微积分(第五章)多元函数微分学复习

多元函数微分学复习一、内容提要上页下页结束返回首页二、典型例题内容提要偏导数注:(1)(2)(3)偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.微积分(第五章)多元函数微分学复习内容提要全微分

函数zf(x,

y)在点(x,

y)可微分:计算公式:重要关系函数可导函数可微偏导数连续函数连续微积分(第五章)多元函数微分学复习内容提要复合函数求导公式

设zf(u1,…,

un)可微

ui(x,y,…)偏导数存在则有全微分形式不变性

设zf(u,v)具有连续偏导数,则有全微分无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.微积分(第五章)多元函数微分学复习内容提要隐函数求导公式

F(x,y)=0确定y=f(x)的导数公式

F(x,y,z)=0确定z=f(x,y)的偏导数公式

微积分(第五章)多元函数微分学复习内容提要曲线的切向量

光滑曲线xx(t),

yy(t),

zz(t)在tt0对应点处的切向量为

曲面F(x,y,z)0与曲面G(x,y,z)0的交线的切向量为

曲面的法向量

曲面F(x,

y,

z)0在点M0(x0,y0,z0)处的法向量为

曲面zf(x,y)在点M0(x0,y0,z0)处的法向量为微积分(第五章)多元函数微分学复习内容提要极值点的必要条件

具有偏导数的极值点必为驻点

极值的充分条件

设f(x

y)具有二阶连续偏导数,(x0

y0)为f(x

y)的驻点,令fxx(x0

y0)A

fxy(x0

y0)B

fyy(x0

y0)C

则

(1)ACB2>0时,f(x0

y0)为极值:

当A<0时为极大值,

当A>0时为极小值

(2)ACB2<0时,f(x0

y0)不是极值

(3)ACB20时,f(x0

y0)可能为极值也可能不是极值

微积分(第五章)多元函数微分学复习内容提要可微函数最值的求法将函数在有界闭区域D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

如果函数的最值一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么该驻点处的函数值就是函数在D上的最值.

拉格朗日乘数法

函数u

f(x,y,z)在条件j(x,y,z)0下的可能极值点为拉格朗日函数L(x,y,z,l)的驻点,其中微积分(第五章)多元函数微分学复习

例1

求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.

解(1)

典型例题微积分(第五章)多元函数微分学复习

例1

求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.典型例题

解(2)

微积分(第五章)多元函数微分学复习

解(1)

例2

求下列极限.

(2)微积分(第五章)多元函数微分学复习

分析:

例2

证明极限不存在.

当点(x,y)在直线y=kx

上时,有注:如果当P以两种不同方式趋于P0时,

函数趋于不同的值,

则函数的极限不存在.

点(x,y)沿不同的直线y=kx

趋于点(0,0)时,函数都趋于0.

若点(x,y)在曲线y=kx3上,则微积分(第五章)多元函数微分学复习

证明当点(x,y)在曲线y=kx3上时,有点(x,y)沿不同的曲线y=kx3趋于点(0,0)时,函数趋于不同的值.注:如果当P以两种不同方式趋于P0时,

函数趋于不同的值,

则函数的极限不存在.

因此,极限不存在.

例2

证明极限不存在.

微积分(第五章)多元函数微分学复习知识点

解1

例2求

解2

微积分(第五章)多元函数微分学复习

证

例3验证函数满足拉普拉斯(Laplace)方程

知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习知识点

解

例3求函数的偏导数.

令则微积分(第五章)多元函数微分学复习知识点

解

例4

设zf(2x3y,x2y)g(xy2),求记微积分(第五章)多元函数微分学复习

解

例4

设zf(2x3y,x2y)g(xy2),求记微积分(第五章)多元函数微分学复习

解

例4

设zf(2x3y,x2y)g(xy2),求微积分(第五章)多元函数微分学复习

例5

求

解设则知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习

解设则注:

本题利用ez=xyz

代入后,运算简便得多.

例5

求微积分(第五章)多元函数微分学复习

解1设则

例5

求和知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习方程两边求微分得

解2

例5

求和知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习

例6

求曲线x2y2z26,xyz0在点(2,1,1)处的切线及法平面方程.

解

所求切线方程为法平面方程为

6(y1)6(z1)0,即yz0.令

则切向量知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习

解

代入椭球面方程,求得切平面方程为

例7

求椭球面x22y2z21上平行于平面xy2z0的切平面方程.设所求切点为(a,b,c),法向量已知平面法向量由题设得即代入b

的值,得知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习令得驻点在点(1,1)处,不是极值；在点(1,-1)处,不是极值；在点处,且所以为极小值.

例8

求函数f(x

y)

xlnx(1x)y2

的极值

解

知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习

解

得驻点

例8

求在区域D上的最值,其中

解方程组在D的边界上,z(y)的驻点为f在D上的最小值为最大值为z(y)的可能最值为知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习

例9

求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.设长方体的三棱长为x,y,z,则

2xy2yz2xz=a2

得唯一驻点

解1

此处V取最大值令知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习

例9

求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.

设长方体的三棱长为x,y,z,则问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)=a2下的最大值.

作拉格朗日函数解方程组F(x,y,z)xyzl(2xy2yz2xza2),

因为由问题本身可知最大值一定存在所以最大值就在这个可能的极值点处取得此时

解2

微积分(第五章)多元函数微分学复习由

解

例10

在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小.求这切平面的切点,并求此最小体积.设切点坐标为(x,y,z),则法向量切平面方程为得切平面方程为该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为问题转化为求函数在以下条件(1)下的极值:(1)知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习作拉格朗日函数问题转化为求函数在以下条件(1)下的极值:(1)解方程组得这是唯一可能的极值点,所求切点为所求四面体的最小体积为在此点体积V取最小值.知识点微积分(第五章)多元函数微分学复习偏导数注:(1)(2)(3)偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.微积分(第五章)多元函数微分学复习二阶偏导数定理如果两个二阶混合偏导数连续,则它们相等.微积分(第五章)多元函数微分学复习全微分形式不变性

设zf(u,v)具有连续偏导数,则有全微分无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的.重要关系函数可导函数可微偏导数连续函数连续微积分(第五章)多元函数微分学复习复合函数求导公式

设zf(u1,…,

un)可微

ui(x,y,…)偏导数存在则有

约定记号

设zf(u1,u2)具有二阶连续偏导数

ui(x,y)偏导数存在则有微积分(第五章)多元函数微分学复习隐函数求导公式

F(x,y)=0确定y=f(x)的导数公式

F(x,y,z)=0确定z=f(x,y)的偏导数公式

全微分

函数zf(x,

y)在点(x,

y)可微分:计算公式:微积分(第五章)多元函数微分学复习曲线的切向量

光滑曲线xx(t),

yy(t),

zz(t)在tt0对应点处的切向量为

曲面F(x,y,z)0与曲面G(x,y,z)0的交线的切向量为

直线的对称式方程

过点M0(x0,y0,z0),方向向量的直线方程为平面的点法式方程

过点M0(x0,y0,z0),法向量的平面方程为微积分(第五章)多元函数微分学复习曲面的法向量

曲面F(x,

y,

z)0在点M0(x0,y0,z0)处的法向量为

曲面zf(x,y)在点M0(x0,y0,z0)处的法向量为平面的点法式方程

过点M0(x0,y0,z0),法向量的平面方程为两向量平行的条件微积分(第五章)多元函数微分学复习极值点的必要条件

具有偏导数的极值点必为驻点

极值的充分条件

设f(x

y)具有二阶连续偏导数,(x0

y0)为f(x

y)的驻点,令fxx(x0

y0)A