第四章不定积分

第四章不定积分第1页，共54页，2023年，2月20日，星期三注2：不定积分的结果必须包含一个任意常数C.3.不定积分的几何意义：表示一簇积分曲线，每条曲线在其横坐标相同的点处的切线互相平行。0xy已知曲线的切线斜率求曲线方程就是对斜率求不定积分。第2页，共54页，2023年，2月20日，星期三4.不定积分的性质（1）求不定积分与求导数或微分互为逆运算1234思考：第3页，共54页，2023年，2月20日，星期三(2)不为零的常数因子可提到积分号外（3）和的积分等于积分的和第4页，共54页，2023年，2月20日，星期三5.基本积分公式表第5页，共54页，2023年，2月20日，星期三第6页，共54页，2023年，2月20日，星期三第7页，共54页，2023年，2月20日，星期三6.不定积分中的常用变换与技巧（1）分解、折项、同除同乘；（2）三角变换：倍角、半角、积化和差、第8页，共54页，2023年，2月20日，星期三被积函数中存在复合关系先换元再说.被积函数中含抽象函数时，设法求的表达式.第9页，共54页，2023年，2月20日，星期三对三角函数的积分，化为同角同名.被积函数中含有导数的积分—分部积分被积函数中出现二、基本问题及解法问题(一)与原函数有关的命题运算依据:原函数的定义、不定积分的定义、不定积分与微分的关系。第10页，共54页，2023年，2月20日，星期三运算方法：（1）在单项选择题中求不定积分，选择具有任意常数C的备选答案求导，若其值等于被积函数，则此备选答案为所求；（2）已知不定积分的结果求被积函数，则对不定积分的结果求导第11页，共54页，2023年，2月20日，星期三分析：由而故选(B)第12页，共54页，2023年，2月20日，星期三例4.则分析：第13页，共54页，2023年，2月20日，星期三问题(二)：不定积分的计算计算不定积分，通常要对被积函数进行适当的变换，如代数变换（根式变换、指数对数变换、倒代换、分解折项，同乘、同除等）以及三角换、反三角变换，将积分化为常规型。1.直接积分法:有些积分可直接用不定积分的性质和基本积分公式求之;或者进行代数、三角的恒等变换（因式分解、折项、添项、和角、倍角公式）化为简单函数和的积分。第14页，共54页，2023年，2月20日，星期三第15页，共54页，2023年，2月20日，星期三2.第一换元法(凑微分法)凑微分法是当被积函数为复合函数时，将积分变量x的微分dx凑成的形式再用公式。第16页，共54页，2023年，2月20日，星期三第17页，共54页，2023年，2月20日，星期三第18页，共54页，2023年，2月20日，星期三第19页，共54页，2023年，2月20日，星期三第20页，共54页，2023年，2月20日，星期三例2.求列不定积分第21页，共54页，2023年，2月20日，星期三3.第二换元法——结果要求变量回代类型特点（1）被积函数中含有根式、且又不便直接积分;（2）被积函数含指数、对数、三角、反三角函数、且又不便用其他方法积分.第22页，共54页，2023年，2月20日，星期三（2）三角换元——变量回代用直角三角形Ⅰ第23页，共54页，2023年，2月20日，星期三ⅡⅢ第24页，共54页，2023年，2月20日，星期三例1求解令第25页，共54页，2023年，2月20日，星期三例2求解令第26页，共54页，2023年，2月20日，星期三例３求解令第27页，共54页，2023年，2月20日，星期三第28页，共54页，2023年，2月20日，星期三例5.求下列积分第29页，共54页，2023年，2月20日，星期三例6.求下列积分（指数换元）第30页，共54页，2023年，2月20日，星期三例7.求下列不定积分（三角换元）例8.求下列不定积分第31页，共54页，2023年，2月20日，星期三第32页，共54页，2023年，2月20日，星期三４.分部积分法第33页，共54页，2023年，2月20日，星期三第34页，共54页，2023年，2月20日，星期三解（一）令显然，选择不当，积分更难进行.例1求积分第35页，共54页，2023年，2月20日，星期三解（再次使用分部积分法）例2求积分解（二）令第36页，共54页，2023年，2月20日，星期三例4求积分解第37页，共54页，2023年，2月20日，星期三例5求积分解注：本题也先换元后分部积分.第38页，共54页，2023年，2月20日，星期三例6解第39页，共54页，2023年，2月20日，星期三例7求解:令,则第40页，共54页，2023年，2月20日，星期三5.其它积分第41页，共54页，2023年，2月20日，星期三第42页，共54页，2023年，2月20日，星期三第43页，共54页，2023年，2月20日，星期三4).抽象函数的积分运算方法:换元积分法、分部积分法。解第44页，共54页，2023年，2月20日，星期三两边同时对求导,得第45页，共54页，2023年，2月20日，星期三问题(三)不定积分的应用第46页，共54页，2023年，2月20日，星期三第47页，共54页，2023年，2月20日，星期三第48页，共54页，2023年，2月20日，星期三第49页，共54页，2023年，2月20日，星期三第50页，共54页，2023年，2月2