高考数学二轮复习专题立体几何理

高考数学二轮复习专题立体几何理第1页/共105页09目录微专题09

三视图、表面积与体积计算10微专题10

平行与垂直的证明11微专题11

空间向量在立体几何中的应用第2页/共105页W网络构建WANGLUOGOUJIAN点击▼出答案第3页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE一、空间几何体1.画三视图的基本要求是什么?画三视图有哪些注意点?返正(主)视图、俯视图“长对正”,正(主)视图、侧(左)视图“高平齐”,俯视图、侧(左)视图“宽相等”.画三视图时,能看见的线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示,同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同。第4页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE2.斜二测画法的特点(或规则)是什么?返(口诀)坐标两轴各相关,夹角直角增减半;平行关系皆不变,长度只有纵减半.第5页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE3.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积公式怎样计算?返

第6页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE二、点、直线、平面之间的位置关系1.公理1、2、3、4的作用分别是什么?公理1是判断直线在平面内的依据;公理2是确定平面的条件;公理3是判断三点共线的依据;公理4可判断或证明线线平行.返第7页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE2.直线、平面平行的判定定理与性质定理是什么?(1)直线与平面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α.(2)平面与平面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.(3)直线与平面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.(4)平面与平面平行的性质定理:β∥α,α∩γ=a,γ∩β=b⇒a∥b.返第8页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE3.直线、平面垂直的判定定理与性质定理是什么?

(1)直线与平面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α.(2)平面与平面垂直的判定定理:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.(3)直线与平面垂直的性质定理:m⊥α,n⊥α⇒m∥n.(4)平面与平面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.返第9页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE4.求直线与平面所成角的基本思想和方法是什么?求线面角,一般先定斜足,再作垂线找射影,最后通过解直角三角形求解,即“作(作出线面角)—证(证所作角为所求角)—求(在直角三角形中求解线面角)”.返第10页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE5.求二面角的基本思想和方法是什么?作出二面角的平面角,主要有三种作法:定义法,垂面法,垂线法.返第11页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE6.求空间中的点面距离的基本思想和方法是什么?

求点面距离主要有以下几种方法:(1)先求作该点到平面的垂线段,再找垂线段所在的三角形,最后解直角三角形求出垂线段的长度.(2)当该点的垂线段不容易找时,可以将该点转化为其他点到相应平面的距离,如当直线与平面平行时,该直线上任一点到平面的距离相等.(3)先求出该几何体的体积和底面积,也就可以求出高,即点到平面的距离.返第12页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE

三、空间直角坐标系与空间向量1.空间向量的基本定理是什么?如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.返第13页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE2.空间直角坐标系的定义是什么?点的坐标如何表示?

利用交于一点的三条互相垂直的直线在空间中建立的坐标系,即空间直角坐标系;设M(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.返第14页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE3.空间两点间的距离公式是什么?

返第15页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE4.直线的方向向量的定义是什么?如何求平面的法向量?

返第16页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE四、立体几何中的向量方法1.如何求两条异面直线所成角的余弦值?

返第17页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE2.如何求直线与平面所成角的正弦值?

返第18页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE3.如何求二面角的余弦值?

返第19页/共105页Z知识整合ZHISHIZHENGHE4.如何求空间一点到平面的距离?

返第20页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

立体几何是高中数学的重要组成部分,是高考考查考生空间感、图形感、语言转换能力、几何直观想象能力、逻辑推理能力的主要载体.近几年全国高考分值一般在22~27分,题型有选择题、填空题和解答题.高考命题既重基础、注意“知识的重新组合”,又采用“小题目综合化,大题分步设问”的命题思路,不断实现探究与创新.

一、选择题和填空题的命题特点(一)通过三视图及其应用考查学生空间想象能力及其他数学素养.由几何体的三视图得到几何体的直观图,考查表面积、体积、最短路径等,难度中等居多.命题特点第21页/共105页

D答案解析K考向分析KAOXIANGFENXI

第22页/共105页B答案解析K考向分析KAOXIANGFENXI

第23页/共105页解析K考向分析KAOXIANGFENXI(二)通过点、线、面的位置关系,考查对相关定义及定理的理解、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、线面角、线线角,等等.

答案A第24页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

第25页/共105页解析K考向分析KAOXIANGFENXI

答案D第26页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

第27页/共105页解析K考向分析KAOXIANGFENXI(三)与球有关的组合体问题,考查学生的综合应用能力,难度较大.答案B

第28页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

第29页/共105页

A答案解析K考向分析KAOXIANGFENXI6.(2017·全国Ⅲ卷·理T8改编)已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,若一个长方体的上、下底面内接于该圆柱的上、下底面上,则该长方体的体积最大值为(

).A.12 B.6 C.3 D.24第30页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

二、解答题的命题特点

以多面体或旋转体为载体,第(1)问主要是证明线线、线面以及面面的平行与垂直等位置关系,第(2)问主要是计算空间角的余弦值或正弦值,通常通过构建空间直角坐标系,利用向量法进行计算,同时要注意翻折问题、探索性问题和存在性问题的研究和模型构建.第31页/共105页解析K考向分析KAOXIANGFENXI

