2019年热力学与统计物理学题库

热力学与统计物理学习题解答

第一章热力学的基本规律一

第二章均匀物质的热力学性质------

第三章单元系的复相平衡一

第四章多元系的复相平衡和化学平衡

第六章近独立粒子的最概然分布一

第七章玻尔兹曼统计--------------

第八章玻色统计和费密统计一

第九章系综理论------------------

第十章涨落理论--

第十一章非平衡态的统计理论------

第一章热力学的基本规律

1.1试求理想气体的体胀系数a,压强系数B和等温压缩系数K。

解：理想气体的物态方程为pV=RT,由此可算得：

「」(叫」(2)L-

VSTTPdTTVdP~P

1.2证明任何一种具有两个独立参量T,P的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数a及等温压缩系数

根据下述积分求得:

11

InV=jf{adT-kdP),如果。=7，氏=—,试求物态方程。

证明:

dVa,P)=(—),>dT+(—)Tdp

cldP两边除以v,得

dV1加、1仍、J，

-^—(.—)pdT+—(—)Tdp^adT-/(dp

VVoTVdp

积分后得InV=J(a"T-kdP)如果

11

a—K=一,

TP

irpIT)

代入上式，得lnV=J(与一^^ulnT-lnP+lnC

所以物态方程为；PV=CT

与Imol理想气体得物态方程PV=RT相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。

L3在0℃和latm下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185X吐k=7.8X10'atma和k可

以近似看作常数。今使铜加热至10℃,问(1)压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？)若压力

增加lOOatm,铜块的体积改变多少？

dV1皿、1皿、,万，

—^—(—)pdr+—{-)Tdp^adr-Kdp

解：(a)由上题VvdTvdp

体积不变，即dV=0

所以dP=巴dT即bP=—AT=4-85X10,xl0=622atm

kk7.8xlO-7

574

—=^^=a(7；-7；)-/i：(p2-p1)=4.85xlO-xlO-7.8xlO-xlOO=4.O7xlO-

(b)%%

可见，体积增加万分之4.07。

1.4描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力F,物态方程是

f(F,L,T)=0„实验通常在Ip“下进行，其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为。=!(更)下，等温杨氏模量定义为Y=—(-)T,

LdTAdL

其中A是金属丝的截面积。一般来说，°和Y是T的函数，对F仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大,

可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由「降至3时，其张力的增加为

=—YAcx(Tz—7；)

证明：（a）设尸=尸（7，L）,则

(i)

由于

所以

将（2）式代入（1）式，并利用线胀系数。和等温杨氏模量的定义式，得

（b）当金属丝两端固定时，dl=0,由（3）式得

dF=-aAYdT

当温度由「降至七时，积分上式得

AF=-E4a(7；—7；)

尸="（三一与）

1.5—理想弹性物质的物态方程为L其中L是长度，L是张力F为零时的L值,

它只是温度T的函数，b是常数。试证明：

丫―）

(a)等温杨氏模量为

_3bT

~~A~

(b)在张力为零时,线膨胀系数

11叫

a=%)a=-------

亍L"+2其中TdL

T=3O(K,Z7=1.33xlO-2N-

(c)上述物态方程适用于橡皮带，设K-'

LL

A=lxl°=5x10.试计算当％分别为0.5,i.o,1.5和2.0时的a对人的

m,a0KF,Y,

曲线。

证明：（a）由弹性物质得物态方程，可得

8F1

=bT------F2Gl

SL/77

TL（1）

将上式代入等温杨氏模量的定义式、

幺空、bT(L।2M

y=」bT-L+/

A

AI©LJj-7A1413)(2)

当F=0时，L=L„,由（2）式得

《当。+2）=3bT

A

4-i

=a(4)

o&2

1.6Imol理想气体，在27"C的恒温下体积发生膨胀，其压强由20p“准静态地降到14，求气体所作的功和所

吸收取的热量。

解：（a）在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为

wf—pdV=RT匕且上=RTm

VV,

因为=RT，P2V2=RT，故有％p2

W'=RT1Q=8.3lx3001n20=7.46x103J-mor'.

