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第五章不定积§5.1如果xIFx)fx)(或者dFx)fx)dx)，则Fx)称fx)在区间I上的一个原函数。例如：sinx2cosxsinx2为cosx在区间R上的

xx

(x第1原函数什么时候存如果函数fx)在区间I内连续，则其在该区间上必有原函数Fx)。证明需要定积分，留在以后问题：原函数是否唯一？——很明显，不唯一。对于任意常数C，FxCFx)fx)第2原函数相互之间的关F(x)f(x)F(x)Cf(F(x)G(x)f(x)F(x)G(x)F(x)G(x)第3不定积分的定在区间Ifx)的全体原函数成为其在该区间上f(CF(f(C第4最直接的计算方法：根据定义和求导法例1求x5dx.xx解∵ x56

x5dxx6C6例2求

1

解 arctanx

1x2111

dxarctanxC第5例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 设曲线方程为yf(

2fx)是2x的一个原函数∵2xdxx2C f(x)x2C由曲线通过点（1，2）C所求曲线方程为y 第6微分与积分：互逆的运函数fx)fx)的积分曲线df(x)dxf(x),F(x)dxF(x)C

d[f(x)dx]fdF(x)F(x)C第7同一函数的不定积分的结果形式会不 dxarctanxC dxarccotx1 1第8 x1

x

xdx C(第9需要熟练掌握的基本积分 kdxkx

(k是常数

xdx

( dxlnx

第10

11111x21

dxarctanxdxarcsinxcosxdxsinxsinxdxcosx

cos2

xdxtanx

sin2

csc2xdxcotx第11secxtanxdxsecxcscxcotxdxcscxexdxex

axdx

aln

sinhxdxcoshxcoshxdxsinhx第12根据积分表计算不定积例4求积分 5

xdxx

x 77

dx

1x C5

2x7

C2第13三、不[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(kfx)dxkf k0 ∵f(x)dxg(等式成立第14计算不定积分：一些基本的方第15例5求积分

1x2311x23

1x1x2

1x2

1

dx

1x23arctanx2arcsin1x2第161xx2例6求积分x(1x2dx.1x x(1x2)dx

x(1x2x(1x2) 1

dx 1x2 x

1x2 arctanxlnxC第17

1x2解：原式

x41

(x

1

1x2

1x2x33

xarctanx第1812x2

例8求积分x21x212x2

1x2x2解x2(1x2

x2(1x2)dxx2dx1x2x

arctanxC第19例9求积分

dx cos2

12cos2x1 dx1tanxCcos2 第20例10：求

cos2 cos2xsin2

cos2xsin2 dx

dx cos2xsin2cotxtanx

sin2

cos2第21四、原函数的概念Fxf不定积分的概：fx)dxFx基本积分表第22x2x 1x2

3x52xxcos2x2

cos2 cos2xsin2(11

x2sin2

sec2x x2第23

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