第四章 椭球面上几种曲率半径

第四章椭球面上几种曲率半径第1页，共24页，2023年，2月20日，星期三1、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴a；短半轴ｂ；扁率α；第一偏心率e；第二偏心率e′？2、旋转椭球计算中常引入以下符号：c、t、η、W、V3、经线、纬线、法线的特性4、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系子午面直角坐标系(L,x,y)地心纬度坐标系（L，Φ，ρ）归化纬度坐标系（L，u）大地极坐标系（S，A）大地坐标系（L，B）上一讲应掌握的内容公式写在黑板上第2页，共24页，2023年，2月20日，星期三上一讲应掌握的内容5、各坐标系间的关系子午平面坐标系与大地坐标系的关系(L，x，y)(L，B)空间直角坐标与子午面平面坐标系的关系

(X，Y，Z)(L，x，y)空间直角坐标系与大地坐标系的关系(X，Y，Z)(L，B)第3页，共24页，2023年，2月20日，星期三上一讲应掌握的内容5、各坐标系间的关系空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系(X，Y，Z)(L，u)空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系(X，Y，Z)（L，Φ，ρ）大地极坐标系同大地坐标系的关系(S，A)(L，B)大地主题解算第4页，共24页，2023年，2月20日，星期三上一讲应掌握的内容在赤道圈上：

B=u=φ=0在两极处:

B=u=φ=90°在其他处:

∣B∣＞∣u∣＞∣φ∣uBφ大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45°时（六）B、u、φ之间的关系第5页，共24页，2023年，2月20日，星期三过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线。有无数个法截面或法截线。两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。对应有：子午线（圈）曲率半径，

卯酉线（圈）曲率半径曲线的曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度量的。曲线上任一点的曲率的倒数称为曲率半径。

曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高一、椭球面上法截线有关概念第6页，共24页，2023年，2月20日，星期三二、子午圈（线）曲率半径推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率，曲率的倒数是曲率半径。或：第7页，共24页，2023年，2月20日，星期三子午线曲率半径（另一种推导）第8页，共24页，2023年，2月20日，星期三子午圈曲率半径随纬度变化情况第9页，共24页，2023年，2月20日，星期三卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。三、卯酉圈（线）曲率半径第10页，共24页，2023年，2月20日，星期三卯酉线（圈）曲率半径推导思路第11页，共24页，2023年，2月20日，星期三卯酉圈曲率半径的特点:

卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。

卯酉线（圈）曲率半径随纬度变化情况第12页，共24页，2023年，2月20日，星期三大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由微分几何的尤拉公式得：四、任意法截弧的曲率半径子午线卯酉线T（北）APQD（东）第13页，共24页，2023年，2月20日，星期三

ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ当Ａ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。任意法截弧的曲率半径的变化规律第14页，共24页，2023年，2月20日，星期三五、平均曲率半径只要取A自0至90°范围内的RA的平均值即可：椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。

第15页，共24页，2023年，2月20日，星期三六、椭球面上几种曲率半径的关系为了便于记忆，N、R、M的公式可表示成有规律的形式第16页，共24页，2023年，2月20日，星期三椭球面上几种曲率半径第17页，共24页，2023年，2月20日，星期三以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。

六、主曲率半径的计算公式不同的椭球元素对应不同的系数第18页，共24页，2023年，2月20日，星期三主曲率半径的计算公式系数第19页，共24页，2023年，2月20日，星期三主曲率半径的计算公式（续）亦可按：展开。则得：第20页，共24页，2023年，2月20日，星期三主曲率半径的计算公式系数（续）第21页，共24页，2023年，2月20日，星期三结束谢谢!第22页，共24页，2023年，2月20日，星期三经线、纬线、法线的特性BM经线与纬线互相垂直除赤道、两极上的法线外，法线不通过椭球中心纬度较高的点，其法线与旋转轴的交点就较低同