计算机中的数制和码制

计算机中的数制和码制1第1页，共50页，2023年，2月20日，星期四1、数和数制计数制：一种计数的方法，用不同的代码来表示任意数计算机中使用二进制数（B）为方便二进制数的记忆，使用十六进制数（H）为与人们良好沟通，使用十进制数（D）2第2页，共50页，2023年，2月20日，星期四十进制数的特点代码个数：具有10个不同的代码，分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9进位规则：逢10进一权：以10为底的幂“权”是一种位置系数3第3页，共50页，2023年，2月20日，星期四二进制数的特点代码个数：具有2个不同的代码，分别是0、1进位规则：逢2进一权：以2为底的幂4第4页，共50页，2023年，2月20日，星期四十六进制数的特点代码个数：具有16个不同的代码，分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F进位规则：逢16进一权：以16为底的幂5第5页，共50页，2023年，2月20日，星期四十进制、二进制、十六进制数码对照表十进制二进制十六进制00000B0H10001B1H20010B2H30011B3H40100B4H50101B5H60110B6H70111B7H81000B8H十进制二进制十六进制91001B9H101010B0AH111011B0BH121100B0CH131101B0DH141110B0EH151111B0FH1610000B10H6第6页，共50页，2023年，2月20日，星期四位置计数法（1）同一个数字在不同的数位代表的数值是不同的，这种计数方法称为位置计数法。在位置计数法中，对每一个数位赋予不同的位值，称为权。每个数位上的数字所表示的量是这个数字和该数位的权的乘积。所以一般来说，对于基数为X的任意数可以用多项式表示7第7页，共50页，2023年，2月20日，星期四位置计数法（2）其中：Ki——第i位的系数，可以为0，1，…,(X-1)共X个数字符号中任一数字符号；m,n——幂指数，均为正整数；Xi——第i位的权。8第8页，共50页，2023年，2月20日，星期四书写规则为了区分不同数制，常用如下方法：后缀表示法：

B—二进制；例：1011BO—八进制；例：345o(或Q)D—十进制（可省略）；例：678D(或678)H—十六进制；例：8DFH9第9页，共50页，2023年，2月20日，星期四各种数制的相互转换（1）非十进制数转换成十进制数可将其按定义展开为多项式，再将系数和权均用十进制表示后，按照十进制进行乘法和加法计算，所得结果即为对应的十进制数。例：二进制整数转换为十进制整数101000101B=1*28+1*26+1*22+1*20=325D例：二进制小数转换为十进制小数0.101001B=1*2-1+1*2-3+1*2-6=0.5+0.125+0.015625=0.640625D10第10页，共50页，2023年，2月20日，星期四各种数制的相互转换（2）十进制数转换成非十进制数整数部分按照基数进行连除，直到余数为０为止，所得的余数序列逆序就为对应的非十进制数；小数部分按照基数进行连乘，直到小数部分为０或达到计算要求的精度为止，每次乘积的整数部分序列就为对应的非十进制小数。11第11页，共50页，2023年，2月20日，星期四各种数制的相互转换（3）十进制325整数转换为二进制整数除基取余法：除基余数ki

232521621k02810k1

2401k22200k3

2100k4250k5221k6210k701k8

325D=101000101B12第12页，共50页，2023年，2月20日，星期四各种数制的相互转换（4）例：将十进制数0.625转化为二进制形式。

乘基整数ki

0.625×2=1.251k-1

0.25×2=0.50k-20.5×2=1.01k-3

0.625=0.101B注：如果一个任意十进制数要转换成非十进制数，可以把整数部分和小数部分分别加以转换，然后把转换后的整数部分和小数部分相加13第13页，共50页，2023年，2月20日，星期四各种数制的相互转换（5）二进制转换成十六进制数从小数点开始分别向左向右把整数及小数部分每４位分成一组，如果不足则补０。用十六进制数取代每组的数值，就可得到对应的十六进制数。例如：二进制数1011101001.110101转换成十六进制数二进制：001011101001.11010100↓↓↓↓↓十六进制：２E９.D４

