江苏省无锡市和桥区2022-2023学年数学九上期末调研模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2,连接AE交BD于点F,则4DEF与4BAF的面积之

C.9：25D.4：25

2.如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF=3CF,连接AE、AF、EF,下列结

论：①NDAE=30。，（2）AADE^AECF,③AEJ_EF,@AE2=AD*AF,其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.抛物线y=f-9与x轴交于A、B两点,则A、3两点的距离是（）

A.3B.6C.9D.18

4.在以BCD中，ZA-ZB=40°,则NC的度数为（）

A.70°B.40°C.110°D.150°

5.如图，AABC中，ZC=80»AC=4,8C=6.将AABC沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三

角形与原三角形相似的是（）

A.①②③B.②③④C.①②D.④

6.下列方程中，为一元二次方程的是（）

A.2x+l=0；B.3X2-X=10；C.X2--=4；D.x2+y2=5.

x

7.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E,以点B为

圆心，BF为半径作弧交BC于点G,则图中阴影部分面积的差由一$2为（）

8.已知圆内接正六边形的边长是1,则该圆的内接正三角形的面积为（）

A4百口c0「3百n3&

A.------B.2,3C.------D.------

342

9.方程/一4》=0的根是（）

A.x=4B.x=0C.X,=0,x2=4D.玉=0,x2=-4

10.如图，矩形OLBC的边。4在X轴上，OC在）,轴上，点8（10,6）,把矩形OLBC绕点。逆时针旋转，使点A恰

好落在8C边上的A处，则点。的对应点G的坐标为（）

11.如图，在。O中，AB是直径，AC是弦，连接OC,若NACO=30。，则NBOC的度数是（）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，半径为3的圆A经过原点。和点3（0,2）,点。是＞轴左侧圆A优弧上一点，贝!|tanN0C3=

14.大润发超市对去年全年每月销售总量进行统计，为了更清楚地看出销售总量的变化趋势，应选用统计图

来描述数据.

15.小亮测得一圆锥模型的底面直径为10c”?，母线长为7cm,那么它的侧面展开图的面积是cm'.

16.如图，利用我们现在已经学过的圆和锐角三角函数的知识可知，半径r和圆心角。及其所对的弦长1之间的关系

为/=2rsin2,从而sing=」~,综合上述材料当sir＞g=，时，sin（9=.

222r23

17.如图，AB是。0的直径，BC与。。相切于点B,AC交。。于点D,若NACB=50。，则NBOD=____度.

18.如图，在放AABC中，ZC=90＞棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC,上，有两个顶点

在斜边A8上，则AABC的面积为,

三、解答题（共78分）

19.（8分）（阅读材料）某校九年级数学课外兴趣探究小组在学习完《第二十八章锐角三角函数》后，利用所学知识

进行深度探究，得到以下正确的等量关系式：

sin(«+/?)=sin«-cos尸+cose•sin(3,sin(<z—/7)=sine•cos/?—cose♦sin0

cos(cz+p)=coscz-cos/?—sincz-sin(3,cos(a—4)=cos«-cos尸+sine•sin/3

.0、tana+tan£/tana-tanZ?

tan(a+/7)=----------------,tan(«-/?)=-----------------,

1-tantz-tan/31+tana-tan£

(理解应用)请你利用以上信息求下列各式的值：(1)sin150;(2)cosl05c

(拓展应用)(3)为了求出海岛上的山峰AB的高度，在。处和尸处树立标杆CO和EF",标杆的高都是3丈，D,F

两处相隔1000步(1步等于6尺)，并且AB,8和所在同一平面内，在标杆的顶端C处测得山峰顶端A的仰

角75。，在标杆EF的顶端E处测得山峰顶端A的仰角30。，山峰的高度即的长是多少步？(结果保留整数)(参

考数据：夜a1.4,6a1.7,6a2.2,逐a2.4)

20.(8分)观察下列等式：

第1个等式为：$5=0一1；第2个等式为：了去方=百一血；第3个等式为：=2-百；…根据等

式所反映的规律，解答下列问题：

(1)猜想：第"个等式为(用含的代数式表示)；

⑵根据你的猜想'计算：力+■+--+师:礴-3•

21.(8分)如图，将等边4ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC,NACE的平分线CD交EF于点D,连接AD、

AF.

