第四章固有特性近似计算

第四章固有特性近似计算第1页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.1瑞利（Rayleigh）能量法先假设系统的振型，再用能量法计算其固有频率。设有一n自由度系统，其质量矩阵为[M],刚度矩阵为[K]，它的动能与势能为：系统作某阶主振动时，最大动能与最大势能：根据机械能守恒定律Tmax=Umax，可求：第2页，共101页，2023年，2月20日，星期四RI(A)称为第一瑞利商。当{A}分别取为系统的各阶主振型{A(i)}时，即可求出各阶固有频率：注意：由于{A}是假设的振型，因此求出的各固有频率只能是估计值；由于高阶振型很难做出合理的假设，故一般只能估算最低阶固有频率。结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比实际值大（此即所谓的上限估值）。4.1瑞利（Rayleigh）能量法第3页，共101页，2023年，2月20日，星期四结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比实际值大（此即所谓的上限估值）。证明如下：对于n自由度系统存在n个特征值wi2，对应有n个特征矢量{AN(i)}(设已经正则化），它们是相互线性独立的，可以构成n维线性空间的一个完备基。任何一个假设振型{A}都可以表示为n个正则振型{AN

(i)}的线性组合：其中c1，c2，…，cn为比例因子，表示相应主振型在假设振型中所占比例的大小。若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，则有：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第4页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.1瑞利（Rayleigh）能量法假设上限估值结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比实际值大（此即所谓的上限估值）。第5页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.1瑞利（Rayleigh）能量法结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比实际值大（此即所谓的上限估值）。第6页，共101页，2023年，2月20日，星期四将得：代入瑞利能量法也可用于由柔度矩阵[d]建立系统运动方程的情况：两次导数代入上式，得：又因：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第7页，共101页，2023年，2月20日，星期四同样可以证明：对于同一假设振型{A},总存在有：即用第二瑞利商算出的固有频率比用第一瑞利商算出的更接近真值。例4.1在如图（例3.5）所示的三自由度系统，求此系统的固有频率和主振型。解：前面已经算出系统的质量矩阵和刚度矩阵：柔度矩阵为：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第8页，共101页，2023年，2月20日，星期四不妨先粗糙地取假设振型{A}=[111]T,由此假设振型可求得：若取{A}=[123]T,可求得：

若取{A}=[356]T,可求得：

4.1瑞利（Rayleigh）能量法第9页，共101页，2023年，2月20日，星期四第一个假设振型{A}=[111]T：相当在质量m1上沿坐标方向作用一单位力时三个质量的静态位移的相对值。第二个假设振型{A}=[123]T：相当在质量m3上沿坐标方向作用一单位力时三个质量的静态位移的相对值。第三个假设振型{A}=[356]T