Pi

(b)理想气体在恒温膨胀过程中，内能不变，根据热力学第一定律，求得

Q=W'=7A6xlQpJ-mor'.

1.7在25"C下，压强在0至lOOOp”之间，测得水的体积为

-62

V=(18.066-0.715x10-3〃+o.O46x10p)c".mor'

如果保持温度不变，将Imol的水从Ip“加压至1000p“，求外界所作的功。

解：写出+a+^P+cP，

则dV=(b+2cp)dp=(-0.715X10-3+2X0.046x10飞p)dp

所要求的功

W=-pdV=p(b+2cp)dp=-(-^bp2+—cp3)^m

~i2

=-X(-0.715)X10-3X(103)2+-X0.046XX10^X(103)3

=326.83p“-c〃?3/mol=33AJ-mol'

(Ip“•而=o.ioi324，)

生

1.8承前1.5题，使弹性体在准静态等温过程中长度由I”压缩为2’试计算外界所作的功。

解：外界对弹性体作的元功表达式为

dW=FdL(1)

将物态方程代入上式，得

dW=bT士—欠dL

14LJ(2)

注意到在等温过程中L。不变，当弹性体在等温过程中长度由L。压缩为晨/2时，外界所作的功为

W=hr[=-hTLQ

Lk8。­

1.9在o”c和ip“下，空气的密度为1.29必,相।.空气的定压比热容％一969Mg,K,-1.41.

今有27n?的空气，试计算:

(i)若维持体积不变，将空气由0℃加热至20°C所需的热量。

(ii)若维持压强不变，将空气由0"C加热至20”C所需的热量。

(iii)若容器有裂缝，外界压强为lp“使空气由0"C缓慢地加热至20℃所需的热量。

所以%=9667•kg-'-K=0.238b"gf♦K-l

解：lcal=4.2J

(i)这是定容加热过程，定容热容量可以从定压热容量算出,

C

Cv=—^=0.238/1.41=0.169cal/g-deg.

Y

27nf的空气，其质量可由它的密度算得：

M=0.0()12%27x106=3.48x1O,g

考虑到热容量为常数，使温度由0-C升至20℃所需得热量

4

Qv=jMCVdT=MCV(7；-7；)=3.48x100.169x20

即徂Qv=1.176xl05c«Z=4.920xl05J

(ii)在定压加热过程中，

X4XX

Qp=MCp(T2-7；)=3.48100.23820=(cal)=6.937(1).

(iii)因为加热过程使缓慢得，所以假定容器内的压力保持lp“本问题，空气的质量是改变的。在保持

压力p和容积V不变的条件下加热时，在温度T下的质量M(T)可由物态方程

=(其中〃为空气的平均分子量

〃确定之。

设T,时，容器内的空气质量之为则由

M(T)

pV='RT{M(T)=M^

以算得T,所以

Q=J；M(TyCPdT=陷冬="WG皿?(1)

jjzijri,

3

将TF273K,TZ=293K,M,CP=8.29X10C«//K代入(1)式，即得

293

3

g=8.29xl0x2731n—=1.60X105OZ/=6.678X105J

273

i.io抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强〃。时将活门关上。试证明：小

匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能u与原来在大气中的内能u0之差为U-U。=「。匕，其中V。

是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度与体积。

解：（a）求解这个问题，首先要明确我们所讨论的热力学系统是什么。为此，可以设想：使一个装有不漏

空气的无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热小匣相连。假定气缸所容空气的量，恰好为活门打开时进入该小匣内的那

