第02章经济时间序列的季节调整、分解和平滑方法

第二章经济时间序列的

季节调整、分解与平滑

本章主要介绍经济时间序列的分解和平滑方法。时间序列分解方法包括季节调整和趋势分解，指数平滑是目前比较常用的时间序列平滑方法。第一页，共四十三页。1

经济指标的月度或季度时间序列包含4种变动要素：长期趋势要素T：代表经济时间序列长期的趋势特性。循环要素C：以数年为周期的一种周期性变动，它可能是一种景气变动、经济变动或其他周期变动，它可以代表经济或某个特定工业的波动。季节变动要素S：每年重复出现的循环变动，以12个月或4个季度为周期的周期性影响，是由温度、降雨、年中的月份，假期和政策等引起的。不规则要素I：其变动无规则可循，这类因素是由偶然发生的事故引起的，如：故障、罢工、意外事故、地震、水灾、恶劣气候、战争、法令更改、测定误差等。

§2.1经济时间序列的分解第二页，共四十三页。2图1我国工业总产值的时间序列Y图形图2工业总产值的趋势·循环要素TC图形

图3工业总产值的季节变动要素S图形图4工业总产值的不规则要素I图形

第三页，共四十三页。3季节调整的概念

季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响，而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。经济统计中的月度和季度数据或大或小都含有季节变动因素，以月份或季度作为时间观测单位的经济时间序列通常具有一年一度的周期性变化，这种周期变化是由于季节因素的影响造成的，在经济分析中称为季节性波动。经济时间序列的季节性波动是非常显著的，它往往遮盖或混淆经济发展中其他客观变化规律，以致给经济增长速度和宏观经济形势的分析造成困难和麻烦。因此，在进行经济增长分析时，必须去掉季节波动的影响，将季节要素从原序列中剔除，这就是所谓的“季节调整”(SeasonalAdjustment)。

第四页，共四十三页。4§2.2.1

X-11季节调整方法

§2.2

经济时间序列的季节调整方法

X-11方法是基于移动平均法的季节调整方法。它的特征在于除了能适应各种经济指标的性质，根据各种季节调整的目的，选择计算方式外，在不作选择的情况下，也能根据事先编入的统计基准，按数据的特征自动选择计算方式。在计算过程中可根据数据中的随机因素大小，采用不同长度的移动平均，随机因素越大，移动平均长度越大。X-11方法是通过几次迭代来进行分解的，每一次对组成因子的估算都进一步精化。第五页，共四十三页。5§2.2.2

X12季节调整方法

美国商务部国势普查局的X12季节调整程序是在X11方法的基础上发展而来的，包括X11季节调整方法的全部功能，并对X11方法进行了以下3方面的重要改进：(1)扩展了贸易日和节假日影响的调节功能，增加了季节、趋势循环和不规则要素分解模型的选择功能；(2)新的季节调整结果稳定性诊断功能；(3)增加X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。第六页，共四十三页。6

X12季节调整方法的核心算法是扩展的X11季节调整程序。共包括4种季节调整的分解形式：乘法、加法、伪加法和对数加法模型。注意采用乘法、伪加法和对数加法模型进行季节调整时，时间序列中不允许有零和负数。①加法模型(2.2.1)②乘法模型：(2.2.2)③对数加法模型：(2.2.3)④伪加法模型：(2.2.4)第七页，共四十三页。7例2.1利用X12加法模型进行季节调整图2.1a社会消费品零售总额原序列

