计算方法与误差

计算方法与误差第1页，共52页，2023年，2月20日，星期四1.修正值(Correction)

:为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。

修正值真值测得值－特点：1)与误差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身还有误差。误差－有关误差的几个概念第2页，共52页，2023年，2月20日，星期四【例1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V

，被测电压的修正值为－5V

，则修正后的测量结果为

226+(－5V)=221V。

有关误差的几个概念第3页，共52页，2023年，2月20日，星期四2.引用误差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定义:

该标称范围（或量程）上限引用误差

仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差

引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。

有关误差的几个概念第4页，共52页，2023年，2月20日，星期四我国电工仪表、压力表的准确度等级（AccuracyClass）就是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为：最大相对误差为绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确

（公式2）（公式1）3.电工仪表、压力表的准确度等级有关误差的几个概念第5页，共52页，2023年，2月20日，星期四【例2

】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？由引用误差公式，该电压表的引用误差为：由于所以该电压表合格。【解1】【解2】0.1级电流表允许的相对引用误差为±0.1％，允许的最大绝对误差为10×0.1％＝0.01(A)＝10mA。因8mA＜10mA，故该电流表合格。第6页，共52页，2023年，2月20日，星期四【例3】某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。根据题意得由公式1可知，最大绝对误差为：

相对误差分别为：

可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。

【解】第7页，共52页，2023年，2月20日，星期四我国电工仪表共分七级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5及5.0。0.1级表的引用误差的最大值不超过±0.1％；0.5级表的引用误差的最大值不超过±0.5％等。工业自动化仪表的精度等级一般在0.2～5.0级之间。3.电工仪表、压力表的准确度等级有关误差的几个概念第8页，共52页，2023年，2月20日，星期四误差的分类按误差性质分类，误差可分为：

1、偶然误差(又称随机误差)－在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。

2、系统误差－绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差。

3、粗大误差－超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。各类误差之间在一定条件下可以相互转化。第9页，共52页，2023年，2月20日，星期四三类误差的关系及其对测得值的影响标准差期望值

均值

某次测得值

奇异值

系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。第10页，共52页，2023年，2月20日，星期四如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。误差性质的相互转化第11页，共52页，2023年，2月20日，星期四精度定义：反映测量结果与真值接近程度的量称为精度。误差大精度低、误差小精度高。精度分为：准确度（Correctness）－反映测量结果中系统误差的影响程度精密度（Precision）－反映测量结果中随机误差的影响程度精确度（Accuracy）－反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度（或）极限误差来表示。第12页，共52页，2023年，2月20日，星期四定义：在同一条件下多次测量同一量值时，绝对值与符号无法预知，但服从统计规律的误差。随机误差tI(cps)例：用放射性仪器测量同一样品第13页，共52页，2023年，2月20日，星期四随机误差的基本特征对称性－绝对值相等的正误差与负误差出现的几率相等单峰性－绝对值小的误差比绝对值大的误差出现几率大有界性－一定测量条件下误差绝对值不会超过一定界限抵偿性－测量次数足够多时，误差的算术平均值趋于零随机误差所具有的抵偿性可以由其对称性特征导出。对有限次测量，随机误差的算术平均值是一有界小量。对足够多次测量，随机误差算术平均值趋于零。大部分随机误差均服从正态分布。第14页，共52页，2023年，2月20日，星期四正态分布特征参数：数学期望、方差1、数学期望值2、方差3、平均误差标准差σ为曲线拐点A的横坐标0ρσθδ4、或然误差第15页，共52页，2023年，2月20日，星期四算术平均值（最大或然值）1、算术平均值的计算2、算术平均值的意义算术平均值与被测量的真值最为接近。证明如下：由有整理后有第16页，共52页，2023年，2月20日，星期四由随机误差的第四特征有：当有所以有由此可见，对某一量进行无限多次测量，可得不受随机误差影响的测量值，或其影响可以忽略。这就是当测量次数足够多时，算术平均值被认为是最接近于真值的理论依据。实际工作中，只能进行有限次测量，此时得到的算术平均值只能是真值的近似值。第17页，共52页，2023年，2月20日，星期四测量的标准差测量的标准偏差简称为标准差，也称为均方根误差由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准。测量的标准偏差就是为此引入的参数。第18页，共52页，2023年，2月20日，星期四标准差的数值大小，反映了测量数据的集中程度。标准差的数值小，该测量列相应小的误差就占优势，任一单次测得值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即测量精度高；标准差的数值大，测量数据间分散程度大，精度就低。单次测量的标准差是表征同一被测量的n次测量的测得值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。测量的标准差——意义第19页，共52页，2023年，2月20日，星期四在等精度测量列中，单次测量的标准差计算的理论公式：