第32页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

第33页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

第34页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

第35页/共105页解析K考向分析KAOXIANGFENXI

第36页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

(2)存在,当点P是AM的中点时,满足题意.理由:若平面PON∥平面BCM,∵平面ACM∩平面CBM=CM,平面ACM∩平面PON=PO,由面面平行的性质定理知CM∥PO.又O为AC的中点,∴P为AM的中点.第37页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI

第38页/共105页K考向分析KAOXIANGFENXI规律方法

解答立体几何题目的方法:(1)求角的问题时,注意紧扣定义,将空间角(异面直线所成的角、线面角)转化为平面上两相交直线所成的角来处理.求角先找角,再在三角形中去解决,异面直线所成的角、线面角应取锐角.(2)在求距离时,可放在三角形中去计算,若是垂线难作出,可用等积法求解.(3)在求体积时,要从多方位、多角度看问题,要注意“公式法”“换底法”“割补法”的应用.“等体积法”可以用来求点到面的距离、多面体内切球的半径等.(4)“向量法”的使用,要注意基向量的选择或坐标系的正确建立等,还要强化计算能力.第39页/共105页

J基础检测JICHUJIANCE微专题09

三视图、表面积与体积计算返

B答案解析

第40页/共105页

J基础检测JICHUJIANCE2答案解析2.一个简单几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是边长为2的等边三角形,则该几何体的体积等于

.

第41页/共105页

J基础检测JICHUJIANCEC答案解析3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)解析▶

由三视图可知,该几何体由一个正方体截去两个半圆柱而形成,则该几何体的表面积为2×2×4-π×12×2+π×1×2×2=16+2π,故选C.A.8+2π B.16+4πC.16+2π D.8+4π第42页/共105页

J基础检测JICHUJIANCE2600π答案解析4.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40cm,母线最长为80cm,最短为50cm,则斜截圆柱的侧面积S=

cm2.

第43页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU能力1能正确绘制几何体的三视图A典型例题答案解析

【例1】

已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,将该三棱柱截去三个角(如图(1)所示,A,B,C分别是△HIG三边的中点)后得到的几何体如图(2),则该几何体沿图(2)所示方向的侧(左)视图为(

).(1)(2)第44页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU方法归纳

本题主要考查空间想象力和投影知识,借助直三棱柱,即可画出侧(左)视图.

解析▶

因为平面DEHG⊥平面EFD,所以几何体的侧(左)视图为直角梯形,直角腰在侧(左)视图的左侧,故选A.第45页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIUB变式训练答案解析

将长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个直三棱柱,两个三棱锥(如图(1)所示)后得到的几何体如图(2),该几何体沿图(2)所示方向的侧(左)视图为(

).解析▶

侧(左)视图轮廓为长方形,故选B.(1)(2)第46页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU能力2会通过三视图还原几何体B典型例题答案解析【例2】

某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积V=(

).

第47页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

方法归纳

本题主要考查空间想象能力和体积公式.先还原出空间几何体,再利用V=V柱-V锥求体积.第48页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIUC变式训练答案解析

如图,网格纸上正方形小格的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图,则围成该几何体的所有面中的最大面的面积为(

).

第49页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

第50页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU能力3会计算几何体的表面积典型例题解析

【例3】

如图所示的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为(

).A.24π B.36πC.40π D.400π答案C第51页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

第52页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

涉及球与棱柱、棱锥的切和接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.方法归纳第53页/共105页

K考能探究

KAONENGTANJIU变式训练解析某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

).A.14π+24

B.12π+32C.12π+24 D.14π+32B答案第54页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU会计算几何体的体积能力4典型例题解析

A答案第55页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

方法归纳先还原出几何体,并抓住几何体特征,再利用体积公式求解.第56页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

变式训练答案解析已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为

.

第57页/共105页

J基础检测JICHUJIANCE微专题10

平行与垂直的证明返

B答案解析1.下列条件中,能判断平面α∥β的是(

).①存在一条直线a,a⊂α,a∥β;②存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;③α内存在不共线的三点到β的距离相等;④l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.

A.②③ B.②④C.②③④ D.①③④解析▶

①③中两平面可能相交,故选B.第58页/共105页

J基础检测JICHUJIANCEC答案解析2.给出下列四个命题,其中假命题的个数是(

).①垂直于同一条直线的两条直线平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;③如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直;④两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线,此直线必垂直于另一个平面.A.1 B.2 C.3 D.4解析▶

①错,可以相交;②错,可以相交、平行;③正确;④错,直线在平面内才垂直,否则不垂直.故选C.第59页/共105页

J基础检测JICHUJIANCEB答案解析3.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是(

).A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n解析▶

若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n相交、平行或异面,故A错误;∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又∵n∥β,∴α⊥β,故B正确;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α与β相交,故C错误;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m与n异面,故D错误.故选B.第60页/共105页

J基础检测JICHUJIANCE4答案解析4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1成60°的面对角线共有

条.

