同步讲台九立体几何空间地距离

同步讲台 第5课空间的距离●考点搜索点到直线距离从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这点到这条直线的距离 .点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.两平行直线间的距离两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离 .两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离 .直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离 .两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离 .●实例点津【例1】 如图，在空间四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.求证：EF是AB和CD的公垂线；求AB和CD间的距离；求EF和AC所成角的大小.【解答】(1)证明：连结，，由已知可得=.AFBFAFBF又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.同理EF⊥DC交DC于点F.所以EF是AB和的公垂线.CD(2)在Rt△BEF中，BF=3a,BE=1a,例1题图22所以2=2-2=1a2，即=2a.EFBFBE2EF2由(1)知EF是、的公垂线段，所以和间的距离为2a.ABCDABCD2过E点作EG∥AC交BC于G，因为E为AB的中点，所以G为BC的中点.所以∠FEG即为异面直线 EF和AC所成的角.在△FEG中，EF=2a,EG=1a,FG=1a,222cos∠FEG=EF2EG2FG22.2EFEG2所以 ∠FEG=45°-1-/10所以异面直线与所成的角为45°．EFAC【归纳】本题考查平面及其基本性质.平面图形直观图的画法、平行直线、异面直线所成的角，异面直线的公垂线和异面直线的距离等知识的综合应用.【例2】菱形ABCD中，∠BAD=60°,AB=10cm,PA⊥平面ABCD,且PA＝5cm,求(1)P到的距离；（2）P到的距离；（3）P到的距离.CDBDAD【点津】 如图,因为A是P在平面ABCD上的射影，所以只要过点别作CD、BD的垂线，确定垂足的位置，由三垂线定理和勾股定理，求得点距离.【解答】（1）∵PA⊥平面ABCD，∴点P在平面上的射影为，过A在平面内作⊥于ABCDAABCDAECD(∵∠ADC=120°，∴E在CD的延长线上).

A在平面ABCD内分P到CD、BD的E连PE，由三垂线定理得 PE⊥CD.∴线段PE之长就是P到CD的距离.在Rt△ADE中，AE＝53cm在Rt△PAE中，PE=10cm,∴P到CD的距离为10cm.例2题图连AC、BD，交点为O，∵AC⊥BD,∴PO⊥BD,线段PO之长就是P到BD的距离，易知 PO＝10cm.(３)∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD，∴PA⊥AD.故线段PA之长就是P到AD的距离，PA＝5cm.【归纳】 求点到直线的距离，除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外，三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法 .【例3】 如图(1), 正四面体ABCD的棱长为 1，求：1）A到平面BCD的距离；2）异面直线AB、CD之间的距离.【解答】 （1）过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.例3题图（1）又BD＝BC＝CD，∴O是△BCD的中心，∴=2=2332333又AB＝1，且∠AOB=90°,2∴AO=AB2BO2136.3A到平面BCD的距离是6.3(2)如图（2）,设AB中点为E，连CE、ED.-2-/10∵AC=BC,AE=EB.CD⊥AB.同理DE⊥AB.AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线 AB、CD的距离.CE=3,2∴CF=FD=1例3题图（2）,∠EFC=90°,222EF=312.222AB、CD的距离是2.2【归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度 .2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.【例4】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且∠ADC=arcsin5,又PA25⊥平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角P—CD—A的大小;(2)点A到平面的距离.PBC【解答】 (1) 作AF⊥DC于F,连结PF,AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,PF⊥DC,∴∠PFA就是二面角 P—CD—A的平面角.在△中,∠=90°,∠=arcsin5,=3,5AF=3a,5在Rt△中tan∠=PAa55,3a3AF∴∠PFA=arctan5.3∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,PB=2a,-3-/10AH=2a.2【归纳】 利用定义法求点到平面的距离常常需借助三垂线定理及其逆定理 .●对应训练一、选择题1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是()A.aB.6aC.3aD.15a2342.△中，=9，=15，∠=120°.△所在平面外一点P到三个顶点、、ABCABACBACABCABC的距离都是14，那么点P到平面α的距离为()A.7B.9C.11D.133.从平面α外一点P向α引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm和12cm,则P到α的距离是()A.4cmB.3cm或4cmC.6cmD.4cm或6cm4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为()A.1aB.2aC.3aD.a222在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为 2、3、6，则点M到顶点P的距离是 ( )A.7B.8C.9D.106.