2022-2023学年江苏省连云港市赣榆高一年级下册学期3月阶段检测数学试题【含答案】

2022-2023学年下学期第一次月考高一·数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点则与同方向的单位向量为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.考点：向量运算及相关概念2.等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两角和差正弦公式直接求解即可.【详解】.故选：D.3.在中，若，则－定是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得，得到为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得，即，因为，所以为钝角，所以－定是钝角三角形.故选：C.4.已知平行四边形中，，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算法则，逐步计算出结果.【详解】如图所示，为，，所以，又，.故选：C.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角的正切公式即可求得的值.【详解】由，可得则故选：B6.已知向量，满足，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】设与的夹角为，，又，，解得，故选B.7.如图，在斜坐标系中，x轴、y轴相交成角，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作．在此斜坐标系中，已知向量，则夹角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知，将等价转化为，，再结合展开求值即可【详解】，，又x轴、y轴相交成角，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，故，，故夹角的大小为，故选：C【点睛】本题考查由向量数量积的关系求解向量夹角大小，解决此类题型，对于诸如这类模长，通常采用进行等价转换，属于中档题8.若，则下列可能是的值的是（）A.20° B.40° C.50° D.70°【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系化简即可求解.详解】，则有，所以的可能值为，故选：.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列三角式中，值为1的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.【详解】A选项,，故正确.B选项，，故正确.C选项，，故正确.D选项，，故错误故选：ABC10.下列说法中不正确的为（）A.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C.若，则D.非零向量和满足，则与的夹角为【答案】ACD【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；由平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A，，，与的夹角为锐角，则，，且与不共线，即，即，所以且，故A错误；对于B，向量，即、共线，故、不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于选项C，因为，所以或或，故C错误；对于D，因为，两边平方得，则，，故，而，故，所以，与的夹角为，故D项错误．故选：ACD.11.已知函数，则下列关于函数的描述，正确的是（）A.在区间上单调递增B.图象的一条对称轴是C.图象的一个对称中心是D.将的图象向右平移个单位长度后，所得的函数图象关于轴对称【答案】AB【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的单调性可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断D选项.【详解】因为，对于A选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增，A对；对于B选项，，故图象的一条对称轴是，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，将的图象向右平移个单位长度后，可得到函数，且函数为非奇非偶函数，D错.故选：AB.12.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】ACD【解析】【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项．【详解】，A正确；由向量加法的平行四边形法则知是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即，而，因此B错误；，C正确；，在上的投影为，又，∴在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.【答案】【解析】【分析】结合两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】.故答案为：14.已知点，B(5，6)，线段AB的中点坐标为________．【答案】【解析】【分析】根据中点坐标公式即可求直接求出答案.【详解】因为，B(5，6)，所以线段AB的中点坐标为.故答案为：.15.函数的周期是________，值域是________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据二倍角正弦公式，结合正弦型周期公式和值域进行求解即可.【详解】因为，所以该函数的周期为：，值域为：，故答案为：；16.在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点A、B的坐标，设出C、D的坐标，利用条件求得等量关系，再利用模长公式及基本不等式，求得最小值.【详解】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.【点睛】本题考查了向量的数量积及模长的坐标运算，考查了向量数量积的几何意义的应用，涉及到基本不等式求最值，其中建立坐标系可简化数量积运算，考查了转化思想，数形结合思想，属于难题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.17.（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由平面向量的线性运算求解即可；（2）由平面向量的共线定理求解即可【详解】（1）∵，，∴；（2）由，不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，因，不共线，所以，解得18.已知．（1）求实数的值；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.试题解析：（1）（2）由（1）得所以考点：向量的坐标运算.19.已知，，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）已知和三角函数值，求解三角函数值，只需配凑角，然后利用两角差的正弦公式展开即可.（2）将和展开，联立方程可求得和的值，两式比值即为所求.【小问1详解】因为，，所以.所以=.【小问2详解】因为，，两式相加可得，，，所以，.20.（1）证明：；（2）化简：；（3）已知，是第二象限角，且，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简可证得结论成立；（2）利用二倍角的正弦、余弦公式可化简所求代数式；（3）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】解：（1），得证；（2）；（3）因为，是第二象限角，则，所以，，所以，.21.如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，即可求解；（2），从而即可求解.【小问1详解】因为在菱形中，.故，故，所以.【小问2详解】显然，所以①，因为菱形，且，，故，.所以.故①式.故.22.如图，有一壁画，最高点A处离地面6米，最低点B处离地面3米．若从离地高2米的C处观赏它，视角为.（1）若时，求C点到墙壁的距离．（2）当C点离墙壁多远时，视角最大？【答案】（1）2米；（2）2米；【解析】【分析】（1）结合题意，设，，则视角，设C点到墙壁的距离为米，则有，，由两角差的正切公式可得