1011101001.110101B=2E9.D4H14第14页，共50页，2023年，2月20日，星期四各种数制的相互转换（6）十六进制数转换成二进制数用对应的４位二进制数取代１位十六进制数。例如：十六进制数5C7A.3BH转换成二进制数十六进制数：５C７A.３B↓↓↓↓↓↓二进制数：0101110001111010.001110115C7A.3BH=101110001111010.00111011B15第15页，共50页，2023年，2月20日，星期四无符号数和有符号数在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符类型，无正负的类型（只有正值），称为无符类型。当我们指定一个数是无符号类型时，那么其最高位的1或0，和其它位一样，用来表示该数的大小。当我们指定一个数是有符号类型时，此时，最高位称为“符号位”。最高位为1时，表示该数为负值，最高位为0时表示为正值。16第16页，共50页，2023年，2月20日，星期四无符号二进制数的算术运算加法：0＋0=00＋1=11＋0=11＋1=0减法：0－0=00－1=11－0=11－1=0乘法：0×0=00×1=01×1=11×0=0除法：乘法的逆运算，可以用减法和左移运算实现17第17页，共50页，2023年，2月20日，星期四无符号二进制数的取值范围：一个n位的无符号二进制数X，其取值范围是0≤X≤2n-1溢出:最高有效位产生进位18第18页，共50页，2023年，2月20日，星期四无符号二进制数的逻辑运算“与”：0∧0=00∧1=01∧0=01∧1=1“或”：0∨0=00∨1=11∨0=11∨1=1“非”：1=00=1“异或”：0⊕0=00⊕1=11⊕0=11⊕1=019第19页，共50页，2023年，2月20日，星期四2、有符号二进制数的表示方法及溢出问题一个有符号的数在机器中的表示形式称为机器数，其数值称为真值机器数有三种表示法：原码、反码、补码计算机中带符号的数用补码表示20第20页，共50页，2023年，2月20日，星期四原码表示法（1）正数的符号位用“0”表示，负数的符号位用“1”表示，绝对值的编码与无符号数的编码规则相同例如，X=＋1010011[X]原=01010011

X=－1010011[X]原=11010011对于8位二进制原码0有两种表示形式：[＋0]原=00000000正零

[－0]原=10000000负零所能表示的取值范围：－127~＋127[＋127]原=01111111[－127]原=1111111121第21页，共50页，2023年，2月20日，星期四原码表示法（2）原码表示简单易懂，易于形成。但是，两个异号数相加或两个同号数相减，就要做减法操作22第22页，共50页，2023年，2月20日，星期四反码表示法（1）正数的反码表示与原码相同，最高位为符号位，用“0”表示正，其余位为数值位例如：[＋4]反=00000100负数的反码，表示为该数对应的正数按位取反（包括符号位）例如：[＋4]反=00000100[－4]反=1111101123第23页，共50页，2023年，2月20日，星期四反码表示法（2）对于8位二进制反码0有两种表示形式：[＋0]反=00000000正零

[－0]反=11111111负零所能表示的取值范围：－127~＋127[＋127]反=01111111[－127]反=1000000024第24页，共50页，2023年，2月20日，星期四补码表示法（1）正数的补码表示与原码相同，最高位为符号位，用“0”表示正，其余位为数值位例如：[＋4]补=00000100负数的补码等于其相应的反码加1（在最低位加1）例如：[＋4]补=00000100[－4]补=[－4]反＋1=11111011＋1=1111110025第25页，共50页，2023年，2月20日，星期四补码表示法（2）对于8位二进制补码：0的表示是唯一的：

[＋0]补=[－0]补=00000000所能表示的数值范围：－128~＋127[＋127]补=01111111[－128]补=1000000026第26页，共50页，2023年，2月20日，星期四二进制数、原码、补码关系二进制数无符号二进制数原码补码000000000+0+000000001000000101+1+12+2+2…………01111110126+126+12601111111127+127+12710000000128-0-12810000001129-1-12710000010130-2-126…………11111110254-126-211111111255-127-127第27页，共50页，2023年，2月20日，星期四有符号数运算时的溢出问题（1）溢出：有符号数的运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错如果计算机的字长是n位，最高位是符号位，采用补码表示法时，可表示的数的范围为-2n-1≤Ｘ≤2n-1-1溢出出现在两个同号数相加或两个异号数相减的情况下

