2004年考研数学一试题及答案解析路上的幸福哥

曲线ylnx上与直线xy1垂直的切线方程 已知f(ex)xex,且f(1)0,则f(x) 设L为正向圆周x2y22在第一象限中的部分,则曲线积分 方程x2d2y4xdy2y0(x0)的通解

xdy2ydxLdx 设矩阵A 0,矩阵B满足ABA*2BA*E,其中A*为A的伴随矩阵, 0 是单位矩阵,则B 设随量X服从参数为的指数分布,则P{X DX} xxx

时的无穷小量cos

x2dt,x

xsint3dt f(xf(00则存在0 (C)对任意的x(0,)有f(x)f 若limnan=0,则级数an 若存在非零常数,使得lim

,则级数an 若级数a收敛,则limn2an

若级数an,使得limnan f(xF(ttdytf(x)dxF(2) (A)2f (C)f (D)列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q (A) 1 0

0000

(B) 0 0

1100设AB为满足ABO设随量X服从正态分布N(0,1),对给定的(01),数u满足P{Xu},若P{ 2

1u1u22

1n设随量X1,X2,,X(n1)独立同分布,且其方差为2 令Yn

Xn 则Cov(X,Y)

Cov(X,Y)

Y)nn

Y)nn设eabe2,证明ln2bln2a4(ba伞,以增,使飞机迅速并停下.开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k6.0106).问从着陆点I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdyz1x2y2znxnnx10,其中nxnn当1时,级数xnzz(xy是由x26xy10y22yzz2180zz(xy的极值点和

(1a)xxx0,2x(2a)x 设有齐次线性方程组

(n nx1nx2(na)xn设矩阵A

3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A 5设A,B为随 ,且P(A)1,P(B|A)1,P(A|B)1, XX

Y1,B发生 (2)X和Y的相关系数XY

11,x

x求:(1)的矩估计量.(2).曲线y=lnx上与直线xy1垂直的切线方程 yx1【详解ylnx)11x=1,可见切点为(1,0)x0y01x1)，即yx10【评注(x0lnxy=lnx

11

10y01x1)，即yx1已知f(ex)xex，且f(1)=0,则f(x)=1(ln 2【分析f(x【详解】令extxlnt

f(t)lnt， f(x)lnx f(x)lnxdx1(lnx)2C.利用初始条件f(1)=0,得C=0，故所求函数为f(x)=1(lnx)2 完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题,P9011题.L

xdy2ydx

32【详解x2y22xy

2

:02于是

xdy2ydx20

2

2 2

【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用计算，而在添加的线段上用参数法2d2 方程x 4x 2y0(x0)的通解为y12dx x【详解】xet，则dydydtetdy1dy xd2y1dy1d2ydt d2ydxd2y

x2 xdt

x2

dt

] 3 2y0dt ycetce2tc1c2 xd2 2 bx cyf(x)dx d2

]b cyf(etdt 学大串讲》P75例12.A

1则B 9【分析】可先用A*A

【详解AABA*A2BA*AA，而A3，于是有3AB6BA，即 (3A6E)BA，

3A6EB

A31而3A

27，故所求行列式为B 9【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A*，一般均应先利用A*AAA*

1 e1【详解DX2P{X DX}=P{X1}1 = 1e1e全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.xxxx（7）x

时的无穷小量cos

2dt,

(A) (C) tanx tanx lim x0

0

131sinx22

limx0 1

x

2xtan= 4x0x【评注,,xn进行比较，再确定相互的高低次序.完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题. 对任意的x 有f(x)>f(0) 对任意的x(,0)有f(x)>f(0) 【分析f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导【详解】由导数的定义，知f(0)limf(x)f(0)0 f(x)f(0)x).完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题.设an若limnan=0，则级数an收敛 若级数a收敛，则limn 0n

若级数an发散,则存在非零常数，使得limnan 【详解】取an ，则limnan=0，但an

2

n1nln又取an ，则级数an收敛，但limnan，排除(C),故应选 alimnanlima

0，而级数1发散，因此级数

nn

n1 f(x)F(ttdytf(x)dxF(2) y

F(t)1dyyf(x)dx=1[1f(x)dy]dx1f(x)(xF(tf(t)(t1)，从而有F(2f(2，故应选[b(x)f(t)dt]

f[b(x)]b(x)f完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12，先交换积分次序再求导.,

1111 1111

0 (B)