式中n——测量次数(应充分大)；

δi——测得值与被测量的真值之差。测量的标准差——理论公式第20页，共52页，2023年，2月20日，星期四在有限次测量情况下，可用残余误差代替真误差，而得到标准差的估计值。

测量的标准差——实际公式第21页，共52页，2023年，2月20日，星期四或然误差测量的标准差——其它公式平均误差第22页，共52页，2023年，2月20日，星期四在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的1／n1/2，当测量次数n愈大时，算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。测量的标准差——算术平均值的标准差第23页，共52页，2023年，2月20日，星期四例：相同条件下对一物理量测量100次，依据这100测量结果求出标准差为0.05，现要求测量量的标准差不大于0.01，问如何安排对该量的测量。解：本题是已知σ，求σx的问题。由有即在相同条件下测量不少于25次，取其平均值作为测量结果，平均值的标准差将不大于0.01。第24页，共52页，2023年，2月20日，星期四评定算术平均值的其它标准

——或然误差R或平均误差T或然误差R平均误差T第25页，共52页，2023年，2月20日，星期四解：例：用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下（单位为mm）：

75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求算术平均值及其标准差。求出算术平均值为：

求出残余误差和为：

校核∵结果一致∴计算结果正确第26页，共52页，2023年，2月20日，星期四根据上述各个误差计算公式可得单次测量值的均方差：算术平均值的均方差：或然误差：平均误差：第27页，共52页，2023年，2月20日，星期四测量的极限误差

测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为P，并使差值(1—P)可予忽略。t|δ|＝tσ2Φ(t)1－2Φ(t)测量次数,n超出|δ|的测量次数0.6712340.67σ1σ2σ3σ4σ0.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111第28页，共52页，2023年，2月20日，星期四单次测量的极限误差工程问题中其它常用置信系数t值有t=2.58，P=99％；

t=2，P=95.44％；

t=1.96，P=95％通常情况下，选择置信系数不同，确定的置信概率区间也不同。测量的极限误差第29页，共52页，2023年，2月20日，星期四算术平均值的极限误差●测量次数较少时ta由

t

分布表查出；－置信系数,由给定的置信概率P=l-α和自由度ν=n-1查t分布表来确定。

α－超出极限误差的概率(称显著度或显著水平)●测量次数较多时ta由

正态分布表查出；测量的极限误差第30页，共52页，2023年，2月20日，星期四解例题

某仪器在相同条件下对某量测量了10次，获得以下数据。试判定该组测量数据是否可靠？100，95，98，106，121，109，99，84，104，99分析：在此情况下，实际是要考察测量数据是否符合正态分布的规律。现落入x±1σ（91.85－111.15）数据数为8个现落入x±3σ（72.55－130.45）数据数为10个故可以认为该批数据可靠第31页，共52页，2023年，2月20日，星期四

例

对某量进行6次测量，测得数据如下：

802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46求算术平均值及其极限误差。解：算术平均值：标准差：算术平均值标准差第32页，共52页，2023年，2月20日，星期四因测量次数较少，应按t分布计算算术平均值的极限误差

现求出自由度：ν＝n-1＝5取显著性水平：α＝0.01由t分布表查得：求得极限误差：若按正态分布计算，取α=0.01，相应的置信概率P=1-α=0.99，由正态分布表查得t=2.60，则得算术平均值的极限误差为当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显差别。

第33页，共52页，2023年，2月20日，星期四不等精度测量不等精度测量的概念在不同的测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为不等精度测量。常见不等精度测量的类型：用不同测量次数进行对比测量。用不同精度的仪器进行对比测量。用不同测量次数进行对比测量用同—台仪器测量某一参数，先后用n1次和n2次进行测量，分别求得算术水平均值x1和x2。因为n1与n2不同，造成x1与x2的精度不一样。用不同精度的仪器进行对比测量对于高精度或重要的测量任务，往往要用不同精度的仪器进行互比核对测量，显然所得到的结果不会相同。第34页，共52页，2023年，2月20日，星期四不等精度测量1、权的确定方法2、加权算术平均值为接近的任选参考值

