简单弹塑性梁的求解问题

简单弹塑性梁的求解问题第1页，共34页，2023年，2月20日，星期三一个实际的弹塑性力学问题与弹性力学问题一样在数学上总能归结为，一个偏微分方程组的边值问题。因此需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组。由于往往难以克服数学上的困难，所以在一般情况下很难求得问题的解析解或精确解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。具体求解而言第2页，共34页，2023年，2月20日，星期三简单梁问题的弹塑性弯曲问题简单梁的弹塑性弯曲问题的特点：在平衡方程中和屈服函数条件中，未知函数和方程式的数目相等。一般为静定结构梁。求解的特点：结合边界条件及力的平衡条件可直接求出应力分布；应变和位移则根据物理关系和几何的连续方程求出。第3页，共34页，2023年，2月20日，星期三①圆形截面杆的弹塑性扭转问题；②轴对称和球对称的问题；③简单桁架问题。具有该类求解特点的问题有：第4页，共34页，2023年，2月20日，星期三梁弹塑性弯曲的基本假定条件：

①平断面假定条件；

②不考虑纤维层之间的挤压应力；

③物理方程的特点呈线性关系；

在塑性区：

仅考虑应力对屈服条件的影响对于理想弹塑性材料变形与应变之间的关系在弹性区：第5页，共34页，2023年，2月20日，星期三

④截面上的应力截面轴线方向应力的合满足合力为0的条件求出中性层的位置截面上应力取矩积分和=截面弯矩第6页，共34页，2023年，2月20日，星期三简单弹塑性梁的求解需要解决的问题

①截面中性层的求解；

②截面弹塑性弯矩的求解；

③弹塑性梁塑性边界的求解；

④弹塑性梁挠曲线方程式的求解（变形）；

⑤残余应力与残余变形的特点与求解思路；第7页，共34页，2023年，2月20日，星期三截面具有两个对称面的梁在理想弹塑性材料时，截面上的应力随着进入塑性阶段不同可能会出现三种情况：弹性极限状态弹塑性状态塑性极限状态（具有两对对称轴三个阶段中性层位置不变）1、矩形截面梁的理想弹塑性弯曲问题第8页，共34页，2023年，2月20日，星期三②弹性极限状态下梁曲率——ke（1）弹性极限状态①弹性极限状态下弯矩值——弹性极限弯矩H第9页，共34页，2023年，2月20日，星期三（2）塑性极限状态①弹性极限状态下弯矩值——塑性极限弯矩②塑性极限状态下梁曲率梁的曲率可以无限增长。可将截面视为一个“铰”塑性铰与通常铰的区别：*塑性铰上作用有大小保持为的弯矩；*塑性铰转动角度的方向必须与作用的弯矩方向一致。塑性断面剖面模数第10页，共34页，2023年，2月20日，星期三弹性极限弯矩、塑性极限弯矩的特点矩形截面是矩形截面形状固有的性质定义：——截面形状系数显然：矩形截面的形状系数=1.5它表达了按塑性极限弯矩设计与弹性极限弯矩设计时梁截面的强度比。形状系数仅与截面形状相关。第11页，共34页，2023年，2月20日，星期三①弹塑性状态弹塑性弯矩弹性核的高度he弹性区：塑性区：弹性极限状态塑性极限状态（3）梁弹塑性状态分析第12页，共34页，2023年，2月20日，星期三得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系该公式的用途之一：已知梁截面上的弹塑性弯矩数据——可直接确定截面上的弹性区与塑性区的交线，进而求得截面上的应力分布得弹性核高度与弹塑性弯矩间的关系第13页，共34页，2023年，2月20日，星期三②梁的曲率与弯矩的关系梁进入到弹塑性状态时，梁在弹性状态下，梁的曲率与弯矩具有下面的关系：不成立①利用平断面假定②弹性核内虎克定律仍然成立：③在h=he高度上的曲率就是弹塑性梁在该点的曲率如何求解此时的曲率？第14页，共34页，2023年，2月20日，星期三弹塑性状态梁曲率已知弹性极限状态下梁曲率：弹塑性状态梁曲率与弹性极限状态下梁曲率的比：得出梁在弹塑性状态下曲率与弯矩的关系：利用以上公式已知弹塑性梁截面的弯矩就可确定梁在该截面的弯曲曲率第15页，共34页，2023年，2月20日，星期三4、2、理想弹塑性材料非矩形断面在各种阶段中性层求解具有一个对称轴截面求解的基本思想截面上力的平衡条件设y轴位于中性层：第16页，共34页，2023年，2月20日，星期三例题1）等腰三角形截面截面中性层位置求解顶部、底部以及全部达到屈服时中心轴y距底边的高度（1）顶部达到屈服应力思路：①找出应力沿高度分布

