97正弦输入序列的系统频率响应可见，当离散线性时不变系统输入正弦序列时，输出为同频率的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ω)|的加权，而相位为输入相位与系统相位响应之和。

其傅里叶变换为

图2.1RN(n)的幅度与相位曲线设N=5，幅度与相位随ω变化曲线1002.5信号的取样

2.5.1模拟信号数字处理方法前置预滤波器A/D变换器数字信号处理器D/A变换器模拟滤波器模拟xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟ya(t)采样采样恢复101一、采样的基本概念

所谓“采样”，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通常称为采样信号，以表示。图1-21采样的原理框图采样器连续信号采样脉冲采样信号102

（a）实际采样（b）理想采样图1-22两种采样方式103二、理想采样及其频谱

1.时域分析数学模型采样脉冲：理想采样输出:1042.频域分析

傅里叶（Fourier，1768～1830）生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，八岁时沦为孤儿，就读子地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科学院终身秘书。105

傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶名字命名。106

傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数。107

映射时域相乘频域卷积（模拟系统）

1)冲激函数序列δT(t)的频谱考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开，因此，冲激函数序列δT(t)可用傅里叶级数表示为:其中108因此，上式表明冲激函数序列具有梳状谱的结构，即它的各次谐波都具有相等的幅度1/T。因为，所以幅度谱频谱1092）理想采样信号的频谱上式表明：

（1）频谱产生周期延拓。即采样信号的频谱是频率的周期函数，其周期为Ωs。

（2）频谱的幅度是Xa(jΩ)的1/T倍。110三、时域采样定理

如果信号xa(t)是带限信号，且最高频率不超过Ωs/2，即那么采样频谱中，基带频谱以及各次谐波频谱彼此是不重叠的。

用一个带宽为Ωs/2的理想低通滤波器，可以不失真的还原出原来的连续信号。

但是，如果信号最高频谱超过Ωs/2，那么在采样频谱中，各次调制频谱就会相互交叠起来，这就是频谱混叠现象。其中，Ωs/2或fs/2，称作折叠频率。111图1-24采样信号的频谱图112图1-26单音（余弦）信号采样中的频谱混叠情况示意图

113

设

√没有混叠时，恢复出的输出为

√有混叠时，则是结论：为使采样后能不失真的还原出原信号，采样频率必须大于两倍信号最高频率，这就是奈奎斯特采样定理。114四、采样的恢复（内插）

1.频域分析1152.时域分析

把输出看成是与理想低通单位冲激响应g(t)的卷积理想低通G(jΩ)的冲激响应为116

根据卷积公式，低通滤波器的输出为：117其中：采样内插公式

内插函数

内插函数权内插公式

内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于xa(nT)，采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸叠加而成的。

频率归一化在的条件下，离散时间信号的频谱与取样信号的频谱相等。118119

要完全恢复原来的连续信号xa(t)，需要以下条件：

①限带信号；

②无限次的理想取样（δ函数）；（N→∞）

③理想低通滤波器，即Sinc内插函数（其截止频率满足fc≤f≤fs/2）但后两条在物理上都是不可实现的，因此，原始信号在实际中不能由采样真实的重建，而只能逼近原来的信号。

采样内插公式说明，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特定理的意义。120

例1-12

已知某模拟信号，将它分别用不同的采样频率进行采样得到离散时间信号，试分析在以下两种采样频率情况下对信号频谱的影响。（1）采样频率fs=5kHz；（2）采样频率fs=1kHz121

例1-13：有一理想