高等数学 上学习

高等数学上学习第1页/共92页导数的概念求导法则和基本求导公式函数的微分隐函数和由参数方程所确定函数的导数高阶导数主要内容高等数学（上）高职高专ppt课件第2页/共92页一、两个实例

1．变速直线运动的瞬时速度

自由落体运动:

第一节

导数的概念

第二步：

求

第三步：

求第一步：求高等数学（上）高职高专ppt课件第3页/共92页

在曲线上任取不同于M0点的一点M，作割线M0M.当点M沿着曲线移动并趋于M0点时，割线就以点M0为轴转动，割线M0M的极限位置M0T就叫做曲线在点M0处的切线，点M0叫做切点。

曲线切线的定义高等数学（上）高职高专ppt课件第4页/共92页第一步：求

第二步：求第三步：求切线斜率的求法高等数学（上）高职高专ppt课件第5页/共92页

二、导数的定义

设函数在点及其近旁有定义，当自变量有增量时，函数有相应的增量当时，若的极限存在，则极限值就称为函数在点的导数，并称函数在点导数），记为 ，即也可记为或.可导（或有=或高等数学（上）高职高专ppt课件第6页/共92页

解（1）求函数改变量 （2）求（3）当时，求的极限：所以，0例1求在点处的导数高等数学（上）高职高专ppt课件第7页/共92页注意:是函数（1）在区间或上的平均变化率；而则是函数在点的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度.（2）如果极限不存在，则称在点不可导；如果不可导的原因是当时所引起的，则称函数在点的导数为无穷大.高等数学（上）高职高专ppt课件第8页/共92页三、函数的可导性与连续性的关系

定理

注意：一个函数在某点连续，

但在该点函数不一定可导.

如果函数在点处可导,则它一定在点处连续.高等数学（上）高职高专ppt课件第9页/共92页四、函数在区间内可导的概念

如果函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导.这时，对于区间内的每一个确定的值，都有唯一的导数值 与之对应，即所以也是的函数，称作在 导函数，记作或内的,.,说明在点的导数值就是导函数在点的函数值，即：第10页/共92页例2

=解：所以：导函数也简称导数.

求一个函数的导数运算称为微分法.说明第11页/共92页五、求导数举例

例3求常值函数的导数.解：所以也就是说，常数的导数等于零，即第12页/共92页例4求幂函数的导数.(过程略)幂函数求导举例第13页/共92页例5求正弦函数的导数.解(1)计算函数增量(2)算比值（3）取极限由此可得同理第14页/共92页例6求对数函数 的导数.解由此得到

特别地第15页/共92页例7求指数函数 的导数.解利用极限，得由此得到第16页/共92页六、左导数和右导数

左导数：右导数：结论：第17页/共92页解：例第18页/共92页七、导数的物理意义与几何意义

曲线在某点处的切线斜率变速直线运动的瞬时速度几何意义物理意义曲线在点则曲线在点 处的切线方程为：法线方程为的切线斜率第19页/共92页解：所以，该物体在任意时刻的速度在时的瞬时速度为第20页/共92页解是曲线上任意点处的切线斜率（1）在点处，因为

，所以切线斜率为根据直线方程的点斜式，得整理得切线方程为法线方程为整理得k=第21页/共92页第二节求导法则和基本求导公式

设1.2.3.一、函数四则运算的求导法则

都是

的可导函数，则推论第22页/共92页例1求下列函数的导数：

（1）（2）（3）（4）(1)解第23页/共92页(3)(4)(2)第24页/共92页例2

设，求。解：所以第25页/共92页例3求下列函数的导数

因此因此解（1）第26页/共92页

在求导时先对函数变形再求导，有时可简化运算过程.

第27页/共92页例5：求曲线在点处的切线方程和法线方程。于是曲线在点的切线方程是即曲线在点的法线方程是即第28页/共92页二、复合函数求导法则

引例:注意：而是的复合函数。不是基本初等函数，分析?第29页/共92页复合函数求导法则:

如果函数在点处可导，函数

点

处也可导，则复合函数

在点

可

也可写成或在对应导，且注:复合函数求导法又称为链锁法则，它可以推广到多个函数复合的情形.

第30页/共92页例1利用复合函数求导法则求下列函数的导数.

解

（1）函数由复合而成（2）（3）注:复合函数的复合层次多于两层时，其计算方法完全一样，只需逐层求导即可。第31页/共92页例2求下列函数的导数

（1）

函数由与复合而成解：所以（2）设，则第32页/共92页

例3

求

的导数.解

例4求下列函数的导数

(1)(2)(3)第33页/共92页解

（1）有理化分母然后求导数，得（2）先用对数性质展开，得

然后求导数，得第34页/共92页（3）先化简，得然后求导数，得第35页/共92页1．基本初等函数的导数公式(见教材)

三、求导公式与求导法则汇总

2．函数四则运算的求导法则

（C为常数）. （C为常数）.(1)(2)(3)(4)(5)第36页/共92页3．复合函数求导法则

设则复合函数

的导数为：或写成或,.第37页/共92页例1求下列函数的导数

(1)(2)(3)(4)(5)第38页/共92页解(1)(2)（3）第39页/共92页（4）（5）第40页/共92页

第三节函数的微分一、微分的概念

图2-4

0x

第41页/共92页若用

表示薄板的面积，

表示边长，则

.于是面积的改变量为从上式可以看出，由两项构成，和是次要部分.于是，当我们把忽略不记时，就是的近似值，即分析第42页/共92页上式中

的系数

，就是函数

在点的导数

这就是说，函数的自变量在点的改变量时，函数的改变量约等于其在点的导数与 的乘积.于是上式又可表示为.有微小分析第43页/共92页设函数在点处可导，即 根据函数极限与无穷小的关系，有其中，由此得这表明，函数的改变量是由和两项所组成.，第44页/共92页当时，由知：是 的同阶无穷小，是较 高阶的无穷小.第45页/共92页由此可见，当时，在函数的改变量中，起主要作用的是，它与的差是一个较高阶的无穷小.因此，是的主要部分；又因为是的线性函数，所以通常称为 的线性主要部分（简称线性主部）第46页/共92页定义

