九年级数学中考二轮复习+图形的旋转变换综合压轴题+专题达标测评+

春九年级数学中考二轮复习《图形的旋转变换综合压轴题》专题达标测评（附答案）（共12小题，每小题10分，满分120分）1．如图，直角边长为6的等腰Rt△ABC中，点D、E分别在直角边AC、BC上，DE∥AB，EC＝4．（1）如图1，将△DEC沿射线AC方向平移，得到△D1E1C1，边D1E1与BC的交点为M，连接BE1，当CC1多大时，△BME1是等腰直角三角形？并说明理由．（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D1E1C，连接AD1、BE1、边D1E1的中点为F．①在旋转过程中，AD1和BE1有怎样的数量关系？并说明理由；②连接BF，当BF最大时，求AD1的值．（结果保留根号）2．如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交点点E、F，且∠PAC＝∠EDC．（1）求证：AP＝2ED；（2）猜想PA和PC的位置关系，并说明理由；（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP＝2，PC＝4，求AG的长．3．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．4．如图1，点P是线段AB上的动点（点P与A，B不重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）请你判断AD与BC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5．如图1，点A在y轴正半轴上，点B（m，0）在x轴负半轴上，已知∠BAO＝α°，∠ABO＝β°，+β2﹣4βα+4α2＝0，点C与点B关于y轴对称．（1）填空：m＝，∠CAO＝度，△ABC形状为；（2）如图2，D是y轴上的动点，以CD为边做正三角形CDE，连接BE，图中有无与BE始终相等的线段？若有，请指出这条线段，并证明之；若没有，请说明理由；（3）如图3，（2）中D点在线段OA上运动时，求线段OE长的取值范围．（可以图1为备用图）6．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．请画出图形．上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）根据图2，请直接写出AD、BD、CD三条线段之间的数量关系．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝60°②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE．BF、BP三者的数量关系（不需证明）8．如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F，（1）直接写出线段AE与CD的数量关系．（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？9．如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，E点正好落在边CD上，连接BE，BG，且BG交AE于P．（1）求证：∠CBE＝∠BAE；（2）求证：BG＝2PB；（3）若AB＝，BC＝3，直接写出BG的长．10．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B，C均在坐标轴上，其中B（﹣4，0），C（4，0）．（1）如图1，若将△AOC沿AC翻折得到△ACD，则A点坐标为，D点坐标为；（2）如图2，若点P为AO上一动点，作点P关于AC的对称点Q，连接QB，QC，是否存在这样的点P．使得△QBC的周长最小？如果存在，求出△QBC周长的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）在（1）问的条件下，点E为y轴正半轴上一动点，是否存在点E使得△BDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出△BDE的面积，若不存在，请说明理由．12．在等边△ABC中，点P为△ABC所在平面内一点．（1）如图1，点P在△ABC内，以CP为边作等边△CPD，连AP，BD，延长AP交BD的延长线于点Q，求∠AQB的度数；（2）如图2，点P在△ABC内，且∠APC＝120°，M为AC的中点，连PM，PB，求证：PB＝2PM；（3）如图3，在（1）的条件下，将等边△CPD绕点C顺时针旋转至B，C，P三点共线，连AP，BD交于点E，连接EC，设AE＝a，DE＝b，CE＝c，若BC＝3CP，直接写出的值．

参考答案1．如图，直角边长为6的等腰Rt△ABC中，点D、E分别在直角边AC、BC上，DE∥AB，EC＝4．（1）如图1，将△DEC沿射线AC方向平移，得到△D1E1C1，边D1E1与BC的交点为M，连接BE1，当CC1多大时，△BME1是等腰直角三角形？并说明理由．（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D1E1C，连接AD1、BE1、边D1E1的中点为F．①在旋转过程中，AD1和BE1有怎样的数量关系？并说明理由；②连接BF，当BF最大时，求AD1的值．（结果保留根号）解：（1）如图1中，连接EE1，当CC1＝2时，△BME1是等腰直角三角形．理由：∵△DEC沿射线AC方向平移，得到△D1E1C1，∴EE1∥AC，EE1⊥BC，∴EE1＝CC1＝2，∠EE1M＝∠MD1C，∵DE∥AB，∴△ABC∽△DCE，∴＝，∠EE1M＝∠MD1C＝45°，∵AC＝BC＝6，∴CD＝CE＝4，∴BE＝EE1＝2，∴∠BE1E＝45°，∴∠BE1M＝90°，∴∠BE1E＝∠ME1E＝45°，∵∠BEE1＝∠MEE1＝90°，EE1＝EE1，∴△BE1E≌△ME1E（ASA），∴BE1＝ME1，∴△BME1是等腰直角三角形．（2）①AD1和BE1相等理由：如图2中，∵∠ABC＝∠D1CE1＝90°，∴∠BCE1＝∠ACD1，又∵AC＝BC，CE1＝CD1，∴△BE1C≌△AD1C（SAS），∴AD1＝BE1．