必修1-分段函数-专题与解析

必修1分段函数-----专题与解析一．选择题（共16小题）1．（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2B．﹣4或2C．﹣2或4D．﹣2或2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。专题：计算题。分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a＞0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件的a值．解答：解：当a≤0时若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4当a＞0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍去）故实数a=﹣4或a=2故选B点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．2．（2010•宁夏）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质。专题：作图题；数形结合。分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．3．若，则f（log23）=（）A．﹣23B．11C．19D．24考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质。分析：f（x）为分段函数，要求f（log23）的值，先判断log23的范围，代入x＜4时的解析式，得到f（log23+1），继续进行直到自变量大于4，代入x≥4时的解析式求解．解答：解：∵1＜log23＜2，4＜log23+3＜5∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=f（log23+3）=故选D点评：本题考查分段函数求值、指数的运算法则、对数恒等式等难度一般．4．已知函数若，则实数a=（）A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。专题：计算题。分析：根据函数，，可知：若a≤﹣1，则f（a）=a+5=，若a≥1，则f（a）=2a=等，由此能求出a．9．若f（x）=，则f（﹣2）的值为（）A．0B．1C．2D．﹣2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值。专题：计算题。分析：利用函数的解析式知道当x＜1时是以2周期的周期函数，故f（﹣2）=f（2），再代入函数解析式即得解答：解：∵f（x）=∴当x＜1时，f（﹣2）=f（0）=f（2），∴当x=2时即f（2）=log22=1故选B．点评：本题主要考查了分段函数的应用，但解题的关键在于根据x≥0时的函数的周期性将f（﹣2）转化成为f（2），属于基础题．10．设函数f（x）=，则f（f（f（）﹣5））=（）A．3B．4C．7D．9考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。专题：计算题。分析：先求f（），再求f（）﹣5，再求f（f（）﹣5），再求f（f（f（）﹣5））即可．解答：解：∵f（）=4∴f（）﹣5=﹣1∴f（f（）﹣5）=f（﹣1）=﹣3∴f（f（f（）﹣5））=f（﹣3）=7故选C点评：本题主要考查多重求函数值问题，要注意两点：一是在求值时，要从内到外，依次求解，二是在求解时要根据每一段的定义域选择好解析式．11．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（）A．﹣1B．1C．6D．12考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义。专题：计算题；综合题；新定义。分析：当﹣2≤x≤1和1＜x≤2时，分别求出函数f（x）的表达式，然后利用函数单调性或导数求出函数f（x）的最大值．解答：解：由题意知当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．故选C．点评：本题考查分段函数，以及函数的最值及其几何意义，考查函数单调性及导数求最值，是基础题．12．已知函数，则下列命题中：（1）函数f（x）在[﹣1，+∞）上为周期函数；（2）函数f（x）在区间[m，m+1）（m∈N）上单调递增；（3）函数f（x）在x=m﹣1（m∈N）取到最大值0，且无最小值；（4）若方程f（x）=loga（x+2）（0＜a＜1），有且只有两个实根，则．正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义；函数的周期性；对数函数的图像与性质。分析：作出f（x）的图象，由图象对各选项进行判断即可．x≤0时，y=，可由的图象作关于x轴的对称图象，再向上平移一个单位得到．解答：解：f（x）的图象如图所示：（1）不正确，因为f（﹣1）=﹣1≠f（0）=0；（2）正确；（3）不正确，因为m=0时，f（m﹣1）=f（﹣1）=﹣1，不是最大值；（4）正确，如图（2）所示，图中两条曲线对应的a分别为，故方程f（x）=loga（x+2）（0＜a＜1），有且只有两个实根，则故选B点评：本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力．13．在自然数集N上定义的函数f（n）=则f（90）的值是（）A．997B．998C．999D．1000考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值。分析：当n＜1000时，有f（n）=f（n+7），此式表示f（x）的周期是7，利用此性质将f（90）转化为f（n），n≥1000，代入f（n）=n﹣3即可．解答：解：n＜1000时，有f（n）=f（n+7），∴f（90）=f（97）=f（104）=…=f（1000）=1000﹣1=997故选A点评：本题考查分段函数求值、函数的周期性等知识，难度一般．14．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（）A．B．（C．（D．）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质。专题：计算题。分析：由已知中函数是定义域上的递减函数，根据一次函数的单调性，指数函数的单调性，及分段函数的单调性，我们可以构造一个关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵函数是定义域上的递减函数，∴解得：＜a≤故选C点评：本题考查的知识点是分段函数的单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（x=7）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，而错解为＜a＜1，而错选A．15．已知函数f（x）=，则方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数（）A．5B．6C．7D．8考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断。专题：计算题；转化思想。分析：方程f2（x）﹣f（x）=0可解出f（x）=0或f（x）=1，方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数即两个函数f（x）=0或f（x）=1的所有不相等的根的个数的和，根据函数f（x）的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数y=0，y=1的图象与函数f（x）的图象的交点个数的问题．解答：解：方程f2（x）﹣f（x）=0可解出f（x）=0或f（x）=1，方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数即两个函数f（x）=0或f（x）=1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y=0，y=1的图象与函数f（x）的图象的交点个数相同，如图，由图象，y=1的图象与函数f（x）的图象的交点个数有四个，y=0的图象与函数f（x）的图象的交点个数有三个，故方程f2（x）﹣f（x）=0有七个解，应选C．点评：本题考点是分段函数，考查解分段函数类型的方程，求其根的个数，此类题常转化为求函数交点的个数，用图象法来求解．16．函数y=f（x）（x∈R）满足：对一切；当x∈[0，1）时，，则=（）A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值。分析：根据，可