一部分空气的量。这样，原来在小气缸中，后来处于小匣内的那一部分空气（为了方便，设恰为Imol空气），就

是我们所讨论的热力学系统。系统的初态（％'Z＞，"o；U。）和终态（V，T，P；U）如图所示：

I1

7

7

初态(Vo,To,p°;Uo)M71

当打开活门，有少量空气进入原来抽为真空的小匣，小气缸内的气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫

使活塞向匣内推进。根据热力学第一定律，在此绝热过程中，有

dU=dW=-pQdV

积分之，

U-4=dV=PoK⑴

（b）由

一"

U-U0^p0V0,得到g（T）==（C0-g）”

CvT-CvT0=CpT0-CvT0

T=^T0=yr0

从上式，得0Vz（2）

（c）由于初态和终态的压力相等，故有

0。匕=尺7；和p'=RT

VT

从以上两式，得到乂笃

⑶

由（2）式知，（3）式可化为

T

V=匕k=/%

(4)

1.11满足夕”〃的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的

热容量C,为

C==C

nv

n-t1

证明：根据热力学第一定律，有

CndT—CvdT+pdV

利用理想气体的物态方程，可将PV-c化为

=J

将上式微分，得

,,VdTRdT

tav=-----------=------------

(n-l)T(n-l)p

将⑵代入⑴式，得

1.12试证明：在某一过程中理想气体的热容量C如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数

C-C

n=-----------・

C-C

〃p假设气体的定压热容量和定容热容量是常数。

证明：根据热力学第一定律

CndT=CvdT+pdV

由有pdV+V4/p=Rd7；将d玳入上式，得

(Q-Q_1)dv+c,^c^vdp=o

RPR

两边除以Pv,再经整理，得到

〃等+窄=0,经积分即得〃V"=C.

a=

1.13声波在气体中的传播速度为s假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量。试

〃=h=-----

证明气体单位质量的内能u和焰h可由声速及7给出：/（/-1）+常量，Y-1+常量

证明：理想气体在准静态的绝热过程中，

pU=c,经积分，彳曲+严=0

PV

从而得到（3V）s/v（1）

M

u=G+常数，a=+常数

把⑵中的T代入⑶式，并注意到］-G=R和cP/cv=y

得单位质量的内能U和焰h为

2〃2

——+常数，&=常数。

/(7-1)r-i

1.14大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间不断发生对流。由于气压随高度而降

低，空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。试计算大气温

dT

度随高度的变化率dz,并给出数值结果。

dp（z）

—r-=-Q（z）g

［提示：根据流体静力学可导出气压随高度的变化率dz再利用理想气体的绝热方程求出

包、=.T/⑶dT_（夕-l）Mg

、前）sy，⑶，从而可以求出.答：dzyR数值结果：TOK・历〃I］

解：（i）首先讨论在热平衡下，大气压如何随高度而改变。要注意到热平衡条件中包括力平衡条件，考虑在

高度z和z+dz之间，其截面积为A的空气圆柱体(图1.14),作用在它的上截面和下截面的力分别为

一，(z+dz)A和p(z)A

作用在圆柱内空气的重力为一夕(z)Adz,

由上述三个力的平衡条件：

—p(z+dz)A〃(z)A—p(z)Adzo

dp(z)

「一=一夕(z)g

得到dz

(ii)把(1)式的P(z)变换到p(z):如果空气的平均分子量为m,则Iniol空气的P(z)A

P(z),则可把理想气体的物态方程，V表为

RT(z)/、rn,、

〃(z)=—夕(z)Q(z)=———p(z)

m,和RI(z)

于是(D式变为

图1

dp^_=_mg

dzRT(z)⑵

(iii)现考虑理想气体的准静态绝热过程：

dT(N)_(GT)dp^z)

从dz〔即人/N(3)

包、

知，下面的任务是要求关于1劭Is的表达式。

由热力学第一定律及物态方程，在绝热过程中

dQ=CvdT+pdV=CvdT+/?T—=0

V(4)

由pV=RT,有pdV+陟=RdT；两边除班V=RT,得

dVdTdp

⑸

c

RnCp-g和尸」

将(5)式代入(4)式，注意到则得

dTx—1dp

Typ

(6)

⑺

式中y=1.41,m=29g/moLg=980tvn/sec2所以

(7-\)mglyR=0.41X29X980/(1.41X8.3X107)=1.00x1(T4(deg/cni)=10.Odeg/hn

即每增加1千米，温度约降低101C.