：相当在各质量上沿坐标方向同时作用一单位力时三个质量的静态位移的相对值。实际振型{A(1)}=[0.4550.8011.000]T实际第三种假设振型与实际最接近，其第二瑞利商与第一阶固有频率的平方最接近。第10页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.2邓克利（Dunkerley）法瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限估值。邓克利法将给出系统最低阶固有频率的下限估值。n自由度系统的自由振动位移方程：设解为：将其代入振动位移方程，并以w2除全式，得振型方程：其特征方程为：第11页，共101页，2023年，2月20日，星期四当系统的质量矩阵[M]为对角阵时：特征方程变为：即：展开得：4.2邓克利（Dunkerley）法特征方程：第12页，共101页，2023年，2月20日，星期四其刚度为：考虑到系统的固有频率：则近似地只保留第一项1/w12。等式左边：等式右边：是第i个质量处作用单位力时，系统在该处的柔度系数。设想系统只有一个质量mi存在，则成为单自由度系统，设这种假想的系统的固有频率为Wi，则有：故，有：4.2邓克利（Dunkerley）法特征方程展开后得将各阶固有频率代入特征方程并相加得第13页，共101页，2023年，2月20日，星期四系统最低阶固有频率的平方值w12的倒数，近似地等于各质量mi（i=1，2，…，n）单独存在时所得各固有频率平方值Wi2的倒数的和。由于上式的左边舍去了一些正数项，由此求出1/w12的比实际值偏大，即w12比实际值偏小，因此，用邓克利法将给出系统最低阶固有频率的下限估值。上式右边所有各项的和实际上是特征方程第二个矩阵的迹，故邓克利法又叫迹法。邓克利法也适用质量矩阵为非对角阵的情况，只是对应矩阵迹的计算复杂些。4.2邓克利（Dunkerley）法这里：n阶方阵主对角线上元素之和称为矩阵的迹。第14页，共101页，2023年，2月20日，星期四例4.2用邓克利法估算例3.5中系统的第一阶固有频率。解：在例4.1中已经求出：则：其迹为：故：实际矩阵迹的表示符号第15页，共101页，2023年，2月20日，星期四例4.3已知一均匀悬臂梁的第一阶固有频率式中EJ为梁的抗弯刚度，M为梁的质量，l为梁长。若在梁的自由端安装一质量为m的激振器，试用邓克利法估算这时系统的一阶固有频率。并分别计算m为M/20、M/10、M/5和M/2时的一阶固有频率，说明激振器质量对均匀梁的一阶固有频率的影响。解：只考虑梁的质量：悬臂梁端点的柔度为：只考虑激振器的质量：第一阶固有频率：第16页，共101页，2023年，2月20日，星期四将m/M的各值代入上式，可得下表：表中的误差是相对于W1的。加激振器后，梁的固有频率有明显的下降，只有当激振器的质量小于梁的重量的1/20时，才可以忽略其质量对梁的固有频率的影响。另外，考虑到邓克利法给出的是下限估值，实际误差比表中给出的要小些。激振器质量对均匀梁的一阶固有频率的影响：第17页，共101页，2023年，2月20日，星期四例4.4设如图所示的二自由度系统，其中k1=ck，c为常数。用迹法估算其基频（一阶固有频率），并将结果与准确值作比较。解：分别只考虑一个质量的假想系统如图所示：串联并联第18页，共101页，2023年，2月20日，星期四式中，假设模态为n阶列阵，可预先选定；李兹法不是直接给出假设振型，而是把它表示为s个（1<s<=n）独立的假设模态（即假设振型）的线性组合。4.3李兹（Ritz）法李兹法是瑞利法的改进。用李兹法不仅可以算出系统的基频，还可算出系统的前几阶频率和模态。李兹法将对近似振型做出合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降。瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限。S根据需要而定，一般小于n；Cj为待定系数。第19页，共101页，2023年，2月20日，星期四将假设振型代入第一瑞利商得：由于由瑞利商得出的是系统的一阶固有频率的上限估值，因此，待定系数cj的选择应使上式给出的固有频率为最小。则：此式对任意待定系数cj的偏导数都应等于零。4.3李兹（Ritz）法第20页，共101页，2023年，2月20日，星期四得：由于：且：4.3李兹（Ritz）法阶：1*s阶：s*n阶：1*n第21页，共101页，2023年，2月20日，星期四得出：整理成矩阵方程：得：由于4.3李兹（Ritz）法第22页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.3李兹（Ritz）法第23页，共101页，2023年，2月20日，星期四由确定的前s阶固有频率以及的逼真程度与开始选定的s个假设模态有关。4.3李兹（Ritz）法第24页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.3李兹（Ritz）法第25页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.3李兹（Ritz）法第26页，共101页，2023年，2月20日，星期四若将代入第二瑞利商经过上述同样的处理过程，可将原问题转化为下述特征值问题：4.3李兹（Ritz）法第27页，共101页，2023年，2月20日，星期四将各段质量等分两半，分别置于其两端部，各质量之间由刚度为k的弹簧相连，k由每段杆的拉压刚度确定为：例4.5图为一等直杆，杆长l，截面积为A，密度为r，试用聚缩质量的方法将其离散为有限自由度系统，并用李兹法求杆作纵向振动的第一阶固有频率及主振型的近似解。解：将杆分成四段，每段质量：通过聚缩质量将等直杆简化成四自由度系统。固定端处的质量不参与振动。第28页，共101页，2023年，2月20日，星期四此离散系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为：因只求第一阶固有频率和主振型，故选取两个假设模态：广义质量矩阵：第29页，共101页，2023年，2月20日，星期四广义刚度矩阵：特征方程：第30页，共101页，2023年，2月20日，星期四特征方程：将代入特征矢量第31页，共101页，2023年，2月20日，星期四同理，根据确定特征方程：特征矢量主振型第32页，共101页，2023年，2月20日，星期四等直杆的精确解：第33页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.4矩阵迭代法n自由度无阻尼系统的自由振动作用力方程:设方程的解为：代入作用力方程，消去得系统的主振型方程：第34页，共101页，2023年，2月20日，星期四n自由度无阻尼系统的自由振动位移方程:设方程的解为：代入振动位移方程，消去得系统的主振型方程：4.4矩阵迭代法第35页，共101页，2023年，2月20日，星期四系统的主振型方程：矩阵迭代法：从假设主振型出发，对上两式进行矩阵迭代运算，从而算出系统的固有频率和主振型。设动力矩阵分析迭代计算：4.4矩阵迭代法第36页，共101页，2023年，2月20日，星期四第一阶固有频率和主振型的矩阵迭代运算方法：（1）任意选取一个经过归一化的假设振型用动力矩阵[D]前乘它，并对矩阵相乘结果再进行归一化,得一新振型，即为新振型矢量归一化后的系数。（2）如果就再从{A}1开始，重复上述步骤，得：为新振型矢量归一化后的系数。4.4矩阵迭代法主振型方程：第37页，共101页，2023年，2月20日，星期四（3）如果继续重复上述步骤。经过k次矩阵乘法运算后，得到：在规定的有效位数内，当发现就停止运算。证明如下：对于n自由度系统存在n个特征值wi2，对应有n个特征矢量{AN(i)}(设已经正则化），它们是相互线性独立的，可以构成n维线性空间的一个完备基。任何一个假设振型{A}都可以表示为n个正则振型{AN