28第28页，共50页，2023年，2月20日，星期四有符号数运算时的溢出问题（2）加法运算时：如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）没有进位输出时；反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都会产生溢出。01001000B+72

＋

01100010B+9810101010B-8610101101B

-83+10110000B-8001011101B+93+72与+98之和为+170，超过了８位二进制数的所能表示的最大数+127，产生了上溢，得到了错误的结果-86。-83与-80之和应为-163，超过了８位二进制数所能表示的最小数-128，产生了下溢，得到了错误结果+93。29第29页，共50页，2023年，2月20日，星期四有符号数运算时的溢出问题（3）减法运算时：当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围，结果为负数）；反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围，结果为正数），都会产生溢出。01001000B

+72

－

10011110B-9810101010B-86+72与-98之差应为170，超过了８位二进制数所能表示的最大+127，产生了上溢，得到了错误结果-86。10101101B

-83

－

01010000B+8001011101B+93-83与+80之差应为-163，超出了８位二进制数所能表示的最小数-128，产生下溢，得到错误结果为+93。30第30页，共50页，2023年，2月20日，星期四3、定点数和浮点数在计算机中用二进制表示实数的方法有两种：定点法和浮点法定点法

所谓定点法，即小数点在数中的位置是固定不变的，以定点法表示的实数称作定点数。方法一：规定小数点固定在最高数值位之前，机器中所能表示的都是小数。n位数值部分所能表示的数N的范围（原码表示）为1-2-n≥N≥-(1-2-n)符号位数值位↑小数点符号位数值位↑小数点31第31页，共50页，2023年，2月20日，星期四方法二：规定小数点固定在最低数值位之后，机器中所能表示的数都是整数。n位数值部分所能表示的数N的范围是2n-1≥N≥-(2n-1)符号位数值位↑小数点由于实际问题中很少有纯粹的整数或者小数，所以定点法要求程序员为了调整所要表示的数值范围，而选择比例因子。所有原始数据都要用比例因子化成小数或整数，计算结果又要用比例因子恢复。对于复杂的计算，计算中间需要多次调整比例因子。定点数和浮点数32第32页，共50页，2023年，2月20日，星期四浮点法任意一个二进制数N总可以写成下面的形式：N=±d·2±p其中：d称为尾数，是二进制纯小数，指明数据的全部有效数字。前面的符号称作数符，表示数的符号。P称为阶数，它前面的符号称为阶符，由此可知，将尾数d的小数点向右(对+p)或向左(对-p)移动p位，即得数值N。所以阶符和阶码指定小数点的位置，小数点随着p的符号和大小而浮动，所以这种数称为浮点数。定点数和浮点数33第33页，共50页，2023年，2月20日，星期四如果尾数的绝对值小于1而且大于等于0.5，即采用原码编码的正数或者负数和采用补码编码的正数，其尾数的最高位数字为1；采用补码编码的负数，其尾数的最高位数字为0，则该浮点二进制数被称为规格化浮点数。数的加减运算要求小数点对齐，对于浮点数而言，就是阶码（包括阶符）相等，使阶码相等的操作称为对阶。阶符阶码数符尾数↑1位↑m位↑1位↑n位定点数和浮点数34第34页，共50页，2023年，2月20日，星期四例如：已知m=4，n=10，有一个十进制数17.75，将其转换成二进制数，并对它进行规格化。

(17.75)10=(10001.11)2=0.1000111×25

规格化后：001010

1000111000浮点运算后，经常要把结果规格化，规格化的操作就是尾数每右移1位(相当于小数点左移1位)，阶码加1；尾数每左移1位，阶码减1。定点数和浮点数35第35页，共50页，2023年，2月20日，星期四对阶的规则是：将两个数中阶码小的数的尾数右移，阶码增大，直到与另一个数的阶码相等为止。这样的操作很合理，因为尾数右移，不会打破尾数的范围，只可能丢失最低有效位，造成的误差较小。例如两个二进制数1.10001和10011.1001相加，经过规格化后分别为