1.15热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送到温度较高的物体上去。如果以理想气

体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试

求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？

[答：热泵效率后者为lo]

见教材第•章1.9理想气体的卡诺循环

1.16假设理想气体的&和C,之比7是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系式中要

用到一个函数F(T),其表达式为

rdT

InF(T)=J(7—1)7

解：在准静态绝热过程中，CvdT+pdV=Q,

因为PV=RT,故得

CdT+RT^~=O,或CdT!dV

vv=O

RTV

R1

或⑴

上式积分后，得

rdT

+lnV=\nC

-1)T⑵

讨论：当Y为常数时，则(1)式经积分后，得

lnr+lnVH=lnC

即有7Vl=C'

〃=1一%

利用上题的结果证明：当丫为温度的函数，理想气体卡诺循环的效率仍为z

1.17

证明：如图1.18所示，I-II：吸热匕

V

Q2=Rqin寸

W-IV:放热”4

在整个循环过程中，对外所作的功为

,=RT.ln^--7?7；InH

W'=O1V,匕(1)

对于状态1和N有下面关系

F(T^=F(T2)匕

对于状态m和IV,有下面关系

户(储)匕=F(T2)V4

⑶式除以(2)式，即得匕匕(4)

W'=R（4_.）ln匕

代入到⑴式，则得V'

⑸

砥］_4）如

W'VT

77=一1L=I上

e,1

5匕

所以

1.18试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。

证明：我们用反证法来证明。如图1.18-1所示。假设两条绝热线S,和&相交与C点。今考察一条等温线T,

它与两条绝热线分别相交于A点和B点（这样一条等温线总能找到，因为等温线得斜率总比绝热线的斜率为小）。

我们可以把过程A-B-C-A认为是可逆循环，在这个循环中，仅在等温过程A-B,系统从外界吸热Q；系统对外

界作的功，其量值等于面积ABC.这就意味着，在此循环过程中，从单一热源吸收的热量完全转变为功而不因起其

它变化。这是违反热力学第二定律的卡尔文说法的。结论是，两条绝热线不能相交。又，若两条绝热线S,和S”

如图1.18-2所示那样相交于C,我们作等温线T构成一个循环，则会得出更为荒谬的结果：它不断对外作功（正

循环），又不断对热源放热。这不仅不符合热力学第二定律，而且也违背热力学第一定律，所以两条绝热线是不能

相交的。

1.19热机在循环中与多个热源交换热量。在热机从其吸收热量的热源中，热源的最高温度为T,.在热机向其

T

放出热量的热源中，热源的最低温度为七.试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过T'

证明：根据克劳修斯不等式，我们有

[dQTwo

J⑷T（外）J⑹T（外）—'

fdQ、<rdQ]

所以」⑷元苑一」⑹元苑⑴

其中，热机在过程(a)的元过程中吸收热量(。2而在过程⑹的元过程放出热量

田。2>。是放出热量的量值)。

如果「是过程(a)中，T(外)的最大值：口是过程(b)中，T(外)的最小值，那么从(1)是，我们有

OkK或0>"

空一，-2,-T,

(上式等号适用于仅有两个热源并且过程是可逆的情况)对外界所作的功w'=Qi-d

"二匕=1一色

所以01°|T'

1.20理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由「升至口.假设丫是常数，试证明前者的燧增为后者的丫

倍。

证明：理想气体在准静态过程中，有

dQ=CvdT+pdV=CpdT-Vdp

(1)