测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比第35页，共52页，2023年，2月20日，星期四不等精度测量3、各组标准差已知时的加权算术平均值的标准差4、各组标准差未知时的加权算术平均值的标准差第36页，共52页，2023年，2月20日，星期四例：

对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为求各测量结果的权。解：因此各组的权可取成第37页，共52页，2023年，2月20日，星期四例：工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果。解：按测量次数来确定权：

选取

x0=999.94第38页，共52页，2023年，2月20日，星期四例：工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果的加权算术平均值的标准差。

解：由加权算术平均值得已知：第39页，共52页，2023年，2月20日，星期四系统误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差称为系统误差。系统误差一般不能采用算术平均值的方法来减少。系统误差往往与随机误差混在一起，且影响程度比随机误差大，不解决系统误差影响，对随机误差的处理就意义不大。定义、特点、意义第40页，共52页，2023年，2月20日，星期四系统误差(一)不变的系统误差

在整个测量过程中，误差符号和大小固定不变的系统误差，称为不变的系统误差。(二)线性变化的系统误差在整个测量过程中，随着测量值或时间的变化，误差值是成比例地增大或减小，称为线性变化的系统误差。(三)周期性变化的系统误差在整个测量过程中，若随着测量值或时间的变化，误差是按周期性规律变化的，称为周期性变化的系统误差。(四)复杂规律变化的系统误差第41页，共52页，2023年，2月20日，星期四系统误差的发现——残余误差观察法测量列组内系统误差的方法残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差，这种方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。系统误差据此，可以按测量顺序，将残余误差列表或作图，即可判断是否存在系统误差。ν正、负出现无规律，无系统误差第42页，共52页，2023年，2月20日，星期四残余误差数值有规律地递增或递减，在测量开始与结束时误差符号相反，存在线性系统误差。残余误差符号有规律地逐渐由负变正、再由正变负，且循环交替重复变化，则存在周期性系统误差。残余误差符号有规律地递增或递减，且有规律地逐渐由负变正、再由正变负且循环交替重复变化，故可能存在线性系统误差与周期性系统误差。第43页，共52页，2023年，2月20日，星期四序号1234567891020.0620.0720.0620.0820.1020.1220.1420.1820.1820.21-0.06-0.05-0.06-0.04-0.02-0.00+0.02+0.06+0.06+0.09误差顺序由负到正，存在线性系统误差例：恒温箱温度测量10次，得表结果，判断是否存在系统误差。第44页，共52页，2023年，2月20日，星期四系统误差的发现——秩和检验法——各测量组之间对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。若独立测得两组的数据为将它们混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序(即秩)，再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。若两组的测量次数n1、n2≤10，可根据测量次数较少的组的次数和测量次数较多的组的次数，由秩和检验表2—10查得T-和T+(显著度0.05)，若T-<T<T+，则无根据怀疑两组间存在系统误差。系统误差第45页，共52页，2023年，2月20日，星期四秩和检验表n1n2T-T+24311253132641427416284182942021052133615347173572036822n1n2T-T+379243892739102931011314412244513274614304715334816364917394101842n1n2T-T+55193656204057224358234759255051026546628506730546832586933636103567n1n2T-T+77396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127第46页，共52页，2023年，2月20日，星期四标准差数学期望当n1、n2>10，秩和T近似服从正态分布

根据求得的数学期望值a和标准差σ，有

选取概率，由正态分布积分表查得ta，若判定：两组数据间无系统误差

系统误差第47页，共52页，2023年，2月20日，星期四例：对某量测得两组数据如下，判断两组数据间有无系统误差

解：将两组数据混合排列成下表

计算秩和

找测量次数少的组根据

查表得

T1234567

14.714.8

15.215.614.6

15.015.1

因为故可以认为两组数据间无系统误差。第48页，共52页，2023年，2月20日，星期四3σ准则(莱以特准则)实际处理时，以贝塞尔公式算得σ，以代表真值。对某个可疑数据ld