协因数传播律

协因数传播定律案例导入：权在测量中的应用比较广泛，是一种比较观测值之间精度高低的指标，同样可以用权来比较各个观测值函数之间的精度。现知道观测值的权需要求观测值函数权，具体问题如下：已知独立观测值的权为（i=1，2，…），求的权。1

权与定权常用的方法协因数与协因数传播定律由真误差计算中误差的实际应用2协因数传播定律知识准备：权与定权的常用方法权的定义3

权是衡量各观测值在平差结果中应起作用大小的数值。

设有一组观测值，其方差分别为(i=1，2，…，n)，则第i个观测值的权定义为

Pi为观测值Li的权，是可以任意选定的比例常数。

观测值的权与观测值的方差成反比，权的大小不是唯一的,但权之间的比例关系不变。权与定权的常用方法单位权方差4

权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个，否则，将破坏权之间的比例关系，失去相对精度标准的意义。的含义：

令，则得:

上式说明是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。凡是方差等于的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单位权观测值。权与定权的常用方法5例1已知三个角度观测值的中误差分别为±3″，±4″，±5″，试求各角的权。

解:若取则有

若取

则有

上例说明σ0取值不同，则各观测值的权不同，但权之间的比值不变，即权与定权的常用方法6例2已知A角的中误差σA=±2″，权PA=4，B角的权PB=16，试求单位权中误差σ0及B角的中误差σB。

解:由权的定义式可得

将σA、PA之值代入上式可解出

又由权的定义式可得

权与定权的常用方法水准测量定权7已知同精度观测Ni个测站的水准高差hi的方差为：

取C个测站的观测高差的方差为单位权方差，即

按定权公式可得用测站数定权的公式

1、用测站数定权（用于山地）

权与定权的常用方法8

已知每公里观测高差的方差相等时，Si

公里观测高差的方差为

取C公里观测高差的方差为单位权方差，即

按定权公式可得用路线长度定权的公式：

上式说明，当每公里观测高差等精度时，水准测量高差的权与距离成反比。2、用路线长度定权（用于平地）权与定权的常用方法9例1在某平原地区布设了一水准网如右图，图中各水准路线的长度分别为:试确定同精度观测条件下，各线路高差观测值的权。

解:取3公里的观测高差为单位权观测，即取C=3km，则按水准测量的定权公式求得权与定权的常用方法10例2在平坦地区测得两段观测高差及水准路线的长分别为：h1=10.125米，S1=3.8公里，h2=-8.375米，S2=5.5公里，设每一测站的观测精度相同，那么h1和h2哪一个权大？哪一个精度高？解：由水准测量的定权公式知，水准测量的权与路线长度成反比，因为S2大于S1

，所以，h1的权比h2的权大，h1精度高。权与定权的常用方法11例3在相同观测条件下进行的四等水准测量中，设以4公里的观测高差为单位权观测高差，已知单位权中误差σ0=±1mm，则64公里观测高差的中误差等于多少？

解：根据题意知，C=4公里，σ0=

±1mm，S=64公里，由水准测量的定权公式求64公里观测高差的权

再由权的定义式

可得

所以，64公里观测高差的中误差为4mm。

权与定权的常用方法距离量测定权12

1、钢尺量距的权

设单位长度距离丈量的方差为σ2

，则丈量距离Si

的方差为取丈量长度C的方差为单位权方差，即取则按定权公式得

上式说明，当单位长度距离丈量的精度相同时，距离丈量的权与长度成反比。权与定权的常用方法距离量测定权13测距仪测距的权可按定权公式直接求得，即

式中为任选的单位权方差；为测距方差，它包含固定误差和比例误差两部分。即mmkm2、光电测距的权权与定权的常用方法

等精度观测算术平均值的权14

已知一组等精度的独立观测值(方差均为σ2)算术平均值的方差为：

若取C次观测值的算术平均值为单位权观测值，即取

按定权公式可得算术平均值的权

上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。

协因数与协因数传播定律协因数15

单位权方差与观测值方差之比可作为衡量精度的相对指标，反过来，观测值方差与单位权方差之比同样可作为衡量精度的相对指标，我们称其为协因数，用符号Qii表示，即

与权的定义式比较可得

由协因数定义式又可得到

协因数与协因数传播定律协因数阵161、n维随机向量X的协因数阵仿协因数定义,定义两随机变量的互协因数将n维随机向量X的方差阵的定义式乘以，得:上列矩阵称为协因数阵，记作QX，即上式矩阵中，当Qij=0(i≠j)时，则Xi和Xj互相独立。协因数与协因数传播定律协因数阵17当向量Z是向量X和Y的分块向量时，即则有

式中，QX、QY分别为X、Y向量的自协因数阵，而QXY、QYX分别为X向量关于Y向量的互协因数阵，QXY与QYX互为转置。当QXY=0时，表示X、Y互相独立。

2、分块向量的协因数阵协因数与协因数传播定律

权阵18平差计算中，往往用协因数阵的逆阵参与运算，为表达方便，将其逆阵用符号P表示，并称其为权阵，即观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，再利用权与协因数的倒数关系求权。当权阵为对角阵时，Qii=1/Pii，再由权与协因数的关系得协因数与协因数传播定律19例1已知观测值向量L的协因数阵为试求:1)观测值L1、L2的权P1和P2；

2)观测值向量L的权阵P。解:1)由权与协因数的关系式可得

2)由权阵的定义式可得观测向量L的权阵为协因数与协因数传播定律20例2已知观测向量L的权阵为试求观测值L1，L2的权。解:由权阵与协因数阵的关系式得观测值向量L的协因数阵为

再由权与协因数的关系式得:协因数与协因数传播定律协因数传播律21将协方差传播公式乘以，并顾及即可得到观测向量X与其函数向量Y、Z之间的协因数传播公式，即若向量X中的各个分量xi(i=1，2，…，n)两两独立，即系数矩阵为行向量则有协因数与协因数传播定律22例1在测站O上观测了A、B、C三个方向，如图所示，得观测值L1、L2、L3。设各方向值之间互相独立且等精度，其权逆阵为试求角度β=(β1β2)T的权逆阵Q。解:因为上式中，说明在一个测站上当有二个以上方向时,由方向观测值求出的角度之间是相关的。由真误差计算中误差的实际应用

用不同精度的真误差计算单位权中误差23设一系列不等精度的观测值、观测值的真误差、观测值的权分别为L1,L2,…,LnΔ1,Δ2,…,ΔnP1,P2,…,Pn再假设一列观测值为其真误差为由协因数传播律可得即说明（i=1,2,…,n）是等精度的,且权都等于1。由真误差计算中误差的实际应