P

“在等压过程中，埔增为

\\6c/T

l=cp—=CIn^-

\|\T=pp

PJT\1T1PT(2)

在等容过程中，端增为

-T2?1>…冷u*吟⑶

町T

EV

图1.20

证明上式的另一方法是：(AS)。=C,,

■=r

对于理想气体，我们已知故

(AS%Cv(若Cn和Cv是常数)

S(T,V)=CvlnT+hRinV+So

S(T,p)=Cp\xxT—ftRlnp+So

将上两式分别用于等容和等压过程，可得

(AS),,_0”斤G，_

村”――

1.21温度为0C的1kg水与温度为100C的恒温热源接触后，水温达到100e试分别求水和热源的焙变以及

整个系统的总嫡变。欲使整个系统的嫡保持不变，应如何使水温从0℃升至100C?已知水的比热容为

4.18J-gTKT

解：题中的热传导过程是不可逆过程，要计算水和热源的燃变，则必须设想一个初态和终态分别与题中所设

过程相同的可逆过程来进行计算。要计算水从0"C吸热升温至100"C时的端变，我们设想一个可逆的等压过程：

mmC,ydT373.

t—=mQIn——=1000x4.18x0.312=13046J-K'

小J273丁小273

对于热源的放热过程，可以设想一个可逆的等温过程：

人0以|1000x4.18x(373-273)

州总=Sk+A^=1847・k

在0C和100”C之间取彼此温度差为无穷小的无限多个热源，令水依次与这些温度递增的无限多个热源接触，

由0t吸热升温至100C,这是一个可逆过程，可以证明

郃热源=-0水，故州总=/水+2X5热源F

1.2210A的电流通过一个25Q的电阻器，历时Is.(i)若电阻器保持为室温27℃,试求电阻器的隔增。(ii)

若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27℃,电阻器的质量为iog,比热容c0为0・841,g'KT，问电阻器的

爆增为何？

解：(1)若电阻器保持一定温度，则它的状态不变，而端是状态的函数，故知电阻器爆增为零，即AS=0.

我们也可以这样考虑，电功转变为热，传人电阻器，同时此热量又由电阻器流入恒温器(比如是实验室)。因

此，传入电阻器的净热量为零，故有AS=°.

(2)在这过程中，有电功转变为热，是不可逆过程。因为端是态函数，我们设想一个是电阻器等压加热

的过程来计算•焙增。

电阻器终态的温度为T,,有Q=mC.(T「T.),及

Q=0.2412Rt=0.24x102x25xl=60。。助

=600+3()()=6(X)(K)

f

得10x0.2

rmCdTT600

cflLf

AS=\-—=mCn\xi-=1Ox0.2xIn一=138《cal/K)

"T「T:300

；（（+乙）

1.23均匀杆的温度一端为T,,另一端为加试计算达到均匀温度2后的嫡增。

解：当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时，其燧的改变可引入一个适当的可逆

过程而进行计算，这是因为燧是态函数。而本问题中，杆是从一非平衡态经历了热传导的不可逆过程，而到达一

个平衡态。因此，设想下述可逆过程：把杆当作是无数无限薄的小段组成，每一个小段的初温各不相同，但都将

具有相同的终温。我们再设想所有的小段互相绝热，并保持同样的压力，然后使每小段连续地跟一系列热源接触,

这些热源地温度由各段的初温度至共同的终温度。这样就定出无数个可逆的等压过程，用来使该杆由初始的非平

衡态变化到平衡态的终态。

我们考虑长为L的均匀杆，位于x处的体积元的质量为

dm-pAdx

其中及分别为杆的密度及截面积，该段的热容量为

PACpdm=CppAdx

最初的温度分布是线性分布的，而使X处的初温为

T—T

7；U)=7]一一L]—2

Lt

若无热量损失，并且为了方便起见，假设各小段的热传导率、密度和热容量都保持不变，则终温

2

该体积元的燧增为

dTT,

=-Vl,pAdx\n(^--^-^x)