图2.1b社会消费品零售总额的TCI序列第八页，共四十三页。8

图2.1d社会消费品零售总额I序列图2.1c社会消费品零售总额的TC序列第九页，共四十三页。9

TRAMO(TimeSeriesRegressionwithARIMANoise,MissingObservation,andOutliers)用来估计和预测具有缺失观测值、非平稳ARIMA误差及外部影响的回归模型。它能够对原序列进行插值，识别和修正几种不同类型的异常值，并对工作日变化及复活节等特殊回归因素及假定为ARIMA过程的误差项的参数进行估计。SEATS(SignalExtractioninARIMATimeSeries)是基于ARIMA模型来对时间序列中不可观测成分进行估计。这两个程序往往联合起来使用，先用TRAMO对数据进行预处理，然后用SEATS将时间序列分解为趋势要素、循环要素、季节要素及不规则要素4个部分。§2.2.3TRAMO/SEATS方法第十页，共四十三页。10也分乘法模型和加法模型。X-12法与移动平均法的最大不同是：X-12法中季节因子在不同年份是不同的，而在移动平均法中，季节因子被假设为是相同的。§2.2.4移动平均方法

第十一页，共四十三页。11

本节主要介绍利用EViews软件对一个月度或季度时间序列进行季节调整的操作方法。在EViews工作环境中，打开一个月度或季度时间序列的工作文件，双击需进行数据处理的序列名，进入这个序列对象，在序列窗口的工具栏中单击Proc按钮将显示菜单：

§2.2.5季节调整相关操作(EViews软件)第十二页，共四十三页。12

1.X11方法

X-11法是美国商务部标准的季节调整方法(乘法模型、加法模型)，乘法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列（趋势·循环·不规则要素项）与季节项的乘积，加法模型适用于序列可被分解为季节调整后序列与季节项的和。乘法模型只适用于序列值都为正的情形。第十三页，共四十三页。13

2.

CensusX12方法

EViews是将美国国势调查局的X12季节调整程序直接安装到EViews子目录中，建立了一个接口程序。EViews进行季节调整时将执行以下步骤：1．给出一个被调整序列的说明文件和数据文件；2．利用给定的信息执行X12程序；3．返回一个输出文件，将调整后的结果存在EViews工作文件中。X12的EViews接口菜单只是一个简短的描述，EViews还提供了一些菜单不能实现的接口功能，更一般的命令接口程序。第十四页，共四十三页。14

调用X12季节调整过程，在序列窗口选择Procs/SeasonalAdjustment/CensusX12，打开一个对话框：第十五页，共四十三页。153.移动平均方法

第十六页，共四十三页。16

Tramo(TimeSeriesRegressionwithARIMANoise,MissingObservation,andOutliers)是对具有缺失观测值，ARIMA误差、几种外部影响的回归模型完成估计、预测和插值的程序。Seats(SignalExtractioninARIMATimeSeries)是基于ARIMA模型的将可观测时间序列分解为不可观测分量的程序。这两个程序是有VictorGomez和AgustinMaravall开发的。当选择了Pross/SeasonalAdjustment/TramoSeats时，EViews执行外部程序，将数据输给外部程序，然后将结果返回EViews。4.tramo/Seats方法

第十七页，共四十三页。17第十八页，共四十三页。18§2.3趋势分解

本章第2节介绍的季节调整方法可以对经济时间序列进行分解，但在季节调整方法中，趋势和循环要素视为一体不能分开。本节专门讨论如何将趋势和循环要素进行分解的方法。测定长期趋势有多种方法，比较常用的方法有回归分析方法、移动平均法、阶段平均法(phaseaverage，PA方法)、指数平滑方法、HP滤波方法和频谱滤波方法（frequency(band-pass)filer，BP滤波）。本节主要介绍HP滤波方法。第十九页，共四十三页。19§2.3.1Hodrick-Prescott（HP）滤波

在宏观经济学中，人们非常关心序列组成成分中的长期趋势，Hodrick-Prescott滤波是被广泛使用的一种方法。该方法在HodrickandPrescott(1980)分析战后美国经济周期的论文中首次使用。我们简要介绍这种方法的原理。设{Yt}是包含趋势成分和波动成分的经济时间序列，{YtT}是其中含有的趋势成分，{YtC}是其中含有的波动成分。则

(2.3.1)计算HP滤波就是从{Yt}中将{YtT}分离出来。第二十页，共四十三页。20一般地，时间序列{Yt}中的不可观测部分趋势{YtT}常被定义为下面最小化问题的解：(2.3.2)其中：c(L)是延迟算子多项式(2.3.3)将式(2.3.3)代入式(2.3.2)，则HP滤波的问题就是使下面损失函数最小，即

