2023届浙江省强基联盟高三上学期10月统测数学试题

2023届浙江省强基联盟高三上学期10月统测数学试题一、单选题1．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式后由交集的概念求解【详解】由题意得或，故选：B2．若，则（

）A． B． C．2 D．10【答案】C【分析】先利用复数的除法和减法法则得到，进而求出，得到.【详解】由，得，所以.故选：C.3．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用圆锥侧面展开图的面积公式求得展形图的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，进而可求得该圆锥的底面半径.【详解】不妨设圆锥侧面展开图的面积为，半径为，弧长为，则圆锥的母线为，底面圆周长为，底面半径为，则，即，得，故，故由得，得.故选：B.“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用条件概率公式求解即可．【详解】解：事件“甲选择农夫山泉”，则事件“甲和乙选择的饮品不同”，则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”所以所以，故选：D5．对于非零平面向量，，，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据数量积的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：已知平面向量，，均为非零向量，由，则，，所以，故充分性成立；若，则，则，即，因为，所以或，所以、方向相同或相反，所以存在实数使得，故必要性成立；故选：C.6．用一架两臂不等长的天平称黄金，先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金（

）A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定【答案】A【分析】由杠杆原理与基本不等式求解【详解】设左右两臂的长度为，两次取的黄金重量为克，显然，则，化简得，由基本不等式得故选：A7．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，进一步得到，根据基本不等式化简求出c的范围以及b的范围，进一步求出答案.【详解】设，∴，∴在的范围内单调递增，，∴由此可得，设，∴，∴在的范围内单调递减，，∴由此可得，，显然，所以，综合可得.故选：D.8．过抛物线上一点作其切线，该切线交准线于点，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若，则（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据题意分别表示出点的坐标，然后根据，列出方程，即可得到结果.【详解】如图所示，当在第一象限时，设，，则切线斜率由点斜式可得，，因为点在抛物线上，则，则或舍同理，当点在第二象限时，可以得到一样结果.故选:B.二、多选题9．某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表，由表中数据，得回归直线l：，则下列结论正确的是（

）广告费用万元3467销售利润万元681012A．>0 B．>0 C．直线必过点 D．直线必过点【答案】ABC【分析】由回归直线的概念对选项逐一判断【详解】由表格数据得，所以直线必过点，而，将代入直线方程得，解得，故选：ABC10．若函数在区间上单调，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】方法一：首先求得，由在上单调可构造不等式组，结合可确定所有可能的取值，由此可得的范围，进而确定选项；方法二：利用诱导公式可化简得到，得到，根据，可确定，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得的范围，进而确定选项.【详解】方法一：当时，，在区间上单调，或，或；由得：；又，；，又，，，又，；由得：；又，，，又，，，即；综上所述：.方法二：，当时，；在上单调，，；由，知：或，解得：或，.故选：AC.11．将两圆方程作差，得到直线的方程，则（

）A．直线一定过点B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等【答案】BCD【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直直线的斜率之积为-1判断C；设直线上一点，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化简计算即可判断D.【详解】由题意知，，两式相减，得，A：由，得，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；B：，故B正确；C：因为，故C正确；D：，，则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，又，得，即直线与圆相离，，得，即直线与圆相离，所以过直线上任一点可作两圆的切线.在直线上任取一点，设点P到圆的切线长为，到圆的切线长为，则，，所以，即，故D正确.故选：BCD.12．已知的定义域为，且对任意，有，且当时，，则（