1

0

01

0

0

而Q即为此两个初等矩阵的乘积。

0B

1C 0

A

A

全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例2.2 [Ar(A)r(B)nA,Br(A)>0,r(B)>0.r(A)<n,r(B)<n,A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相1）AB=Or(A)r(B)n例8,P184例27。设 量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(01)，数u满足P{Xu}，PXxx (B)u (C)u1 u1 11P{ x}P{Xx}P{Xx}P{Xx}2P{X1即有P{Xx

22

x 2oo21 0.令Y Xi， Cov(X1,Y)

1 Cov(X,Y)21n

Y)n22 n

Y)n12 [An】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：Cov(X1,Xi)0,i1 1【详解CovX1Y)CovX1nXi)nCovX1X1nCovX1Xi1 n

n

)1 n D(X1Y)n

X1

X2

Xn) n n n23n2n n n (n n D(X1Y)D(

X1

X2

Xn) n n n22n2n n （15（设eabe2,证明ln2bln2a

(ba)【证法1】对函数ln2x在[a,b]上应用日中值定理，ln2bln2a2ln(ba),a设(tlnt，则(t1lnt t,

ln ， 故ln2bln2a

(ba)【2】设(xln2x

(x)2lnx4 (x)21lnxxx>e时，(x0,故(x单调减少，从而当exe2(x)(e2)4 即当exe2时，(x单调增加

0 ln2b4bln2a4a ln2bln2a

(ba)【评注(xln2xln2a

(xaeaxe2(x)ln2bln2x

(bxexbe2完全类似的例题见《数学复习指南》P34713.31P344的[解题提示],《考研数学大串讲》P65（16（

【1m=9000kg，着陆时的水平速度v0700kmh.从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).mdvkv dvdv

vdv

dx dxmdvmkm积分得x(t) vk

由于v(0)

x(0)0，故得Cm

x(t)m

当v(t)0时，x(t)k

9000700【详解2】根 第二定律，得mdvkv dvk k两端积分得通解vCem，代入初始条件

v0解得Cv0tt v(t)v0em k x

v(t)dt 0ek

0 k k k或 ve

，知x(t)

vemdt 0(e

1)t

0 x(t)m

d2xk【详解3】根据第二定律，d2xkdx

dt dt

0m2k0，解之得0,k xC1C2

km

k由

0,

2em

v0

mv0,k

x(t)mv0(1e

km当tx(tk

【评注t或v(t0的极限值，这种条件应引起注意.完全类似的例题见《数学最后冲刺》P98-99例10-11.（17（I2x3dydz2y3dzdx3(z2其中z1x2y2z0)的上侧【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用求解，而在添加的曲面上应用直接【详解1xoyx2y21所围部分的下侧，记为由与I2x3dydz2y3dzdx3(z22x3dydz2y3dzdx3(z22x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy6(x2y2 =60d0dr (zr1r=12[1(1r2)2r3(1r2)]dr1r0 2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy故I23

3dxdyx2y2,学一临考演习》P38第19题.（18（.

xn收敛x【证】 fn(x)xnnx1.由fn(0)10，fn(1)n0，及连续函数的介值定理知，方xnnx10xnx>0fn(xnxn1n0fn(x在[0,上单调增加,xnnx10存在惟一正实数根xn.xnnx10xn00

1

1，故当10

(

n而正项级数收敛，所以当1时，级数 收敛n ),（19（z=z(x,y)x26xy10y22yzz2180zz(xy的极值点和极值【分析【详解】因为x26xy10y22yzz21802x6y2yz2zz0 6x20y2z2yy2zy0z x3y令yx故z

得3x10yzx26xy10y22yzz2180xy z

xyz由于22y2z2z)22z2

0 2 z 262x2yxy2yx2zxy202z2z2y2z2(z)22z2

0

所以A

1，B6

1，C2

5 22222

6A

22

1，B6

1，C2

532222

6z(-9,-3)=-全类似的例题见《数学复习指南》P277例10.31.（20（ (1a)xx 2x(2a)x2x (nnx1nx2(na)xn 1 1A

2

a ax1x2xn

, 1

n(n

0 0

a B 0

1

1 n(n 2 2xx 3xx 1,2,n)T，1111 222 nnn nA (an(n1))an12A0a=0a

2

A

1

1 1

n

0x1x2xn

n(n

a

2 1 1A

2

a a

1

0

11 11

2xx 3xx 1,2,n)T，

1

1A

2

=aE+ 2，矩阵 2的特

n

n

n 值为 ,故行列

A(an(n1))an1 （21（ 设矩阵A

5【分析AA是否可相似对【详解】A

1

3

31=(2)

3

当2是特征方程的二重根，则有2216183a 当a=-2时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=

331，故