2019年中考数学专题六代数几何综合题

2019年中考数学专题六代数(dàishù)几何综合题第一页，共44页。例1〔2018•滨州〕如图，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.〔1〕求点A，B，C的坐标；〔2〕点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；〔3〕此抛物线的对称轴上是否存在(cúnzài)点M，使得△ACM是等腰三角形？假设存在(cúnzài)，请求出点M的坐标；假设不存在(cúnzài)，请说明理由．第二页，共44页。解：〔1〕令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，解得x=﹣4或2，∴点A坐标(zuòbiāo)〔2，0〕，点B坐标(zuòbiāo)〔﹣4，0〕，当x=0时，y=2，∴点C坐标(zuòbiāo)〔0，2〕．第三页，共44页。第四页，共44页。第五页，共44页。第六页，共44页。1．〔2018•新疆〕如图，对称轴为直线(zhíxiàn)x=的抛物线经过点A〔6，0〕和B〔0，﹣4〕．〔1〕求抛物线解析式及顶点坐标；〔2〕设点E〔x，y〕是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；〔3〕当〔2〕中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．题组训练(xùnliàn)第七页，共44页。第八页，共44页。第九页，共44页。〔3〕平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形(línɡxínɡ)，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即﹣4x2+28x﹣24=24，化简，得x2﹣7x+12=0，解得x=3或4，当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形(línɡxínɡ)．当x=4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形(línɡxínɡ)．∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形(línɡxínɡ)．第十页，共44页。2．〔2018•上海〕如图，抛物线y=ax2+bx﹣5〔a≠0〕经过点A〔4，﹣5〕，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积(miànjī)；〔3〕如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．第十一页，共44页。解：〔1〕∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C〔0，﹣5〕，∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B〔﹣1，0〕．∵抛物线经过(jīngguò)点A〔4，﹣5〕和点B〔﹣1，0〕，∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．第十二页，共44页。第十三页，共44页。3．〔2018•赤峰〕在平面(píngmiàn)直角坐标系中，点A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔3，5〕．〔1〕求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；〔2〕求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；〔3〕在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，假设存在请求出Q点坐标．第十四页，共44页。解：〔1〕∵A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕；∴设二次函数(hánshù)的解析式为y=a〔x﹣2〕〔x+2〕…①，把C〔3，5〕代入①得a=1；∴二次函数(hánshù)的解析式为：y=x2﹣4；设一次函数(hánshù)的解析式为：y=kx+b〔k≠0〕…②把A〔﹣2，0〕，C〔3，5〕代入②得，解得，∴一次函数(hánshù)的解析式为：y=x+2；第十五页，共44页。第十六页，共44页。第十七页，共44页。第十八页，共44页。例2〔2018•广东(guǎngdōng)〕如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．〔1〕请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？〔2〕请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；〔3〕在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x〔0≤x≤2〕，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．第十九页，共44页。第二十页，共44页。解：〔1〕四边形APQD为平行四边形；〔2〕OA=OP，OA⊥OP，理由(lǐyóu)如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，∴△AOB≌△OPQ〔SAS〕，∴OA=OP，∠AOB=∠PQO，∴∠AOP=∠BOQ=90°，∴OA⊥OP；第二十一页，共44页。第二十二页，共44页。第二十三页，共44页。4．〔2018•上海〕如下图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．〔1〕求线段CD的长；〔2〕如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；〔3〕如果点F在边CD上〔不与点C、D重合(chónghé)〕，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．第二十四页，共44页。解：〔1〕作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH==9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；〔2〕①EA=EG时，那么(nàme)∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，第二十五页，共44页。作EM⊥AD于M，如图1，那么(nàme)AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；②GA=GE时，那么(nàme)∠GAE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15．综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；第二十六页，共44页。第二十七页，共44页。〔3〕作DH⊥AB于H，如图2，那么(nàme)AH=9HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△HDE中，DE=，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=〔﹣〕：，∴y=〔9＜x＜〕．第二十八页，共44页。5．〔2018•南宁〕四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．〔1〕如图1，当点E是线段CB的中点(zhōnɡdiǎn)时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；〔2〕如图2，当点E是线段CB上任意一点时〔点E不与B、C重合〕，求证：BE=CF；〔3〕如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．第二十九页，共44页。〔1〕解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接(liánjiē)AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF〔菱形的高相等〕，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．第三十页，共44页。〔2〕证明(zhèngmíng)：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，又BA=AC，∠B=∠ACF，在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．第三十一页，共44页。〔3〕解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2﹣2，∴FH=CF•sin60°=〔2﹣2〕•=3﹣．∴点F到BC的距离(jùlí)为3﹣．第三十二页，共44页。稳固(wěngù)练习第三十三页，共44页。1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别(fēnbié)在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x(0＜x＜3)．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．〔1〕求证：PQ∥AB；〔2〕假设点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；〔3〕假设△PDE与△ABC重叠局部图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．第三十四页，共44页。〔1〕证：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，∴AC==12．∵∴∵∠C=∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ=∠B，∴PQ∥AB；〔2〕解：连接(liánjiē)AD，

∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB．∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ．在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，第三十五页，共44页。∴DQ=2x．∵AQ=12﹣4x，∴12﹣4x=2x，解得x=2,∴CP=3x=6．〔3〕解：当点E在AB上时(shànɡshí)，∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PEB．∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PEB，∴PB=PE=5x，∴3x+5x=9，解得x=①当0＜x≤时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时(cǐshí)0＜T≤②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，第三十六页，共44页。∴∵PG=PB=9﹣3x，∴∴GH=(9﹣3x)，PH=(9﹣3x)，∴FG=DH=∴T=PG+PD+DF+FG==此时，＜T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大(zēnɡdà)而增大(zēnɡdà)，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；TA=16时，即解得x=∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤第三十七页，共44页。2．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F．〔1〕如图1，假设DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；〔2〕如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定(yīdìng)的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；〔3〕如图3，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定(yīdìng)的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，假设DN⊥AC于点N，假设DN=FN，求证：BE+CF=(BE﹣CF)．第三十八页，共44页。第三十九页，共44页。解：〔1〕如图1，∵AB=AC，∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．∵点D是线段(xiànduàn)BC的中点,∴BD=DC=BC=2．∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，∴∠BED=90°，∴B