）A． B．的图象关于点中心对称C．在上不单调 D．当时，【答案】AD【分析】由赋值法与函数单调性，对称性的定义对选项逐一判断【详解】法一：取特殊函数取函数符合题意，验证A，D正确，B，C错误法二：抽象函数运算对于A，令，可得，因，所以，故A正确，对于C，令可得，设，令所以，即即在上单调递增，故C错误，对于B，令，可得，因所以，所以的图象没有关于点中心对称，故B错误，对于D，当时，令，此时，因，所以，故D正确，故选：AD三、填空题13．在的展开式中，含项的系数为__________.【答案】80【分析】应用二项式展开式通项确定项对应r值，即可得系数.【详解】由题设，，所以项的系数为.故答案为：8014．已知奇函数且，，成等差数列，则___________.【答案】2【分析】首先利用奇函数的定义，求出时的解析式，得到，，再求出和，利用等差中项的性质求出，进一步求出的值.【详解】由奇函数定义知，当时，∴∴，∴，，∴，，又∵，，成等差数列，∴，∴，若，则，解得（舍）或,若，则，无解,∴.故答案为：2.15．若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是___________.（写出符合条件的一个方程即可）【答案】【分析】由题意设直线方程为，利用直线与单位圆和曲线均相切，联立直线与曲线方程，消去变量后整理为关于的一元二次方程，利用判别式为0，求得关系，解出的值，可得直线方程.【详解】解：由题可知，直线的斜率存在，设直线方程为，单位圆的方程为：所以则，整理得：所以则，整理得：所以，解得则则直线的方程为：.故答案为：.16．如图，在平面四边形中，，，且，将沿所在直线翻折，得到三棱锥，已知该三棱锥的顶点均在同一个球的表面上，则球体积的最小值为___________.【答案】【分析】根据题意找到球心的位置，从而得到半径，再结合球的体积公式即可得到结果.【详解】由左边的图可知，外接圆圆心分别为斜边中点，则分别过圆心作相应平面垂线，交点为球心，由右边的图可知，因，显然可以与重合（当F与E'重合时取到：E'为⊙G(GF为半径）上的点，EE'⊥E'G），则故答案为:四、解答题17．已知数列的首项，且满足.(1)证明：数列是等比数列.(2)若，求正整数的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)1010【分析】（1）由等比数列的定义证明，（2）由分组求和法得的前项和，再结合单调性求解【详解】(1)易知各项均为正，对两边同时取倒数得，即，因为，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.(2)由（1）知，即，所以，显然单调递增，因为，所以的最大值为1010.18．在锐角中，内角的对边分别为，且满足.(1)证明：.(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在锐角中，利用正余弦定理和三角形内角和定理进行恒等变换，化简成，由角度的范围判断即得.（2）边角转换得，，即将用关于B的函数表示，根据B的范围即可求得的范围.【详解】(1)由得，由正弦定理得故，可得即，因为，所以，即；(2)，在锐角中，，所以.19．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和.(1)若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）；(3)若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则.【答案】(2)分布列见解析，期望1.44；(3)粒.【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算平均值即可；（2）求出一粒种子发芽的概率，问题转化为二项分布求解分布列与期望；（3）根据正态分布的对称性，利用参考数据直接求指定区间的概率即可得解.【详解】(1)种子密度的平均值为：（）(2)由频率分布直方图知优种占比为，任选一粒种子萌发的概率，因为为这批种子总数远大于2，所以，，，，所以布列为：0期望.(3)因为该品种种子的密度，所以，，即，所以20000粒种子中约有优种（粒）即估计其中优种的数目为粒.20．如图，四棱锥的底面为矩形，侧面与底面垂直，点分别在侧棱上，满足.(1)证明：.(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证，即证平面即证平面平面；（2）以为原点，DA为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】(1)平面平面，平面平面，，平面，平面又平面∴平面平面，平面平面，又，平面平面；，又平面平面平面平面（交线为），同理可得，又∴平面平面.(2)以为原点，DA为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，易得，，，，由（1）知，平面故为平面的法向量，设平面即平面的法向量，，由得，取，所以，所以二面角的正弦值为.21．已知椭圆过点为其左､右焦点.(1)求椭圆的方程；(2)为第一象限内椭圆上的一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)先根据椭圆焦点得，再由定义得到椭圆方程.(2)先设直线并表示出，再根据求出最后由距离公式得到,计算出答案.【详解】(1)由题意可知，，椭圆过点，椭圆的方程为：.(2)由得直线，令，解得，，同理得，，化简得①或②，由①得，故，由②可知，故该方程无实根.将代入椭圆方程中，解得，,22．已知函数，存在实数，当分别取时，有相同的极值点和极值.(1)求；(2)若，设，曲线在点处的切线与曲线交于另一点，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的性质进行求解即可；（2）根据导数的几何意义，结合方程有两个正实数根，利用构造新函数法、分类讨论法进行求解即可.【详解】(1)的定义域为，令，得或，显然，当分别取时，和随的变化如下表：00单调递减极小值单调递增单调递减极小值单调递增由题意，；(2)若，曲线在处的切线方程为，因为切线与曲线交于另一点，所以方程有两个正实根，整理得，设，显然，，显然，设，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，；当时，，①当时，在上为正，在上为负，所以在上单调递增