②利用截面上力的平衡条件应力沿高度分布——应变沿高度的分布——平断面假定条件弹性区域——虎克定律成立得应变沿高度的分布：若设y轴位于中性层：静矩=0若取y轴0点在底边有：第17页，共34页，2023年，2月20日，星期三（2）底部达到屈服应力思路：①找出应力沿高度分布

②利用截面上力的平衡条件同样有公式：若设y轴在中性层上分成两个区域：若设y轴底边为0有：第18页，共34页，2023年，2月20日，星期三（2）全部达到屈服应力第19页，共34页，2023年，2月20日，星期三线性强化材料：线性强化材料的应力应变曲线：第20页，共34页，2023年，2月20日，星期三矩形截面在理想弹塑性状态梁弹性核与弯矩的关系3、理想弹性材料矩形截面梁塑性区的判断当梁的弯矩分布已知时，可通过上式求出核高沿杆件的分布第21页，共34页，2023年，2月20日，星期三简支梁极限情况：当x=l/3时截面完全处于弹性工作状态第22页，共34页，2023年，2月20日，星期三此时截面完全处于弹性工作状态第23页，共34页，2023年，2月20日，星期三求解基本思想：4、矩形截面弹塑性梁的挠度位移求解需要找到理想弹塑性状态梁曲率v”与弯矩的关系①找到梁上完全弹性区与弹塑性区的分界点弯曲分布已知时，可直接通过判断在弹性区：成立②根据M分布——求解完全弹性区内挠度③根据M分布——求解弹塑性区内挠度④根据弹塑性区与完全弹性区焦点上变形连续条件求得待定参数第24页，共34页，2023年，2月20日，星期三得弹塑性区挠度函数：弹塑性区：思路：A）利用在弹塑性区域弹性核高与弯曲分布的关系B）弹性核高位置应力已知得到曲率与弯曲分布的关系得：第25页，共34页，2023年，2月20日，星期三Ph例题1求梁端点挠度值：弹性区——弹塑性区——极限状态下：悬臂梁固定端达到塑性极限弯曲最大挠度位移第26页，共34页，2023年，2月20日，星期三求梁端点挠度值：弹性区——弹塑性区——积分后得：固定端边界条件：第27页，共34页，2023年，2月20日，星期三弹性区——此时为极限状态有：矩形截面：边界条件：第28页，共34页，2023年，2月20日，星期三X=0时：时：第29页，共34页，2023年，2月20日，星期三例题1的知识沿深题，求解固定端弯曲小于极限塑性弯曲状态时挠度变形求解。可能情况两种：①梁处于完全弹性状态弯曲分布图②梁固定端弯矩设：或解：①当P<Pe时，梁处于完全弹性阶段：第30页，共34页，2023年，2月20日，星期三②当P>Pe时，梁部分截面进入弹塑性阶段。求解问题的思路：#找出分界点xe：其他均相同第31页，共34页，2023年，2月20日，星期三（3）卸载——残余应力设卸载增加到P*值Pe<P*<Pu后卸载假想载荷：ΔP=载荷变化值，作用于梁自由端ΔP=P*完全卸载梁的弹性区间：x>0.3l应力退为0；梁的弹塑性区间x<0.3l存在残余应力：第32页，共34页，2023年，2月20日，星期三5、卸载——残余应力和残余曲率弯矩增加到后卸载，计算残余应力与残余梁的曲率的思路