(2.3.4)第二十一页，共四十三页。21

最小化问题用[c(L)YtT]2来调整趋势的变化，并随着的增大而增大。这里存在一个权衡问题，要在趋势要素对实际序列的跟踪程度和趋势光滑度之间作一个选择。=0时，满足最小化问题的趋势等于序列{Yt}；增加时，估计趋势中的变化总数相对于序列中的变化减少，即越大，估计趋势越光滑；趋于无穷大时，估计趋势将接近线性函数。一般经验地，的取值如下：第二十二页，共四十三页。22

使用Hodrick-Prescott滤波来平滑序列，选择Proc/HodrickPrescottFilter出现下面的HP滤波对话框：

首先对平滑后的序列给一个名字，EViews将默认一个名字，也可填入一个新的名字。然后给定平滑参数的值，年度数据取100，季度和月度数据分别取1600和14400。不允许填入非整数的数据。点击OK后，EViews与原序列一起显示处理后的序列。注意只有包括在当前工作文件样本区间内的数据才被处理，平滑后序列区间外的数据都为NA。第二十三页，共四十三页。23例2.3利用HP滤波方法求经济时间序列的趋势项T

利用HP滤波方法求中国社会消费品零售总额月度时间序列和中国GDP季度时间序列的趋势项。图2.4蓝线表示GDP序列、红线表示趋势T序列图2.5蓝线表示社会消费品零售总额、红线表示趋势T序列第二十四页，共四十三页。24§2.3.2频谱滤波（BP滤波）方法

20世纪以来，利用统计方法特别是时间序列分析方法研究经济时间序列和经济周期的变动特征得到越来越广泛的应用。自时间序列分析产生以来，一直存在两种观察、分析和解释时间序列的方法。第一种是直接分析数据随时间变化的结构特征，即所谓时域（timedomain）分析法，使用的工具是自相关（或自协方差）函数和差分方程；另一种方法是把时间序列看成不同谐波的叠加，研究时间序列在频率域（frequencydomain）里的结构特征，由于这种分析主要是用功率谱的概念进行讨论，所以通常称为谱分析。第二十五页，共四十三页。25

谱分析的基本思想是：把时间序列看作是互不相关的周期（频率）分量的叠加，通过研究和比较各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的频域结构，掌握其主要波动特征。因此，在研究时间序列的周期波动方面，它具有时域方法所无法企及的优势。

第二十六页，共四十三页。26

BP滤波的操作

在EViews中，可以使用Band-Pass滤波对经济时间序列进行趋势循环分解。在序列对象的菜单中选择Proc/FrequencyFilter，显示如下所示的对话框。第二十七页，共四十三页。27

为了使用Band-Pass滤波，首先要选择一种滤波类型。共有3种类型：（1）BK固定长度对称滤波（Fixedlengthsymmetric(Baxter-King，BK)）；（2）CF固定长度对称滤波（Fixedlengthsymmetric(Christiano-Fitzgerald，CF)）；（3）全样本长度非对称滤波（Fullsampleasymmetric(Christiano-Fitzgerald)）。EViews默认的是BK固定长度对称滤波。如果使用固定长度对称滤波，还必须指定先行/滞后（Lead/lag）项数n。第二十八页，共四十三页。28用户必须选择循环周期（Cycleperiods）的区间以计算Band-Pass滤波的频率响应函数的权重序列。这个区间由一对数据（PL，PU）描述，PL、PU

由Band-Pass滤波要保留的循环波动成分所对应的周期来确定。月度数据填月数；季度数据填季度的个数。EViews将根据数据类型填入了默认数值。例如，根据增长率周期波动分析，认为中国社会消费品零售总额的增长周期大约在1年半（18个月）到5年（60个月），如果保留在这个区间内的循环要素，则区间的下界是18，上界是60。因此，设定PL=18，PU=60。第二十九页，共四十三页。29