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离是()A.3aB.3aC.3aD.6a4424第6题图 第7题图如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD＝1，设点C到平面的距离为d1，点B到平面的距离为d2，则有()PABPACA.1<d1<d2B.d1<d2<1C.d1<1<d2D.d2<d1<1如图所示，在平面α的同侧有三点A、B、C，△ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面α的距离分别为a、b、c、d，那么a+b+c等于()A.2d B.3d C.4d D.以上都不对-4-/10第8题图 第9题图如图，菱形ABCD边长为a，∠A=60°，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且AEAHCFCG2，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点AEBHDFBDG到平面EFGH的距离是()A.aB.2aC.3aD.15a2226二、填空题二面角α-MN-β等于60°，平面α内一点A到平面β的距离AB的长为4，则点B到α的距离为 .在60°的二面角α—l—β中，A∈α,AC⊥l于C，B∈β，BD⊥l于D，又AC=BD=a,CD= 2a，则A、B两点间距离为 .设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm，AB与平面α所成的角是60°，则线段 AB的长是 .在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠AOB=90°，则cosα的值是.三、解答题14.在边长为a的菱形中，∠=60°，⊥平面，是PA的中点，求点EABCDABCPCABCDE到平面PBC的距离．15.在直三棱柱 ABC—A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面 AB1与侧面 AC1所成的二面角为60°，M为AA1上的点.∠A1MC1=30°，∠BMC1=90°，AB=a.求BM与侧面AC1所成角的正切值.求顶点A到面BMC1的距离.第15题图-5-/10已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2 3,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.求二面角B1—EF—B的大小.试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论.求点D1到面EFB1的距离.第17题图●对应答案折后BC=a,∴点A到BC的距离为a2a21.D15a.2442.A=921522915cos12021.BC∴△ABC外接圆半径R=21,732sin120∴点P到α的距离为142(73)27.-6-/103.D设⊥α垂足为,||=cm,∠=β,∠=γ,那么β-γ=45°,POOPOxOAPOBPtanβ=x,tanγ=x,tan(β-γ)=tan45°2122展开左边并整理得12=4.:x-10x+24=0,解得x=6,x4.BP、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.5.APM=2232627.6.C取的中点连、，作⊥于，则为所求，∴===3a.BDOAOOCOEACEOEAOCOAC27.D点C到平面PAB的距离d1=2,212点B到平面PAC的距离d2=23，1132∵321,∴d<d<1．3221dbc8.B|MM′|=bc，又21.∴a+b+c=3d.bc2a329.A设BD的中点为O，a2a2aa7a，点∴=2cos60A到平面EFGH的距离为EO323264a27a2a.936210.2作⊥于，连，则⊥，ACMNCBCBCMN∴∠ACB=60°，又MN⊥平面ABC，∴平面⊥平面α，作⊥于，则⊥α，ABCBDACDBD∴BD的长即为所求，得BD=2．11.3aAB=a2a2(2a)22aacos603a.12.23cm或103cm3当点A、B在α同侧时，AB=323;sin60当点、在α异侧时，=51033sin6013.4如图,″=OA2OB22(2232)269AB-7-/10第13题图解∵⊥轴,′⊥y轴,BCyBC∴∠B′CB″为二面角A—Oy—B的平面角.∠B′CB″=α,在△B′CB″中,B′C=B″C=3,B′B″=264210,由余弦定理易知cosα=4.9如图，将点E到平面PBC的距离转化成线面距，再转化成点面距.连AC、BD，设AC、BD交于O，则EO∥平面PBC，∴OE上任一点到平面PBC的距离相等．∵平面PBC⊥平面ABCD，过O作OG⊥平面PBC，则G∈BC，又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a，∴OC=a,OG=OCsin60°=3a.第14题图解24点评：若直接过E作平面PBC的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果．15.(1) ∵三棱柱 ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴∠ BAC为二面角B1—AA1—C1的平面角，∴∠BAC=60°.又∵∠ACB为直角，∴BC⊥侧面AC1.连MC，则MC是MB在侧面AC1上的射影.∴∠BMC为BM与侧面AC1所成的角.且∠CMC1=90°，∠A1MC1=30°，所以∠AMC=60°.设BC=m，则AC= 3m，MC=2m，3 3所以tan∠BMC=3.2即BM与侧面AC1所成的角的正切值为3.2过A作AN⊥MC，垂足为N，则AN∥面MBC1.∵面MBC⊥面MBC1，且过N作NH⊥MB，垂足为H，则NH是N到面MBC1的距离，也就是 A到面MBC1的距离.a∵AB=a,AC= ,且∠ACN=30°，∴AN=a且∠AMN=60°，∴MN=3a.412∴NH=MNsin∠BMC=3a×39a(本题还可用等积法).16.(1)1252如图所示,作AD⊥AC,垂足为D,由面AACC⊥面ABC,得AD⊥面ABC1111∴∠1为1与面所成的角AADAAABC∵AA1⊥A1C,AA1=A1C∴∠A1AD=45°为所求.作DE⊥AB垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB,∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角 .由已知AB⊥BC得DE∥BC,又D是AC的中点,BC=2,AC=2 3第16题图解-8-/10∴DE=1,AD=A1D= 3,tan∠A1ED=A1D= 3,故∠A1ED=60°为所求.DE(３)连结A1B,根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥 C—A1AB的高h.由VC—A1AB=VA1-ABC得1S△AA1Bh=1S△ABC·A1D33即122h1223,∴h=3为所求.3317.(1)如图连结B1D1，AC，B1H，∵底面为正方形 ABCD，∴对角