②当点F在BC的延长线上时，BF最大．在Rt△D1CE1中，E1C＝D1C＝4∴D1E1＝4，∵F是中点，∴CF＝D1E1＝2，∴BF＝6+2．2．如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交点点E、F，且∠PAC＝∠EDC．（1）求证：AP＝2ED；（2）猜想PA和PC的位置关系，并说明理由；（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP＝2，PC＝4，求AG的长．（1）证明：∵将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，∴∠DCE＝∠ACP，∵∠PAC＝∠EDC，∴△CDE∽△CAP，∴＝，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∴点D为BC边的中点，∴CD＝BC＝AC，∴＝＝，∴AP＝2ED；（2）解：PA⊥PC，理由：连接AD，如图1，∵△ABC是等边三角形，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠PAC＝∠EDC，∴A、D、C、P四点共圆，∵∠ADC＝90°，∴AC是共圆的直径，∴∠APC＝90°，∴PA⊥PC；（3）解：如图2，∵AP＝2，PC＝4，∠APC＝90°，∴AC＝＝2，∴DC＝AC＝，AD＝AC＝∵AP＝2ED，∴ED＝1，∵△CDE∽△CAP，∴∠CED＝∠APC＝90°，∴CE＝＝2，∵∠EDG+∠EDC＝90°∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠EDG＝∠ECD，∵∠CED＝∠DEG＝90°，∴△EDG∽△ECD，∴＝，∴GD＝＝＝，∴AG＝AD﹣GD＝﹣．3．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．解：（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，∴AM＝20或（﹣20舍弃）．当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，∴AM＝10或（﹣10舍弃）．综上所述，满足条件的AM的值为20或10．（2）如图2中，连接CD．由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30，∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°，∴CD1＝＝30，∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1，∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1（SAS），∴BD2＝CD1＝30．4．如图1，点P是线段AB上的动点（点P与A，B不重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）请你判断AD与BC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）解：（1）AD＝BC理由如下：∵△APC是等边三角形∴PA＝PC，∠APC＝60°又∵△BDP是等边三角形∴PB＝PD，∠BPD＝60°又∵A、P、D三点在同一直线上所以∠APD＝∠CPB＝120°在△APD和△CPB中∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD＝BC（2）α的大不会随点P的移动而变化理由如下：∵△APD≌△CPB∴∠PAD＝∠PCB∴∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°∴∠AQC＝180﹣120°＝60°（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．如图2，∵△APC、△BDP是等边三角形，∴PA＝PC，PD＝PB，∠APC＝∠BPD＝60°，∴∠APD＝∠CPB，∴在△APD与△CPB中，，∴△APD≌△CPB（SAS）∴∠PAD＝∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP＝120°，∴∠AQC＝180°﹣120°＝60°，即α＝60°．5．如图1，点A在y轴正半轴上，点B（m，0）在x轴负半轴上，已知∠BAO＝α°，∠ABO＝β°，+β2﹣4βα+4α2＝0，点C与点B关于y轴对称．（1）填空：m＝﹣6，∠CAO＝30度，△ABC形状为等边三角形；（2）如图2，D是y轴上的动点，以CD为边做正三角形CDE，连接BE，图中有无与BE始终相等的线段？若有，请指出这条线段，并证明之；若没有，请说明理由；（3）如图3，（2）中D点在线段OA上运动时，求线段OE长的取值范围．（可以图1为备用图）解：（1）∵+β2﹣4βα+4α2＝0，可得：m＝﹣6，β＝2α，∵α+β＝90°，∴α＝30°，∵点C与点B关于y轴对称，∴∠CAO＝∠BAO＝α＝30°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；故答案为：﹣6，30，等边三角形；（2）线段AD与BE始终相等，理由如下：∵△ABC，△CDE为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝60°＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，（3）如图，连接BE，由（2）可知△ACD≌△BCE，∴∠EBC＝∠DAC＝30°，即当D点在线段OA上运动时，E点在与BC夹30°角的BE上运动，当OE⊥BE时，OE最小，OE＝OB＝3；当D点与点O重合时，OE与DE重合，此时OE最大，OE＝DE＝OC＝6；当D点与点A重合时，CE与CB重合，此时OE最大，OE＝OB＝6，当D点与点A重合时，可AC右侧做等边三角形，此时OE值最大，综上，3≤OE≤6．6．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．