2011-2017高考全国卷Ⅰ文科数学解析几何汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解析几何一、选择题【2017，5】已知是双曲线的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为（）A．B．C．D．【解法】选D．由得，所以，将代入，得，所以，又A的坐标是(1,3)，故APF的面积为，选D．【2017，12】设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是()A． B．C． D．【解法】选A．图SEQ图\*ARABIC1图SEQ图\*ARABIC2解法一：设是椭圆C短轴的两个端点，易知当点是椭圆C短轴的端点时最大，依题意只需使．1．当时，如图1，，解得，故；2．当时，如图2，，解得．综上可知，m的取值范围是，故选A．解法二：设是椭圆C短轴的两个端点，易知当点是椭圆C短轴的端点时最大，依题意只需使．1．当时，如图1，，即，带入向量坐标，解得，故；2．当时，如图2，，即，带入向量坐标，解得．综上可知，m的取值范围是，故选A．【2016，5】直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解析：选B．由等面积法可得，故，从而．故选B．【2015，5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C:y2=8x，的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=()A．3B．6C．9D．12解：选B．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x=-2，所以c=2，从而a=4，所以b2=12，所以椭圆方程为，将x=-2代入解得y=±3，所以|AB|=6，故选B【2014，10】10．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，|AF|=，则x0=()AA．1B．2C．4D．8解：根据抛物线的定义可知|AF|=，解之得x0=1．故选A【2014，4】4．已知双曲线的离心率为2，则a=()DA．2B．C．D．1解：，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为()．A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且，求直线AB的方程．解析：第一问：【解法1】设,AB直线的斜率为k，又因为A,B都在曲线C上，所以-得由已知条件所以，即直线AB的斜率k=1．【解法2】设,AB直线的方程为y=kx+b,所以整理得：且所以k=1第二问：设所以又所以所以M（2,1），，，且，即，设AB直线的方程为，化简得，所以由得所以b=7或者b=-1(舍去)所以AB直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点．（1）求；（2）除以外，直线与是否有其他公共点？请说明理由．解析（1）如图，由题意不妨设，可知点的坐标分别为，，，从而可得直线的方程为，联立方程，解得，．即点的坐标为，从而由三角形相似可知．（2）由于，，可得直线的方程为，整理得，联立方程，整理得，则，从而可知和只有一个公共点．【2015，20】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)=12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(Ⅰ)依题可设直线l的方程为y=kx+1，则圆心C(2,3)到的l距离.解得.所以k的取值范围是.(Ⅱ)将y=kx+1代入圆C的方程整理得(k2+1)x2-4(k+1)x+7=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，则所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=12，解得k=1，所以l的方程为y=x+1.故圆心在直线l上，所以|MN|=2.【2013，21】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝.当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，所以|AB|＝|x2－x1|＝.当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝或|AB|＝.【2012，20】设抛物线C：（）的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点。（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值。【解析】（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形，且|BD|=，圆F的半径，又根据抛物线的定义可得点A到准线的距离。因为△ABD的面积为，所以，即，所以，由，解得。从而抛物线C的方程为，圆F的圆心F（0，1），半径，因此圆F的方程为。（2）若A，B，F三点在同一直线上，则AB为圆F的直径，∠ADB=90°，根据抛物线的定义，得，所以，从而直线的斜率为或。当直线的斜率为时，直线的方程为，原点O到直线的距离。依题意设直线的方程为，联立，得，因为直线与C只有一个公共点，所以，从而。所以直线的方程为，原点O到直线的距离。因此坐标原点到，距离的比值为。当直线的斜率为时，由图形的对称性可知，坐标原点到，距离的比值也为3。【2011，20】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（