(1)求NCFA度数；

(2)求证：AD/7BC.

，E

BC

22.(10分)如图1,在平面直角坐标系中，二次函数y=ox2+法+手的图象与*轴交于B(T,O),C(3,O)两点,

点A为抛物线的顶点，F为线段AC中点.

(1)求力的值；

(2)求证：BF±AC；

(3)以抛物线的顶点A为圆心，A/为半径作OA,点E是圆上一动点，点P为EC的中点(如图2)；

①当AACE面积最大时，求依的长度；

②若点加为即的中点，求点M运动的路径长.

23.(10分)如图，在AABC中，AB=AC,D为BC边的中点，过点D作DEJLAB,DFJLAC,垂足分别为E,F.

(1)求证：△BEDgZ\CFD；

(2)若NA=60。，BE=2,求4ABC的周长.

24.(10分)已知抛物线y=x2-bx+2b(b是常数).

(1)无论b取何值，该抛物线都经过定点D.请写出点D的坐标.

(2)该抛物线的顶点是(m,n),当b取不同的值时，求n关于m的函数解析式.

(3)若在OSxq的范围内，至少存在一个x的值，使y<0,求b的取值范围.

25.(12分)A、B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地,

且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时

到达B地.求甲从A地到B地步行所用的时间.

26.已知二次函数y=(x—,”)(x+»z+4),其中，”为常数.

(1)求证：不论机为何值，该二次函数的图像与*轴有公共点.

(2)若4(一1,a)和8(〃，田是该二次函数图像上的两个点，请判断或b的大小关系.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、C

【分析】由平行四边形的性质得出CD/7AB,进而得出白DEFsaBAF,再利用相似三角形的性质可得出结果.

【详解】•••四边形ABCD为平行四边形，

；.CD〃AB,

.,.△DEF^ABAF.

VDE：EC=3：2,

•DE3_3

.SQEF_(DEy_2

S'BA"25-

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平

方.

2、C

【分析】根据题意可得tan/ZME的值，进而可判断①；设正方形的边长为4a,根据题意用a表示出FC,BF,CE,

DE,然后根据相似三角形的判定方法即可对②进行判断；在②的基础上利用相似三角形的性质即得NZME=NFEC,

进一步利用正方形的性质即可得到NOE4+N尸EC=90°,进而可判断③；利用相似三角形的性质即可判断④.

【详解】解：.四边形ABC。是正方形，E为中点，.•.CE=EO=,OC=LAO,

22

DE1

：.tanZDAE=——=一，AZDA£^30°，故①错误；

AD2

设正方形的边长为4a,则尸C=a,BF=3a,CE=DE=2a,

DEADDEADp,,

-----=2,-----=2,..-----=------,又NZ)=NC=90ot

FCECFCEC

:.XADEsXECF,故②正确;

,:△ADESAECF,:.ZDAE=ZFEC,

VZ£>AE+ZDEA=90°二NOEA+N尸EC=90°,

J.AELEF.故③正确；

A£)AE

'：AADESAECF,：.——=——，：.AE2=AD*AF,故④正确.

AEAF

【点睛】

本题考查了正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握正方形的性质

和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

3、B

【分析】令y=o,求出抛物线与x轴交点的横坐标，再把横坐标作差即可.

【详解】解：令y=0,即/-9=0,解得石=3,无2=-3,

二4、8两点的距离为1.

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴交点坐标的求法，两点之间距离的表示方法.

4、C

【分析】由题意根据平行四边形的对角相等以及邻角之和为180。，即可求出该平行四边形各个内角的度数.

【详解】解：由题意画出图形如下所示：

D

则NA+NB=180°,

又：NA-NB=4()。，

/.ZA=110°,NB=70°,

.•.ZC=ZA=110°.

故选：C.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等以及邻角之和为180°进行分析.

5、A

【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可.

【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等,

故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不

成比例，故两三角形不相似；

综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似.

