二次函数与不等式

二次函数背景下不等式问题解法探究函数问题历来是高考命题的重点，考查内设计新颖，形式多样，综合性强.其中以函数为不等式问题，是知识网络的一个交汇点，同时也是高考命题的热点问题之一。探求二次函数背景下的不等式问题，实质是将二次函数的相关性质实行适当转化，再归结为某个不等式问题.其中二次函数性质的基本中义和图象特征，是问题转化的知识基础.所以，在实际解题中要注重从概念、图象出发，实行逻辑分析、推理和判断，并结合不等式的相关知识求解问题结论。一、借助不等式性质，实现参数代换转化例1、已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,ceR)，当xg[T,1]时If(x)l<1,求证：(1)lbl<1；(2)若g(x)=bx2+ax+c(a,b,ceR)，则当xe[T,1]时，求证:Ig(x)l<2。”，所以，我们能够把用f(—1)、f”，所以，我们能够把用f(—1)、f(0)、b或g(x)的确定值，而是与条件相对应的“取值范围证明：(1)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+cnb=Lf(1)-fJ)，从而有2, 1 1Ibl=-[f(1)-f(-1)]<-(If(1)l+If(-1)I),Mf(1)l<1,lf(-1)l<1,1bl<-(If(1)l+If(-1)l)<1.⑵由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+cnb=2[f(1)-f(-1'a+c=夕f(1)+f(-1),c=f(0),从而”2[f(1)+八-1)-〃0)将以上三式代入 g(x)=bx2+ax+c(a,b,ceR),并整理得Ig(x)l=lf(0)(x2-1)+-f(1)(x+1)+-f(-1)(1-x)l<lf(0)(x2-1)l+1If(1)(x+1)l+1lf(-1)(1-x)I<lx2-1I+Lx+1I+W-=lf(0)Ix2-1I+!lf(1)llx<lx2-1I+Lx+1I+W-xl=1-x2+—(x+1)+—(1-x)=2-x222评析：二次函数的一般式J=ax2+bx+c(c丰0)中有三个参数a,b,c.解题的关键在于:通过三个独立条件“确定”这三个参数.二、借助函数与方程根的关系，巧用零点式出奇招。例2、设二次函数例2、设二次函数，方程 的两个根满足时，证明分析：在已知方程 两根的情况下，根据函数与方程根的关系，能够写出函数fQ)-x的表达式，从而得到函数f(X)的表达式.证明：由题意可知f(X)-X=a(X-X)(X一X). 0<x<x<x<1,1 2 1 2aa(x一xa(x一x)(x一x)>0，.二 当12f(x)-X1=a(x一x)(x一x)+x一x=(x一x)(ax一ax2+1)<0,且ax-ax+1>1-ax>0, f(x)<x，综上可知，所给问题获证.评析：利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式y=a与二次方程根相关的不等式问题效果明显。三、借助顶点式，对称轴、最值、判别式显合力a例3、 已知函数f(X)=2N一不。2x(x-X1)X-X2)，对于求解(1)将y=f(x)的图象向右平移两个单位，得到函数y=g(X)，求函数y=g(X)的解析式；(2)函数y=h(X)与函数y=g(X)的图象关于直线y=1对称，求函数y=h(x)的解析式;— 1„(3)设F(x)=f(x)+h(x),已知F(x)的最小值是m且m>2+■77，求实数a的取值a范围。解：⑴gQ)=fQ-2)=2x-2-7a~;2x-2.由点(3a(2)设y=h(x)的图像上一点P(x,y)，点P(x,y)关于y=1的对称点为QQ,2-.由点(3a在y=gX))的图像上，所以2x-2—a―=2—y,于是 y=2—2x-2+2x-2hX))=2-2x-2+-^―；2x-2TOC\o"1-5"\h\z「/、 1”、T/、(1 1)八(4a—1).. _(3)F(x)=一f(x)+h(x)=一一丁2x+- -+2.设t=2x,则a Ia4) 2x4一a4a一1. 4一a 4a一1F(x)=——t+ +2.问题转化为：——t+ +2>2+<7对t>0恒成立.4at 4a t即 12—x-171+(4a—1)>0对t>0恒成立. (*)4a故必有4-a4aa—t24-a>0.（否则,若二<°'则关于f勺二次函数-Y7t+（4a-1）开口向下，当t充分大时，必有u（t）<0；而当4二=0时，4a显然不能保证（*）成立.），此时，因为二次函数u（t）=4—at2-<71+（4a-1）的对称轴4a显然不能保证4-a，所以，问题等价于At<0，即，所以，问题等价于At<0，即,4_/ 、，解之得:―a-(4a-1)<04a1 --<1 --<a<2.