二次函数之铅垂线

二次函数面积最值求法思想如下:已知二次函数y=；V+bx+c与x轴交于A(-1,O),8(4,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式以及过点反C的直线方程.(2)二次函数点8,C部分有一点M,过点A/作直线垂直于x轴，交线段6c与点N,设点M的横坐标为m，求线段MN的长度.(3)求以点民CM为顶点的三角形的最大面积Sw.解：(1)由题意可以得到二次函数的表达式为：y=lx2--x-2,直线2 26c的表达式为：y=-x-2.2⑵因为点〃在二次函数上，所以因为点N的横纵标与点A/相同，所以点,所以I2 >m-2"l-f-w2--/??-2>|=--/n2+2/n(因为横纵标相同，所以只[2 )(2 2 ) 2要用他们的纵坐标相减即可，注意是：上一下).最后一定要注意加的取值范围：0工m《4.(因为点M是在抛物线点民C部分)

(3)如图，我们把看成心心与又招的和，计算心心和心的时，都以MN为底边，所以产S.CN+S^^MN.%+；MN项=；MN•e+h2).

乙 乙 乙因为％+生等于线段A6=4,MN=--nr+2m,所以1(--nr1(--nr+2加］x4=-m2+4〃i212=-(〃?-2y+4故m=2时，SSBCM有最大值4.练习：如图所示，抛物线y=ax?+bx+c的顶点为M(-2,-4),与x轴交于A、B两点，且A(-6,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)求aABC的面积；(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使aAPC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由.,解Ml）?抛物线的顶点为（一2,—4）,:.设、=a（i+2）2—4*#0）.又二抛物线过点A（—6,0）.**•0=«（—6+2”—*解得。=--.（3分）:.、=十(/+2)2—3即>=+〃+]—（3分）(2)V抛物线＞=3(2)V抛物线＞=3的对称轴为直线n=-2,A(—6,0)9；•B(2,0),C(0,—3),・•・S^adc=^-AB-|-3|=-1-X8X3=12. (6 分)(3)存在这样的点，过点尸作尸EJ_n轴于点E,交AC于点F.设E(n,0),则尸(工，-^-/+]—3).设直线AC的解析式为y=ksc+bCk^0),V直线AC过点A(-6.0),C(0,—3),・•・直线AC的解析式为,=--■工一3,・••点F的坐标为尸（了， :才一3）9贝(]IPF\= 品彳一3一(1-S+h-3)= >12 1~1・：・S/\APC=Sa7V>f+S/sBF=-^\PF\•\AE\+-^\PF\•\OE\=^\PF\•\OA\=^-X(--R2一_1"n)X6_ 3 2 9 _ 3, lq、2_l_27- 7"// - 7-(z+3)z4--4Z 4 4当工=-3时，Saw有最大值亍，此时点尸的坐标是（—3,一号）. （10 分）变形1.如图，二次函数y=ax?+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.(提示：连接A6,A4O5的面积为定值，接下来再求AA5C的面积,按照上述方法即可)变形2.,如图所示，直线y=；x-2与x轴，y轴分别交于点4,C,抛物线过点A,C和点5(1,0).(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点。，当。与直线AC的距离。上最大时，求出点。的坐标，并求出最大距离.(提示：先按照上述同样的方法求出A4CD的最大面积和点。的坐标,再用等面积法，以A6为底边，求出。E即可)变形3如图，二次函数)，=〃/+几的图像与一次函数的图像交于A,B两点，点4的坐标是(-11)，点6的坐标是(2,4).(1)求二次函数的表达式.(2)设点。在二次函数图像的08段上，求当四边形O45C面积的最大时点C的坐标.如图，抛物线y=ae+/?x+3经过点4（-1,0）、8（4,0）.E是线段08上一动点（点E不与。、B重合）,过点上作x轴的垂线交抛物线于点。，交线段5c于点G.过点。作。尸_L6C,垂足为点尸.（1）求抛物线的解析式；（2）试求线段。户的长〃关于点七的横坐标x的函数解析式，并求出〃的最大值.如图，直线），=x与抛物线y=/-文-3交A,6两点，尸是抛物线上的一个动点（不与A,6两点重合），过点P作直线轴，交直线y=x于点0.设点P的横坐标为机,则当线段PQ的长度随机的增大而减小时团的取值范围是.如图，抛物线y=。大二+以+5与x轴交于A(-1,0)、8(5,0)两点，直线y=-』x+3与y轴交于点C,与x轴交于点。.点P是抛物线上一动点,4过点P作直线产产_Lx轴于点尸，交直线CD于点E.设点尸的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若点尸在x轴上方的抛物线上，当尸石二5七/时，求点尸的坐标；(3)若点£是点七关于直线PC的对称点，当点七.落在y轴上时，请直接写出用的值.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1,O）,6（2,0）,C（0,2）三点.（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）如图，p是第一象限内此抛物线上的一个动点，求当四边形A3PC的面积最大时点尸的坐标.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线)'=/+以+。与X轴交于点A,6两点，与,’轴交于点C.抛物线的顶点为M,直线6C的解析式为y=x-3(1)求抛物线的解析式和顶点”的坐标；(2)若点P为直线6c下方抛物线上一动点，求点P到直线6c的最大距离;(3)连接的叫点0为了轴上一动点，当ABM为直角三角形时，请直接写出点。的坐标.如图，在平面直角坐标系中，直线）=31一