2023届四川省绵阳市盐亭中学高三第二次模拟考试数学（理）试题

2023届四川省绵阳市盐亭中学高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D2．若​是​的必要不充分条件，则实数​的取值范围（

）A． B．​ C．​ D．【答案】B【分析】根据前者是后者得必要不充分条件，得到，再利用数轴得到不等式，得到的范围.【详解】是的必要不充分条件，，，解得.故选：B.3．已知为幂函数且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据原函数为幂函数，利用待定系数法，设出其形式为，再将点代入求出其解析式，再代入，得出其值.【详解】设幂函数为常数,因为,所以,解得,所以,所以.故选：D.4．已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5．在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．6．函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：为奇函数，排除A,，故排除D.，当时，，所以在单调递增，所以排除C；故选：B.7．在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．8．若是函数的极值点，则的极小值为．A． B． C． D．【答案】A【详解】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．9．设函数,A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【详解】.故选C.10．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．11．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.12．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、填空题13．已知向量，若，则_________．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.14．曲线在点处的切线方程是．【答案】【分析】求得，得到且，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则且，即曲线在点处的切线斜率为，且切点坐标为，所以切线方程为，即.故答案为：.15．函数的部分图象如图所示，给出以下结论：①的最小正周期为2②的一条对称轴为③在，上单调递减④的最大值为则正确的结论为________．【答案】①③【分析】根据图象判断函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．【详解】解：由图易知函数的最小正周期为，①正确；由图知，左侧第一个零点为：，所以对称轴为：，所以不是对称轴，②不正确；由图可知，即时函数是减函数，所以③正确；因为正负不定，所以④不正确．所以只有①③正确．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查三角函数的图象，利用图象判断三角函数的解析式是解决本题的关键，属于基础题．16．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则_______【答案】2【分析】由奇偶性和对称性可得函数周期为4，同时可求得，结合周期性即可求解.【详解】[方法一]：因为f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.[方法二]：特值法取一个符合题意的函数f(x)＝，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N)是以4为周期的周期数列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故答案为：2.[方法三]：因为是定义域为的奇函数，且，所以，因此，因为，所以，，从而故答案为：2【点睛】本题考查函数的奇偶性与对称性，周期性的综合应用，属于中档题三、解答题17．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.[方法二]：正弦化角（通性通法）设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．[方法三]：余弦与三角换元结合在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，所以周长的最大值为．【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.18．研究人员发现，某种特别物质的温度(单位:摄氏度)随时间(单位:分钟)的变化规律是:y=m·2x+21－x(x≥0，m>0).（1）如果，求经过多少时间，该物质的温度为摄氏度;（2）若该物质的温度总不低于摄氏度，求的取值范围.【答案】（1）1分钟；（2）．【分析】（1）代入由解方程可得；（2）由恒成立可得范围．【详解】（1）时，由，，或，因为，所以．（2），，令，则，，时，，所以．即．19．已知函数.在下列条件①､条件②､条件③这三个条件中，选择可以确定和m值的两个条件作为已知.条件①：最小正周期为；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：.(1)求的值；(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的最大值.【答案】(1)选择②③无解；选①②：；选①③：；(2)【分析】（1）先化简得到，选择②③时无解，舍去，选择①②或①③，确定，的值，进而求出；（2）【详解】(1)函数，选条件①②：由于最小正周期为，所以，所以；由最大值与最小值之和为0，，，故，解得：.所以.故.选条件①③：由于最小正周期为，所以，所以；，解得：，故，∴；选②③：由于，所以，，故，解得：.又，解得：，矛盾，此时无法确定和m值，舍去(2)当时，，由于函数在区间上是增函数，所以，解得，故a的最大值为.20．已知函数，，其中，为自然对数的底数.(1)求的最小值；(2)设函数（为的导函数），如果函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】(1)0；(2).【分析】（1）利用导数，分析函数的单调性，直接求出极小值（也是最小值）即可；（2）函数在内有两个不同的零点则在上不单调可得，据此求出，转化为，且即可求解.【详解】(1)因为，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，，即的最小值为0.(2)，.因为，所以，即，若或时，函数在区间上单调，所以在上至多有一个零点，不符合题意，所以.当，∵，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，如果在上存在两个零点，则，且.由，得，又，且，，所以.下面证明时，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，又因为，所以，所以，即恒成立.因此，当时，在上有两个零点，综上所述，满足题意.【点睛】关键点点睛：函数在上存在两个零点转化为，且是第一个关键点，先由得出，然后转化为在时证明是第二个关键点，也是本题重要的解题策略，第三个关键点构造函数，利用导数求最大值，再证明最大值小于0，本题思路上、运算上难度较大.21．已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由得，，其中，①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②.当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.[方法二]：特值探路当时，恒成立．只需证当时，恒成立．当时，．只需证明⑤式成立．⑤式，令，则，所以当时，单调递减；当单调递增；当单调递减．从而，即，⑤式成立．所以当时，恒成立．综上．[方法三]：指数集中当时，恒成立，记，，①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以若满足，只需，即，所以当时，成立；③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，所以时，满足题意.综上，.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过定点，倾斜角为.(1)写出直线的参数方程和曲线的标准方程；(2)设直线与曲线相交于,两点，求的值.【答案】(1)（为参数），；(2).【分析】(1)由直线的参数方程的标准形式和同角的平方关系，即可得到所求方程；(2)将直线的参数方程代入椭圆的标准方程，可得关于的一元二次方程，由韦达定理及参数的几何意义，即可得到的值.【详解】(1)解：因为直线经过定点，倾斜角为，所以直线的参数方（为参数