(i)}的线性组合：4.4矩阵迭代法第38页，共101页，2023年，2月20日，星期四设初始假设振型{A}0表示为系统主振型{A(i)}的线性组合：假设振型{A}0经过第一次迭代后：4.4矩阵迭代法第39页，共101页，2023年，2月20日，星期四经过第二次迭代后：4.4矩阵迭代法第40页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.4矩阵迭代法第41页，共101页，2023年，2月20日，星期四例4.6用矩阵迭代法求例3.5中系统的第一阶固有频率和主振型。解：系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为：

系统的动力矩阵为：

第42页，共101页，2023年，2月20日，星期四系统的动力矩阵为：

取{A}0={111}T,进行第一次迭代：

进行第二次迭代：

第43页，共101页，2023年，2月20日，星期四继续重复迭代运算，得：这时，有：第一阶主振型为：第44页，共101页，2023年，2月20日，星期四在例3.5中通过解频率方程求出的三个固有频率和主振型为：例4.6用矩阵迭代法求系统的第一阶固有频率和主振型。例4.1中通过瑞利能量法，在假设振型{A}=[111]T，求得：第45页，共101页，2023年，2月20日，星期四系统的主振型方程：4.4矩阵迭代法第46页，共101页，2023年，2月20日，星期四在矩阵迭代法的证明中，设初始假设振型{A}0表示为系统主振型{A(i)}的线性组合：4.4矩阵迭代法第47页，共101页，2023年，2月20日，星期四假设振型用前乘上式，根据主振型的正交性，可得：第

i

阶主质量取：即可在假设振型{A}0中清除前s阶主振型分量，使迭代结果收敛于第s+1阶固有频率和主振型。4.4矩阵迭代法第48页，共101页，2023年，2月20日，星期四S阶清型矩阵（n*n阶）4.4矩阵迭代法第49页，共101页，2023年，2月20日，星期四动力矩阵：清型变换后的动力矩阵：4.4矩阵迭代法第50页，共101页，2023年，2月20日，星期四需求第二阶固有频率和主振型时，每次迭代前须乘以动力矩阵：需求第三阶固有频率和主振型时，每次迭代前须乘以动力矩阵：动力矩阵的递推公式为：此种方法适用于正定系统。4.4矩阵迭代法第51页，共101页，2023年，2月20日，星期四半正定系统：因不存在柔度矩阵，故不能用上述方法求其固有频率和主振型。半正定系统的主振型方程：变成：再改为：4.4矩阵迭代法系统的主振型方程第52页，共101页，2023年，2月20日，星期四例4.7用矩阵迭代法求例3.5中系统的第二阶和第三阶固有频率及主振型。（继续例4.6）解：在例4.6中已求得系统的第一阶固有频率的平方值和主振型为：系统的第一阶主质量为：系统的第二阶固有频率和主振型：第53页，共101页，2023年，2月20日，星期四动力矩阵：在例4.6已求出第54页，共101页，2023年，2月20日，星期四选取第二阶初始振型为：第一次迭代，得：第二次迭代，得：迭代公式第55页，共101页，2023年，2月20日，星期四如此继续下去，得：第56页，共101页，2023年，2月20日，星期四有系统的第二阶主振型为：系统的第二阶固有频率的平方为：第57页，共101页，2023年，2月20日，星期四系统的第三阶固有频率和主振型：第二阶主质量为：因选取第三阶初始振型为：第58页，共101页，2023年，2月20日，星期四各次迭代运算的结果为：系统的第三阶主振型为：系统的第三阶固有频率的平方为：第59页，共101页，2023年，2月20日，星期四例3.5的结果：与例3.5的结果相比：频率值相同，振型稍有不同，是计算的舍入误差造成的。另外，由于第三假设振型较接近实际振型，迭代次数少。第60页，共101页，2023年，2月20日，星期四