故选：A.

【点睛】

本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键.

6、B

【解析】试题解析：A.是一元一次方程，故A错误；

B.是一元二次方程，故B正确；

C.不是整式方程，故C错误；

D.不是一元二次方程，故D错误；

故选B.

7、A

【解析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S-S2的值.

【详解】•..在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,F是AB中点，

，BF=BG=2,

.*.Si=S矩形ABCD-S序形ADE-S崩形BGF+S2,

.q。-90x^-x3290x1x2?I。13不

..SI-S2=4X3--------------------------------=12--------,

3603604

故选A.

【点睛】

本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思

想解答.

8、C

【分析】根据圆内接正六边形的边长是1可得出圆的半径为1,利用勾股定理可求出该内接正三角形的边长为百，高

3

为二，从而可得出面积.

2

【详解】解：由题意可得出圆的半径为1,

•.,△ABC为正三角形，AO=1,AD±BC,BD=CD,AO=BO,

13

：.DO=-,AD=~,

22

:.BD=y]OB2-OD2=—,

2

•••BC=百,

•c_13瓜_3也

,,SjBC=—^—

故选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是正多边形的性质以及解直角三角形，根据圆内接正多边形的边长求出圆的半径是解此题的关键.

9、C

【分析】利用因式分解法求解即可.

【详解】方程整理得：x(x-1)=0,可得x=0或x-l=0,解得：xi=0,x2=l.

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.

10、A

【分析】作辅助线证明△A。/s/ioGN,列出比例式求出ON=弓，NG=g即可解题.

【详解】解：过点4作AV_Lx轴于M过点G作GNJ_x轴于N,

由旋转可得,△4OMs△（）GN,

V0C=6,OA=10,

AON:GN:OG=4"：OM:OA|=3：4：5,

.•.0N=y,NC,=y,

.••G的坐标为（—£，笥），

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，中等难度，做辅助线证明三角形相似是解题关键.

11、D

【解析】试题分析：VOA=OC,.*.ZA=ZACO=30°,TAB是。O的直径，/.ZBOC=2ZA=2x30°=60°.故选D.

考点：圆周角定理.

12、D

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可.

【详解】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；

5、原式方程为二元二次方程，不符合题意；

C、原式为分式方程，不符合题意；

。、原式为一元二次方程，符合题意，

故选：D.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、—

4

【分析】由题意运用圆周角定理以及锐角三角函数的定义进行分析即可得解.

【详解】解：假设圆与下轴的另一交点为D,连接BD,

■:NBOD=9G,

.,.BD为直径，BD=6,

,点B(0,2),

，OB=2,

OD-A/62-22=45/2，

VOB为△80。和ABCO公共边，

ZOCB=ZODB,

二tanNOCB=tanNODB=—=.

OD4724

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等以及熟记锐角

三角函数的定义是解题的关键.

14、折线

【解析】试题解析：根据题意，得

要求清楚地表示销售总量的总趋势是上升还是下降，结合统计图各自的特点，应选用折线统计图，

15、357r.

【解析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S='h'即可求解.

2

【详解】底面周长是：10小

则侧面展开图的面积是：,xl0nx7=357rcmi.

2

故答案是：357r.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长

是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

4V2

16、

~9~

n6/[

【分析】如图所示，ZAOB=0,OA=r,AB=1,NAOC=NBOC=—,根据sin—=—=—,设AB=l=2a,OA=r=3a,

222r3

aAp

根据等量代换得出NBOC=NBAE=—,求出BE,利用勾股定理求出AE,即可表达出sin。=sinNAOE=—,代

2OA

入计算即可.

0

【详解】解：如图所示，ZAOB=0,OA=r,AB=1,ZAOC=ZBOC=-,

2

VAO=BO,

.•.OCJLAB,

•.•s看in夕一—/—_1—,

22r3

:.设AB=l=2a,OA=r=3a,

过点A作AE_LOB于点E,

VZB+ZBOC=90°,ZB+ZBAE=90°,

e

.•.ZBOC=ZBAE=—,

2

.eBE1nnBE15四CL2

,,sinT~~'即^-=彳，解得：B£=二a

2A832a33

由勾股定理得：AE7AB°-BE2=谨4,

3

4亚

sin6»=sinZAOE=—=—3—=W1'

OA3a9

故答案为：逑

9

本题考查了垂径定理以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，作出辅助线，求出AE的值.