请画出图形．上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）根据图2，请直接写出AD、BD、CD三条线段之间的数量关系．（1）证明：如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°．∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴BD⊥CE；（2）如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可证CE＝BD，CE⊥BD；（3）2AD2＝BD2+CD2，∵∠EAD＝90°AE＝AD，∴ED＝AD在RT△ECD中，ED2＝CE2+CD2，∴2AD2＝BD2+CD27．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝60°②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE．BF、BP三者的数量关系（不需证明）解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②补全图形如图2，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP＝BF，CP＝BF．（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由：如图3，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP＝BF，而CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∴tan∠DCE＝，∴CE＝DEtanα，∴BC＝2CE＝2DEtanα，即BF﹣BP＝2DEtanα．8．如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F，（1）直接写出线段AE与CD的数量关系．（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？解：（1）结论：AE＝CD．理由：如图1中，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS）∴AE＝CD．（2）结论：AE＝CD，AE⊥CD，理由：如图2中，设AB交CD于O．∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠DBC，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS），∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，∵∠DCB+∠COB＝90°，∠AOF＝∠COB，∴∠FOA+∠FAO＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD．（3）线段AE、CD所在直线的夹角大小不变，∠AFC＝α．理由：如图3中，设AB交CD于O．∵∠DBE＝∠ABC＝α，∴∠ABE＝∠DBC，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS），∴∠EAB＝∠DCB，∵∠AOF＝∠COB，∴∠AFO＝∠ABC＝α．9．解：（1）∵矩形ABCD中，∠CBA＝90°，∴∠CBE+∠ABE＝90°，即2∠CBE+2∠ABE＝180°，①由旋转可得，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠BAE+2∠ABE＝180°，②由①②可得，∠BAE＝2∠CBE，∴∠CBE＝∠BAE；（2）如图，过B作BH⊥AE于H，则∠C＝∠BHE＝90°，由（1）可得，∠ABE＝∠AEB，∵AB∥CE，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠BEC＝∠BEH，即BE平分∠CEH，∴BH＝BC，由旋转可得，AG＝AD＝BC，∠GAP＝∠BAD＝90°，∴AG＝HB，∠GAP＝∠BHP，又∵∠APG＝∠HPB，∴△APG≌△HPB，∴GP＝BP＝BG，即BG＝2PB；（3）∵AB＝，BC＝3＝BH，∴Rt△ABH中，AH＝＝4，∵△APG≌△HPB，∴PH＝AP＝AH＝2，∴Rt△BHP中，BP＝＝，∴BG＝2BP＝2．10．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．11．解：（1）如图1中，过点D作DH⊥x轴于H．∵B（﹣4，0），C（4，0），∴OB＝OC＝4，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ACO＝60°，∵∠AOC＝90°，∴∠OAC＝30°，∴AC＝2OC＝8，∴OA＝＝＝4，∴A（0，4），∵将△AOC沿AC翻折得到△ACD，∴∠ACD＝∠ACO＝60°，CD＝CO＝4，∴∠DCH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵DH⊥CH，∴∠DHC＝90°，∴∠CDH＝30°，∴CH＝CD＝2，∴DH＝＝＝2，OH＝OC+CH＝6，∴D（6，2）．故答案为：（0，4），（6，2）．（2）如图2中，∵P，Q关于AC对称，点P在线段OA上，∴点Q在线段AD上，作点C关于直线AD的对称点C′，连接BC′交AD于Q′，连接CQ′，此时△BCQ′的周长最小，∵C（4，0），D（6，2），CD＝DC′，∴C′（8，4），∵B（﹣4，0），∴BC′＝＝8，∴△BCQ′的周长＝BC+CQ′+BQ′＝BC+C′Q′+BQ′＝BC+BC′＝8+8，∴△BCQ的周长的最小值为8+8．（3）存在．如图3中，设BD交y轴于F，E（0，m）．由题意，∠BAC＝60°，∠CAD＝∠CAO＝30°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝8，AD＝4，∴S△ABD＝•AB•AD＝•AF•（xD﹣xB），∴AF＝＝，∴OF＝4﹣＝，①当EB