第四章

多自由度系统固有特性的近似计算固有特性的近似计算方法：瑞利能量法；邓克利法；李兹法；矩阵迭代法；子空间迭代法；（略）传递矩阵法。第61页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法4.6.1轴的扭转振动如图为一链式轴盘扭转振动系统，各轴段的质量不计，其扭转刚度分别为k1、k2、…、kn，各圆盘的弹性变形不计，其转动惯量分别为I1、I2、…、In。分析第i个圆盘：链式轴盘扭转振动系统，用传递矩阵法计算其固有频率和主振型。约定：（按右手螺旋规则），各圆盘的转角矢朝右为正；作用于圆盘右端面的扭矩矢朝右为正；作用于圆盘左端面的扭矩矢朝左为正。将每个端面的转角和扭矩组成一个状态矢量{Z}，反映该处的运动与受力状态。第i个圆盘右端面的状态矢量第i个圆盘左端面的状态矢量第62页，共101页，2023年，2月20日，星期四第i个圆盘分离体的动力学方程：设轴的扭转振动为简谐振动：代入动力学方程，得：圆盘左右两端面转角相等（忽略圆盘的弹性）：}第i个圆盘右端面的状态矢量第i个圆盘左端面的状态矢量4.6传递矩阵法第63页，共101页，2023年，2月20日，星期四分析第i段轴：}4.6传递矩阵法第64页，共101页，2023年，2月20日，星期四{第i段轴左右端状态传递关系第i个圆盘左右端面状态传递关系[C]i称为第i个传递矩阵4.6传递矩阵法点矩阵场矩阵第65页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法第66页，共101页，2023年，2月20日，星期四在上图的链式轴盘扭转自由振动系统中的边界条件：第i个圆盘右端面的状态矢量4.6传递矩阵法边界条件：自由端:固定端：第67页，共101页，2023年，2月20日，星期四例4.9用传递矩阵法求图示三圆盘扭振系统的固有频率和主振型。第一个圆盘左右端的点矩阵第二个传递矩阵第三个传递矩阵第68页，共101页，2023年，2月20日，星期四第69页，共101页，2023年，2月20日，星期四系统为刚体转动第70页，共101页，2023年，2月20日，星期四主链系统：支链系统：分支结构的轴盘扭转振动系统，用传递矩阵法计算其固有频率和主振型。转动惯量为的三个圆盘所在的A轴。转动惯量为的圆盘所在的B轴。4.6传递矩阵法第71页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法传递矩阵[C]i第72页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法第73页，共101页，2023年，2月20日，星期四{建立了1点左右两端面的状态矢量的关系4.6传递矩阵法第74页，共101页，2023年，2月20日，星期四}4.6传递矩阵法第75页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6.2梁的弯曲振动将梁结构简化成带有若干集中质量的弹性梁。4.6传递矩阵法第76页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法第77页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法第78页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法且：有：第79页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法第80页，共101页，2023年，2月20日，星期四质量mi梁li4.6传递矩阵法第81页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法第82页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法第83页，共101页，2023年，2月20日，星期四4.6传递矩阵法边界条件：自由端:

边界条件：固定端：第84页，共101页，2023年，2月20日，星期四第85页，共101页，2023年，2月20日，星期四

第四章

多自由度系统固有特性的近似计算1。瑞利能量法第一瑞利商RI(A)：第二瑞利商RII(A)：结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比实际值大（此即所谓的上限估值）。第86页，共101页，2023年，2月20日，星期四2。邓克利法瑞利能量法给出了系统最低阶固有频率的上限估值。邓克利法将给出系统最低阶固有频率的下限估值。振动微分方程：特征方程：振型方程：第87页，共101页，2023年，2月20日，星期四特征方程化为：系统最低阶固有频率的平方值w12的倒数，近似地等于各质量mi（i=1，2，…，n）单独存在时所得各固有频率平方值Wi2的倒数的和。上式右边所有各项的和实际上是特征方程中的第二个矩阵的迹，故邓克利法又叫迹法。这里：n阶方阵主对角线上元素之和称为矩阵的迹。第88页，共101页，2023年，2月20日，星期四式中，假设模态为n阶列阵，可预先选定；李兹法不是直接给出假设振型，而是把它表示为s个（1<s<=n）独立的假设模态（即假设振型）的线性组合。3。李兹（Ritz）法李兹法是瑞利法的改进。用李兹法不仅可以算出系统的基频，还可算出系统的前几阶频率和模态。瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限。S根据需要而定，一般小于n；Cj为待定系数。第89页，共101页，2023年