在Band-Pass滤波的输出结果中，左侧的图描述了原序列、趋势序列和循环序列。对于BK和CF固定长度对称滤波而言，EViews画出频率响应函数w()，频率

的区间是[0，0.5]，右面的图描述了频率响应函数。但是，对于时变的CF滤波，并没有画出频率响应函数，因为滤波的频率响应函数随数据和观测值个数变化。用户需要输入希望保存的结果（循环成分、趋势成分）对象的名字。循环序列（Cycleseries）是包含循环要素的序列对象；趋势序列(Non-cyclicalseries)是实际值和循环序列的差。用户还能得到在滤波中所用的Band-Pass滤波频率响应函数的权序列，它将存储在矩阵对象中。第三十页，共四十三页。30第三十一页，共四十三页。31§2.3.3指数平滑

指数平滑是可调整预测的简单方法。当只有少数观测值时这种方法是有效的。与使用固定系数的回归预测模型不同，指数平滑法的预测用过去的预测误差进行调整。1.单指数平滑（一个参数）

2.双指数平滑（一个参数）

3.Holt-Winters—无季节趋势（两个参数）

4.Holt-Winter加法模型（三个参数）

5.Holt-winters乘法模型（三个参数）

第三十二页，共四十三页。321.单指数平滑（一个参数）

这种单指数平滑方法适用于序列值在一个常数均值上下随机波动的情况，无趋势及季节要素。平滑后的序列计算式如下

=

为平滑因子。越小，越平缓，重复迭代，可得到

由此可知为什么这种方法叫指数平滑，y的预测值是y过去值的加权平均，而权数被定义为以时间为指数的形式。单指数平滑的预测对所有未来的观测值都是常数。这个常数为

（对所有的K>0）,T是估计样本的期末值。要开始递归，我们需要和的初值。EView使用原来观测值的均值来开始递归。Bowermen和O’Connell（1979）建议值在0.01到0.03之间较好。也可以让EViews估计使一步预测误差平方和最小的值。

第三十三页，共四十三页。332.双指数平滑（一个参数）

这种方法是将单指数平滑进行两次（使用相同的参数）。适用于有线性趋势的序列。序列y的双指数平滑以递归形式定义为

S是单指数平滑后的序列，D是双指数平滑序列。注意双指数平滑是阻尼因子为的单指数平滑方法。双指数平滑的预测如下最后一个表达式表明双指数平滑的预测有线性趋势，截距为，斜率为

第三十四页，共四十三页。34

3.Holt-Winters—无季节趋势（两个参数）

这种方法适用于具有线性时间趋势无季节变差的情形。这种方法与双指数平滑法一样以线性趋势无季节成分进行预测。双指数平滑法只用了一个参数，这种方法用两个参数。平滑后的序列由下式给出

a表示截距；b表示趋势。这两个参数由如下递归式定义

在0-1之间，为阻尼因子。这是一种有两个参数的指数平滑法。预测值计算如下

这些预测值具有线性趋势，截距为，斜率为。注意到无季节的Holt-Winters与的加法及乘法模型并不相同，只限制季节因子不变为非零常数。

第三十五页，共四十三页。354.Holt-Winter加法模型（三个参数）

该方法适用于具有线性时间趋势和加法模型的季节变差。平滑后的序列由下式给出其中：a表示截距：

b表示趋势：

为加法模型的季节因子：

在0-1之间，为阻尼因子。在CycleforSeason中指定s为季节频率，预测值由下式计算季节因子用最后期的s估计。第三十六页，共四十三页。365.Holt-winters乘法模型（三个参数）

这种方法适用于序列具有线性时间趋势以及乘法模型的季节变差。的平滑序列由下式给出其中：a表示截距

b表示趋势

为乘法模型的季节因子

在0-1之间，为阻尼因子。在CycleforSeason中指定s为季节频率，预测值由下式计算季节因子用最后期的s估计。

第三十七页，共四十三页。37

指数平滑法操作利用指数平滑法进行拟合和预测，选择Procs/ExponentialSmoothin