充分条件必要条件与命题的四种形式-推出与充分条件必要条件全国公开课一等奖

电子课文·充分条件与必要条件前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假．“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就p推不出q，命题为假，记作pq．例如，“若x＞0，则x2＞0”是一个真命题，可写成x＞0x2＞0．又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成两三角形全等两三角形面积相等．一般地，如果已知pq，那么我们说，p是q的充分条件．q是p的必要条件．在上面的两个例子中，“x＞0”是“x2＞0”的充分条件，“x2＞0”是“x＞0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件．例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1)p：x=y；q：x2=y2．(2)p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等．分析：可以根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断．解：(1)由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；反过来，由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件．练习1．用符号“”与“”填空：(1)x=0______xy=0．(2)xy=0______x=0．(3)两个角相等______两个角是对顶角．(4)两个角是对顶角______两个角相等．2．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1)p：a∈Q，q：a∈R．(2)p：a∈R，q：a∈Q．(3)p：内错角相等，q：两直线平行．行，q：内错角相等．(4)p：两直线平在例1的第(2)小题中，“三角形的三条边相等”既是“三角形的三个角相等”的充分条件，又是“三角形的三个角相等”的必要条件，我们就说“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分必要条件，简称充要条件．一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq．这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件．例如，“x是6的倍数”是“x是2的倍数”的充分而不必要的条件；“x是2的倍数”是“x是6的倍数”的必要而不充分的条件；“x既是2的倍数也是3的倍数”是“x是6的倍数”的充要条件；“x是4的倍数”是“x是6的倍数”的既不充分也不必要的条件．例2指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)？(1)p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0．(2)p：同位角相等；q：两直线平行．(3)p：x=3；q：x2=9．(4)p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形．解：(1)x-2=0(x-2)(x-3)=0，(x-2)(x-3)=0x-2=0，所以p是q的必要而不充分的条件．(2)同位角相等两直线平行，所以p是q的充要条件．(3)x=3x2=9，x2=9x=3，所以p是q的充分而不必要的条件．(4)四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要的条件．练习1．从“”、“”与“”中选出适当的符号填空：(1)x＞-1______x＞1；(3)a=b______a+c=b+c；(4)a2-2ab+b2=0______a=b．2．从“充分而不必要的条件”、“必要而不充分的条件”与“充要条件”中选出适当的一种填空：(1)“a=b”是“ac=bc”的______；(2)“两个三角形全等