00001011000100000010101001110010对阶后变为

0010100000110001+00101010011100100010101010100011定点数和浮点数36第36页，共50页，2023年，2月20日，星期四4、二进制编码（1）二进制编码的十进制数（BCD编码）用二进制编码表示的十进制数称为二-十进制码，简称BCD码（BinaryCodedDecimal）BCD码是十进制数，但用二进制数来表示BCD码有多种表示方法，最常用的是8421BCD码8421BCD码每一位用四位二进制数来表示37第37页，共50页，2023年，2月20日，星期四8421BCD码的编码方案十进制8421BCD码8421BCD码十进制0123456789101112131415000000010010001101000101011001111000100100010000000100010001001000010011000101000001010138第38页，共50页，2023年，2月20日，星期四BCD码的两种格式BCD码的两种基本格式：组合式BCD码

分离式BCD码

组合式：一个字节表示两个BCD码，即两位十进制数

76543210

低位高位分离式：一个字节的低四位表示一个BCD码，高四位通常为0000，它对这个字节所表示的十进制数无影响。

76543210

BCD码39第39页，共50页，2023年，2月20日，星期四BCD码的加减运算例：用BCD码求38+49

0011

1000

38的BCD码＋0100100149的BCD码

1000

0001

81的BCD码错误原因分析：由于BCD编码是将每个十进制数用一组4位二进制数，即一个十六进制数表示。在十进制数中是“逢十进一”和“借一当十”，而计算机按二进制数运算，是“逢十六进一”和“借一当十六”，这样在BCD码的加减法运算的结果会出现错误。40第40页，共50页，2023年，2月20日，星期四BCD码的加减运算由于BCD码加法会出错，解决的方法就是“加6修正”，其规则是：⑴如果任何两个对应位BCD数相加的结果向高一位无进位时，若得到的结果小于或等于9，则该位不需修正；若得到的结果大于9且小于16时，该位就需要修正。⑵如果任何两个对应位BCD数相加的结果向高一位有进位时(即结果大于或等于16)，该位进行加6修正。⑶低位修正结果使高位大于9时，高位进行加6修正。这种修正称为BCD调整。同样在进行减法运算时，可采用“减6修正法”。在计算机中，还有BCD调整指令，可得到正确的结果。41第41页，共50页，2023年，2月20日，星期四BCD码的加减运算例：用BCD码求38+49

0011

1000

38的BCD码＋0100100149的BCD码

1000

0001低四位向高四位有进位

0000

0110低四位加6修正

1000

0111

87正确结果42第42页，共50页，2023年，2月20日，星期四ASCII字符编码计算机既要处理数值数据，还要处理字母、数字和符号（简称字符），而计算机内部只能识别二进制代码，所以必须将字符进行编码目前微型计算机普遍采用的是美国国家信息交换标准字符码—ASCII码（AmericanStandardCodeforInformationInterchange）43第43页，共50页，2023年，2月20日，星期四ASCII字符编码ASCII码采用7位二进制代码对字符编码，故可表示128个字符

44第44页，共50页，2023年，2月20日，星期四ASCII字符编码一个字节为8位，在用一个字节表示一个ASCII码时，通常认为最高位为0。有时根据需要也用最高位作为奇偶校验位，用来检验代码在存储和发送过程中是否发生错误。偶校验时，每个代码的二进制形式中应有偶数个1；奇校验时，每个代码中应有奇数个1。奇偶校验只具有发现代码在存储和发送过程中出现的奇数个位出现错误的能力，由于简单可行，它被广泛地用于信息的存储和传送。45第45页，共50页，2023年，2月20日，星期四ASCII码字符表（7位码）

000010012010301141005101611071110123450000000100100011010001016789A0110011110001001101010111100110111101111BCDEFNULSOHSTXETXEOTENQDLEDC1DC2DC3DC4NAKSP!“#$%012345@ABCDEPQRSTU、abcdepqrstuACKBELBSHTLFSYNETBCANEMSUB&‘()*6789：FGHIJVWXYZfghijvwxyzVTFF