设函数在点处可导，则称为函数在点的微分记号：或此时称函数在点可微.如果函数在区间内每一点可微，则称函数在区间内可微.函数在任一点的微分，叫做函数的微分，一般或第47页/共92页特别地，即

因此函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.因 此，导数又称微商.第48页/共92页解函数的微分当时的微分

函数的增量为结论:第49页/共92页例2求下列函数的微分

1.2.解：1.2.第50页/共92页二、微分的几何意义

第51页/共92页由图2-5可知：如图2-5所示，过曲线上一点作曲线.当自变量在处取得改变量时，我们得到曲线上另一点的切线，切线的斜率第52页/共92页结论:函数在点的微分

，等于曲线在点的切线上点的纵坐标对应于 的改变量. 这就是微分的几何意义.第53页/共92页1．微分的基本公式

三、微分的基本公式与运算法则

第54页/共92页第55页/共92页２．微分的四则运算法则

1).2).3).4).5).第56页/共92页四微分形式不变性

是自变量时，函数如果则的微分为:因为,所以有结论：不论是自变量还是中间变量，函数的微分总保持同一形式.微分形式不变性第57页/共92页例1用两种方法求下列函数的微分：

(1)(2)(3)第58页/共92页解法1根据微分的定义

(1)(2)(3)第59页/共92页解法2根据微分的基本法则和微分形式不变性

(1)(2)(3)第60页/共92页解：（1）因为所以 (C为任意常数).（2）同理（3）同理第61页/共92页例2在下列括号内填入适当的函数,使等式成立.

(1)(2)(3)第62页/共92页解（1）因为所以 (C为任意常数).（2）同理（3）同理第63页/共92页五、微分在近似计算中的应用

当很小时，亦即 将上式移项得此式常用来计算函数在点 附近的函数值的近似值.(2)(1)第64页/共92页例1半径为10的球充气后半径增加了0.02,求球

的体积大约增加了多少?

解设球的体积为，半径为，则由已知，设球的体积的增加量为因为很小，所以可以用微分来近似代替而于是即球的体积大约增加了,..第65页/共92页例2计算的近似值 解由于所求的是余弦函数值,故选取函数于是因为所以取 (此时

很小),代入上式得即第66页/共92页在公式（2）中,当

时,得（3）当很小时，可用公式（3）求函数在附近函数值的近似值.第67页/共92页当 很小时，可得工程上常用的近似公式(1)(6)(5)(3)(4)(2)第68页/共92页一隐函数及其求导法

第四节隐函数和由参数方程

所确定函数的导数

形如

的函数，叫做显函数,如：由方程所确定的与叫做隐函数.例如圆的方程以及等等因变量与自变量的关系是由一个的方程所确定的.之间的函数关系含有第69页/共92页显函数有时很容易化成隐函数.（1）在给定的方程两边分别对

求导数，遇到

（2）从（1）所得式中解出

（或

）即可.隐函数求导方法:

时看成

的函数，

的函数看成

的复合函数；第70页/共92页例1

求由方程

所确定的函数

的导数.

解：将方程两边对

求导数，得所以说明：将此函数化为显函数再求导，可得同样结果.第71页/共92页例2求由下列方程所确定的函数的导数：

(1)(2)解：(1)方程两边对

求导数，得解

出，得

（2）方程两边对

求导数，得解得第72页/共92页

例3求圆

在点

的切线方程.解方程两边对

求导数，得解

出，得把点的坐标代入，得切线的斜率由直线方程的点斜式，得整理得切线方程为第73页/共92页含多次积、商、幂的函数对数求导法例4求下列函数的导数：

(1)(2)形如的函数第74页/共92页 解：（1）此函数是幂指函数，两边取自然对数解出

，即得所给函数的导数为:化为隐函数，得:上式两边对求导数，得第75页/共92页（2）两边取对数并根据对数的运算法则，得

上式两边对求导数，得解出

，即得原函数的导数为:第76页/共92页二、由参数方程所确定的函数的导数

一般地，参数方程可以确定与 函数关系.这种关系，有时可以用显函数表示出来.例如消去参数可得（称为普通方程），由此可求出之间的，第77页/共92页根据导数又称微商这一结论，在中同除以，得：即这就是参数方程所确定的与 方法，其结果一般仍为关于参数的解析式.的分子和分母之间的函数的求导但对于有些参数方程，它所确定的关于的函数关系，很难化为普通方程.第78页/共92页例1已知参数方程，求解根据参数方程的求导公式因为所以第79页/共92页解:因为所以，所求切线的斜率为将代入所给参数方程中，得切点所以，切线的方程为整理得第80页/共92页解因为所以于是所求切线的斜率为第81页/共92页一、

高阶导数的概念

第五节高阶导数

一般地，函数的导数仍然是的函数，如果是可导函数，则可以继续