Cp=CppAdx\nCppAdx\n-

%TTIfLIf

1

L沿整个杆积分,

得嫡的总变化等于

L玉~T,

△S=xydx

LT,

利用积分公式

jln(a+bx)dx=：(a+bx)\ln(a+bx)-1]

经积分并化简后，得到

AS=mC/l+ln7；.+In7；--1叫）=inQ（ln^^-不叫一阜巴十口

"卜42T|-g

1.24根据端增加原理证明第二定律的开氏表述，从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其它变

化是不可能的。

证明：假设有一个温度为T的热源，一热机在循环过程中从这个热源吸收热量Q,并把此热量Q全部转化为

机械功输出。显然，热源和热机合起来成为一个绝热系统，在上述循环过程中，热源的燧减少了Q/T,而热机的

工作物质的端不变。这样•来，整个绝热系统的燧减少了，这违反了烦增加原理。因此，热机从单一热源吸热并

全部转化为功的过程是不可能的。这个例子表明，热力学第二定律的开氏说法也包括在皤增加原理这一更普遍的

表述中。

1.25物体的初温「高于热源的温度J有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到上为

止。若热机从物体吸取的热量为Q,试根据增增加原理证明，此热机所能输出的最大功为

w^x=Q-((S|—‘2)其中是物体的燃减少量。

证明：热机工作若干循环后从物体吸热

Q,对外界做功W,放出热量Q-W

到T2,此时复合系统(物体、热机和热

源)的端变：

(1)(1)物体燧的变化$2-S];

(2)(2)热机工作物质端的变化为0,

因为作若干循环后，物质恢复原

来状态；

S-5,~—>0

2T（邑一&）+QNW

对于可逆过程，上式取等号，即得

^=2-^(5,-52).

%,、即为此热机所能输出的最大功。

1.26有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为T“今令一致冷机在此两物体间工作，使其中一个物

体的温度降低到T?为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据燧增加原理证明，此过程所需的最小

+心—27；）

功为

证明：把两个物体和制冷机看成为一个绝热系统，则按端增加原理有

2

A5=Cp（ln7；7；-ln7；）＞0

.口>7；2/7；

⑵

又，根据热力学第一定律，有Q\=Qi^w

^CpdT=^CPdT+W

即

积分上式，并经整理后，得

W=G，（Z+q_27；）

把（2）式代入⑶,得

W>C/7；2/7；+7；-27；）

当制冷机作可逆循环时，式中取等号，制冷机作的功最小:

1.27简单系统有两个独立参量。如果以T,S为独立参量，可以纵坐标表示温度T,横坐标表示炳S,构成T-S

图。图中的一点与系统的一个平衡态、一条曲线与一个可逆过程相应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，

并利用T-S图求卡诺循环的效率。

解：由两条等温线和两条绝热线构成的卡诺循环1-2-3f4-1,

在T-S图上，就由图1.27所示。其中1—2是等温过程，由于在此

过程中，物质吸热，所以端是增加的。3f4也是等温过程，由于在

此过程中，物质放热，所以蜡减小。过程2f3,4-1是绝热的等端

过程。

在过程If2中，物质吸收的热量孰为

=（邑一号）

|<22|=「：G〃S=7；（S3-S4）-T;（S2—SQ

所以卡诺循环的热机效率为

feL7；（5-S）_T

a-feL—.J.12I12

］（）T

e,Q7S2-51、

在计算热机循环的效率时，应用T-S图比用P-V图更为方便，这就是在热工计算中广泛采用T-S图的原因。

ai/CD^\rT'

1.28.由物态方程f（P,V,T）=O证明：（F；）r（F；）v（二7）p=-l

dPoTdv

apAP

ID。-P=P(V,TiP=W+(而)

,AIDnQ