此时 >0,4a-1>0，故F(x)=4a取得最小值m=2；乎・（4a-1）+2满足条件.4a四、借助函数图象，数形结合显神功如对称性、形象直观.二次函数f（x）=ax2+bx+c（a丰0）的图像为抛物线，具有很多优美的性质单调性、凹凸性等.结合这些图像特征解决相关二次函数的问题，能够化难为易如对称性、形象直观.例4、设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称，证明:的两个根的两个根解：由题意fQ)-x=ax2+(b-1)x+c.由方程满足,可得0<x<B<x<11-2a 2a，且一-x-2a 1TOC\o"1-5"\h\zb-1 b-1 1 b-1 b...——-X-X-——<--——，即--<X，故 .—2a 1 2—2a a —2a a 1bb评析： 二次函数的图像关于直线X-——对称，特别关系X+X=——也反映了二次2a 1 2a函数的一种对称性.解题时若能很好地利用这种对称性，往往会起到简化问题的目的。(二)利用二次方程根的分布特征转化例5、 已知二次函数f(X)=aX2+bX+1(a,beR,a>0)，设方程f(x)-x的两个实数根为A和X屋(1)如果X]<2<x2<4，设函数f(x)的对称轴为X-X0，求证：X0>-1；(2)如果|xj<2,|x2-xj=2，求b的取值范围.分析：条件x1<2<x2<4实际上给出了f(x)-x的两个实数根所在的区间，所以能够考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设g(X)-f(x)-x-ax2+(b-1)x+1,则g(X)-0的二根为X]和x2.「g(2)<0 「4a+2b-1<02(1)由a>0及x<2<x<4，可得〈，即〈1 2 [g(4)>0 [16a+4b—3>0「b3TOC\o"1-5"\h\z3+3・————<0, [2a4a b, <a4a分两式相加得h<1,所以，x>-1；4cb3c 2a 0-4-2•——+——<0,[ 2a4a, 、b-1 4 - < 二——— 1八(2)由(x—x)2=( )2—，可得 2a+1=(b—1)2+1.又xx=>0，所以1 2aa 12a[0<x<2<xx,x同号.・,.|x|<2, |x-x|=2等价于\ 1 .一2 或12 1 2 1 [2a+1-、:(b-1)2+1[x<-2<x<012a+1-1/(b-1)2+[x<-2<x<012a+1-1/(b-1)2+1,即卜⑵>0{g(0)>0I2a+1-J(b-1)2+1,1 ,7b<或b>.44评析：二次函数f(x)的图像具有连续性，且因为二次方程至多有两个实数根所以存有实数m,n使得m<n且f(m)f(n)<0o在区间(m,n)上，必存有f(x)-0的唯一的实数根.(三)利用二次函数的单调性例6、 已知二次函数，当例6、 已知二次函数，当时,有,求证：当 时，有 ^分析：研究f(x)的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数a,b,c.确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑f(1)，f(-1)，f(0)，这样做的好处有两个：一是a,b,c的表达较为简洁，二是由于土1和0正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的要考虑|fQ］在区间L7,7」上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑fQ］在区间端点和顶点处的函数值.证明：由题意知：f(-1)=a-b+c,f(0)=c,f(1)=a+b+c，1 , 1・•・〃二yf(1)+f(-1)-2,(0)),b=2(于(1)-f(-1)),c二f(0),r=f(1)I+f(-1)f^1-^1+f(0)(-r=f(1)II2)时，有，可得f(1)<1, i时，有，可得f(1)<1, ifQ1)<1,ifG)<1.A|f(2)|-3fG)+f(-1)-3f3<3|f1+1f(-1)1+3|f(0)|<7,If(-2)|-|fG)+3fQ1)-3f(0)<|f(1)+3|f(-1)|+3|f(0)|<7.(1)若-1^L2,21，则fQ)在L2,2」上单调，故当xeL2,21时2aIf(x)|max-max(|f(-2)|,|f(2)|)a此时问题获证.(2)若-heL2,2