17、80

【分析】根据切线的性质得到NABC=90。，根据直角三角形的性质求出NA,根据圆周角定理计算即可.

【详解】解：：BC是。O的切线，

二ZABC=90°,

.,.ZA=90°-ZACB=40°,

由圆周角定理得，ZBOD=2ZA=80°.

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

18、16

【解析】根据题意、结合图形，根据相似三角形的判定和性质分别计算出CB、AC即可.

【详解】解：

R

由题意得：DE〃MF,所以ABDES2\BMF,所以处=丝，即=2,解得BD=L同理解得：AN=6；又因为

BMMFBD+14

四边形DENC是矩形，所以DE=CN=2,DC=EN=3,所以BC=BD+DC=4,AC=CN+AN=8,AABC的面积

=BCxAC+2=4x8+2=16.

故答案为：16.

【点睛】

本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、相似三角形的判定和性质熟

练地掌握.

三、解答题（共78分）

19、(1)如二也；(2)也二必；(3)山峰的高度即AB的长大约是719步

44

【分析】(1))sinl5°=sin(45°-30°),直接利用所给等量关系式代入求解即可；

(2)cos105°=cos(60°+45),直接利用所给等量关系式代入求解即可；

(3)连接CE,返向延长CE交于点K,再用含AK的式子表示出KE,KC,再根据KE=CK+1000求解即可.

【详解】解：(1)sinl5°=sin(45°—30°)

=sin45°cos300-cos45°si〃30°

V2731V6-V2

=-------X-------------------X—=-------------------

22224

(2)cos105°=cos(600+45)=cos60°cos450-sin60°sin45°

1V2x/2V2-V6

=—X-----------------X=--------------------

22224

(3)连接CE,返向延长CE交AB于点K,则KB=CQ=3丈=5步，EC=OR=1000步，

AK

在MAAKC中，KC=

tan75°

AK

同理:KE=

tan30

1+

tan45+tan30T3+733+1.7

Vtan75=tan(45+30)=«3.6

1-tan45-tan301-lx^3-百3-1.7

3

鹿=KC+EC=KC+1000

AK

AK8一+1000

tan30’tan75

AKAK

1000

tan30tan75

解得：AKa714(步)

AB=AK+K8a714+5=719(步)

答：山峰的高度即AB的长大约是719步.

【点睛】

本题考查的知识点是锐角三角函数，解题的关键是读懂题意，能够灵活运用所给等量关系式.

20、(1)~f=~~1^==\ln+}-4n；(2)-1

+。〃+1

【分析】(1)根据已知的三个等式，可观察出每个等式左边的分母经过将加号变为减号后取相反数作为化简结果，由

此规律即可得出第〃个等式的表达式；

(2)根据(1)中的规律，将代数式化简后计算即可得出结果.

【详解】解：(1)：厂二与心=g一.=师_6

\Jn+\Jn+T«n+T+Tn)({n+l-<n)〃+1—〃

.•.第〃个等式为.

Vn4-vn+l

(2)计算：

—+十」一片+...+-7)--V2020

1+V2V2+V3V2019+V2020

=(亚-1+6-0+…+J2020-J2019)-12020

=(V2020-1)-A/2020

=一1

【点睛】

本题考查了数字的变化类规律，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出化简结果即可求出代数式的值.

21、(1)75°(2)见解析

【解析】(1)由等边三角形的性质可得NACB=60。，BC=AC,由旋转的性质可得CF=BC,ZBCF=90°,由等腰

三角形的性质可求解；

(2)由“SAS”可证AECDgZ\ACD,可得NDAC=NE=6(T=NACB,即可证AD〃BC.