解析▶

与AD1异面的面对角线有A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,共5条,其中与B1C成90°,其余成60°.第61页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU能力1能准确判断点、线、面的位置关系典型例题解析【例1】

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证:BN∥平面A1MC.(2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C.第62页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU解析▶

(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1.又点M,N分别是AB,A1B1的中点,所以MB=A1N,且MB∥A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形,从而BN∥A1M,又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA=CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M,A1M,MC⊂平面A1MC,且A1M∩MC=M,所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC,所以AB1⊥A1C.第63页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU方法归纳

正确运用平面的基本性质,线线、线面平行或垂直等性质定理和判定定理进行判断.变式训练解析

如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上(不与A,B重合),PA⊥平面ABC,点E,F分别为线段PC,PB的中点.G为线段PA上(除点P外)的一个动点.(1)求证:BC∥平面GEF.(2)求证:BC⊥GE.第64页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU解析▶

(1)因为点E,F分别为线段PC,PB的中点,所以EF∥CB,又EF⊂平面GEF,点G不与点P重合,CB⊄平面GEF,所以BC∥平面GEF.(2)因为PA⊥平面ABC,CB⊂平面ABC,所以BC⊥PA.又因为AB是☉O的直径,所以BC⊥AC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,且GE⊂平面PAC,所以BC⊥GE.第65页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU能力2能正确应用线线、线面平行与垂直的性质定理及判定定理解题典型例题解析

【例2】

如图,在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,CD=2,AD=AB=1,四边形BDEF为正方形,且平面BDEF⊥平面ABCD.(1)求证:DF⊥CE.(2)若AC与BD相交于点O,则在棱AE上是否存在点G,使得平面OBG∥平面EFC?并说明理由.第66页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

第67页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

方法归纳

高考中立体几何部分不断出现了一些具有探索性、开放性的试题,对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法等方法来解决.第68页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU变式训练解析

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD.(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

第69页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

第70页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU能力3能求解线面平行与垂直的综合问题典型例题解析

第71页/共105页K考能探究

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第72页/共105页K考能探究

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第73页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

第74页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU方法归纳

求异面直线所成角,直线与平面所成角以及二面角的问题,可先作出该角,再证明所作角为所求的角,最后转化在三角形内求解.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两相交直线垂直法向量且数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)求出相应角的正弦值或余弦值和距离.第75页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU变式训练解析

如图,已知在矩形ABCD中,AB=2AD=2,M是DC的中点,以AM为折痕,使得DC=DB.(1)求AD与BM所成的角;(2)当N为BD的中点时,求AN与平面ABCM所成角的正弦值.第76页/共105页K考能探究

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第77页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

第78页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU能力4能求解线面平行与垂直的综合问题典型例题解析

第79页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU解析▶

(1)取CE的中点M,连接BM,MF,利用三角形的中位线,得MF∥AB,MF=AB,即四边形ABMF为平行四边形,∴MB∥AF.∵BM⊂平面BCE,AF⊄平面BCE,∴AF∥平面BCE.

第80页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

方法归纳

立体几何中往往涉及垂直关系、平行关系、距离、体积的计算.在计算问题中,常用“几何法”.利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,熟悉空间中点线、面的位置关系及判定方法,掌握体积、距离的求法,灵活使用面面垂直、线面垂直等性质定理.第81页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU变式训练解析

第82页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU解析▶

(1)∵AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点,∴四边形ABFD为矩形,AB⊥BF.∵DE=EC,∴DC⊥EF,又AB∥CD,∴AB⊥EF.∵BF∩EF=F,∴AB⊥平面BEF,又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面BEF.

第83页/共105页

J基础检测JICHUJIANCE微专题11

空间向量在立体几何中的应用返

90°答案解析1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,BB1的中点,则异面直线A1M与AN所成角的大小为

.

第84页/共105页

J基础检测JICHUJIANCE3答案解析

第85页/共105页

J基础检测JICHUJIANCE

答案解析

第86页/共105页

J基础检测JICHUJIANCE

答案解析4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是BD1的中点,M是侧面ADD1A1上一点,若OM⊥AA1且OM⊥BD1,则点M的坐标为

.

第87页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU能力1利用空间向量法求空间角典型例题解析

解析▶

(1)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC.又∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD.∵DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE.第88页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

第89页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU

方法归纳

利用“向量法”求解空间角时,要注意基向量的选择或坐标系的正确建立等.求线面角时,先求出平面的法向量,再求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角,最后得出线面角.求二面角时,先求出二面角中两个平面的法向量,再求出法向量的夹角,最后求出二面角.第90页/共105页K考能探究

KAONENGTANJIU变式训练解析

如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1.(2)求直线B1C1