2020中考数学压轴题

2019年中考数学压轴题2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第1页。第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第2页。例12013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图12020中考数学压轴题全文共77页，当前为第3页。思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第4页。（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝．所以A（-1,）因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A（-1，）可得a=．所以抛物线的表达式为

图22020中考数学压轴题全文共77页，当前为第5页。（2）由得抛物线的顶点M的坐标为(1,)．所以tan∠BOM＝所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第6页。2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第7页。考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图52020中考数学压轴题全文共77页，当前为第8页。例22012年苏州市中考第29题图12020中考数学压轴题全文共77页，当前为第9页。图2

图32020中考数学压轴题全文共77页，当前为第10页。2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第11页。考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第12页。例32012年黄冈市中考模拟第25题图12020中考数学压轴题全文共77页，当前为第13页。图2

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图32020中考数学压轴题全文共77页，当前为第15页。

图42020中考数学压轴题全文共77页，当前为第16页。例42010年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；解：抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．图12020中考数学压轴题全文共77页，当前为第17页。如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；图1图22020中考数学压轴题全文共77页，当前为第18页。

图1

图22020中考数学压轴题全文共77页，当前为第19页。如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第20页。（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x图3

图42020中考数学压轴题全文共77页，当前为第21页。例52009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第22页。如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第23页。2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第24页。

图3

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图42020中考数学压轴题全文共77页，当前为第26页。如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第27页。图52020中考数学压轴题全文共77页，当前为第28页。

图62020中考数学压轴题全文共77页，当前为第29页。1.2 因动点产生的等腰三角形问题2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第30页。例12013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第31页。2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第32页。2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第33页。2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第34页。例22012年扬州市中考第27题（1）求抛物线的函数关系式；图12020中考数学压轴题全文共77页，当前为第35页。（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标图1图22020中考数学压轴题全文共77页，当前为第36页。（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图12020中考数学压轴题全文共77页，当前为第37页。图3

图4

图52020中考数学压轴题全文共77页，当前为第38页。例32012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标图1（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第39页。图2

图32020中考数学压轴题全文共77页，当前为第40页。2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第41页。如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第42页。图2

图32020中考数学压轴题全文共77页，当前为第43页。考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第44页。例42011年盐城市中考第28题（1）求点A和点B的坐标2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第45页。（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第46页。图2

图3图42020中考数学压轴题全文共77页，当前为第47页。图5图6图72020中考数学压轴题全文共77页，当前为第48页。例52010年南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式图12020中考数学压轴题全文共77页，当前为第49页。（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图22020中考数学压轴题全文共77页，当前为第50页。

图3图42020中考数学压轴题全文共77页，当前为第51页。例62009年江西省中考第25题如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°（1）求点E到BC的距离图1图42020中考数学压轴题全文共77页，当前为第52页。（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图2

图32020中考数学压轴题全文共77页，当前为第53页。图42020中考数学压轴题全文共77页，当前为第54页。

图5

图7图6

2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第55页。考点伸展

图82020中考数学压轴题全文共77页，当前为第56页。1.3因动点产生的直角三角形问题

2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第57页。例12013年山西省中考第26题（1）求点A、B、C的坐标图1

2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第58页。（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第59页。图2图32020中考数学压轴题全文共77页，当前为第60页。2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第61页。例22012年广州市中考第24题（1）求点A、B的坐标图1（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第62页。（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．2020中考数学压轴题全文共77页，当前为第63页。图2

图32020中考数学压轴题全文共77页，当前为第64页。图32020中考数学压轴题全文共77页，当前为第65页。例32012年杭州市中考第22题（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形