【详解】解：(1);.△ABC是等边三角形

.".ZACB=60°,BC=AC

•・•等边AABC绕点C顺时针旋转90。得到AEFC

ACF=BC,ZBCF=90°,AC=CE

/.CF=AC

VZBCF=90°,ZACB=60°

AZACF=ZBCF-ZACB=30°

AZCFA=-(180°-ZACF)=75°

2

(2)••.△ABC和AEFC是等边三角形

.*.ZACB=60o,ZE=60°

VCD平分NACE

AZACD=ZECD

VZACD=ZECD,CD=CD,CA=CE,

/.AECD^AACD(SAS)

AZDAC=ZE=60°

AZDAC=ZACB

AAD/7BC

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键.

22、(1)a=--，b(2)证明见解析；(3)①28+1或26一1;②了.

2

【分析】⑴将8(—1,0),C(3,O)代入二次函数的解析式＞=，+/+¥即可求解；

(2)证得△ABC是等边三角形即可证得结论；

(3)①根据题意，当E4LAC或EALAC时，4c或AENC面积最大，利用三角形中位线定理可求得PE的

长，利用勾股定理可求得Bb,即可求得答案；

②根据点M的运动轨迹是半径为2的。A,则EC的中点P的运动轨迹也是圆，同样，肝的中点"的运动轨迹也是

圆，据此即可求得答案.

【详解】•.•二次函数y=a?+法+述的图象与x轴交于B(-l,0),C(3,0)两点，

a—8+述=0

・3

,,3行，

9a+3/?+—=0

I3

a-也

解得：”-2,

故答案为：a—,b-V3;

2

(2)由⑴得：抛物线的解析式为y=-曰/+Gx+半，

•.•二次函数丫=一#/+由x+半的图象与X轴交于8(—1,0),。(3,0)两点,

二抛物线的对称轴为：X=3+(T)=I,

2

.,•顶点A的坐标为：(1，26)，AB=AC,

TAC="3—l『+(2g—0『二4，

BC=3-(-l)=4,

,AB=AC=BC=4,

...△ABC是等边三角形，

•.•尸为线段AC中点，

/.BF±AC；

(3)①AC为定值，当E4LAC时，4c面积最大，如图，

:.BF//EA,

•••点尸为线段AC中点，点P为EC的中点，

APF//EA,PF=-EA=\,

2

，F、B三点共线,

在RQBC/7中，BC=4,CF=2,

二BF=ylBC2-CF2=V42-22=2y5，

二PB=BF+PF=2&1;

同理，当时，△七区。面积最大，

同理可求得：PB=BF-PF=2g-l;

故答案为：2百+1或26-1；

②如图，

•点E的运动轨迹是。4,半径为E4=2,

二EC的中点P的运动轨迹也是圆，半径为1,

...BP的中点M的运动轨迹也是圆，半径为;，

...点M运动的路径长为：271r=兀.

故答案为：》.

【点睛】

主要考查了二次函数的综合，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思

想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

23、(1)证明见解析；(2)1.

【解析】试题分析：(1)根据DEJ_AB,DF_LAC,AB=AC,求证NB=NC.再利用D是BC的中点，求证△BED^ACFD

即可得出结论.

(2)根据AB=AC,ZA=60°,得出AABC为等边三角形.然后求出NBDE=30。，再根据题目中给出的已知条件即可

算出△ABC的周长.

试题解析：(1)VDE±AB,DF±AC,

/.ZBED=ZCFD=90°,

VAB=AC,

AZB=ZC(等边对等角).

•.•D是BC的中点，

.,.BD=CD.

在ABED和ACFD中，

ABED=NCFD

{ZB=ZC,

BD=CD

/.△BED^ACFD(AAS).

.*.DE=DF

(2)VAB=AC,ZA=60°,

.,.△ABC为等边三角形.

.ZB=60°,

•:ZBED=90°,

:.ZBDE=30°,

.1

..BE=—BD,

2

VBE=2,

ABD=4,

/.BC=2BD=8,

AAABC的周长为1.

考点：全等三角形的判定与性质.

24、(1)(2,1)；(2)n=-m2+2m；(3)lVbV8或OVbVl

【分析】(1)当x=2时，y=l,即