第十五章 机械波

第十五章机械波第1页，共76页，2023年，2月20日，星期四第一节机械波的产生和传播一、机械波产生的条件1、存在波源2、存在弹性介质二、机械波的传播1、各个质点的振动振幅、角频率和波源相同；2、同一时刻，在波的传播方向上，各个质点振动的相位依次落后。或不同时刻，同一相位是由近到远向前推进。谐波传播的两个基本特点：波的传播实质上是相位的传播。第2页，共76页，2023年，2月20日，星期四第3页，共76页，2023年，2月20日，星期四····t=T/4·····················t=T/2································t=3T/4·······················t=T····················y0=Acos(wt-/2)问：振动的速度和波速是一样的吗？可见每一个质点只在平衡位置来回运动，并不随波逐流。u同一时刻，在波的传播方向上，各个质点振动的相位依次落后。或不同时刻，同一相位是由近到远向前推进。波速实质上是相位的传播速度，即相速度。

t=00361216············9·············xy第4页，共76页，2023年，2月20日，星期四三、波的分类：波有很多种分类方法，用传播方向与振动方向比较，我们可以将波分为：横波----波的传播方向与振动方向垂直；纵波----波的传播方向与振动方向平行；第5页，共76页，2023年，2月20日，星期四四、描写波的物理量1、波的周期、频率、角频率波的周期、频率、角频率与波源振动的周期、频率、角频率是一致的。他们之间的关系也相同。2、波长沿波传播方向上两个相邻同相点（相位差为2π）之间的距离，称为波长。或一个完整波的长度。第6页，共76页，2023年，2月20日，星期四横波波速：G为媒质的切变弹性模量纵波波速E为媒质的杨氏弹性模量压力波波速B为媒质的体积模量3、波速波速就是在波动过程中某一振动状态（相位）在单位时间内所传播的距离。波速完全取决于媒质的性质。第7页，共76页，2023年，2月20日，星期四五、波线、波面、波前沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波(射)线;波动媒质中相位相同的点所组成的面，叫波面;波面中最前面的那个波面称为波前，也叫波阵面。它的相位与波源的初相位相同。按波面的形状对波的分类：球面波：波面是球面；平面波：波面是平面。发散波波线总与波面垂直，且指向振动相位降落的方向。第8页，共76页，2023年，2月20日，星期四例1

频率为3000Hz的声波，以1560m/s的传播速度沿一波线传播，经过波线上的A点后，再经13cm而传至B点。求(1)B点的振动比A点落后的时间。(2)波在A、B两点振动时的相位差是多少？(3)设波源作简谐振动，振幅为1mm，求振动速度的幅值，是否与波的传播速度相等？

第9页，共76页，2023年，2月20日，星期四(2)A、B两点相差，B点比A点落后的相位差为。(3)如果振幅A=1mm，则振动速度的幅值为振动速度是交变的，其幅值为18.8m/s，远小于波动的传播速度。

第10页，共76页，2023年，2月20日，星期四第二节平面简谐波的波动方程1、平面简谐波2、波动方程3、平面简谐波的波动方程平面简谐波的特点：介质中各质点振动频率、振幅相同。波源作简谐振动，在均匀、无吸收的介质中形成的波。描写任意时刻任意质点（质元）的振动方程叫波动方程，也叫波函数。只有相位在波的传播方向上依次落后。第11页，共76页，2023年，2月20日，星期四xyuxO设已知O(x=0)处质点的振动方程为：xuABlB的振动比A在相位上落后:那么x处质点的振动方程为：沿x正方向传播的波动方程B的振动比A在时间上落后:第12页，共76页，2023年，2月20日，星期四4、波动方程的几点讨论：（1）波沿x轴负向传播时，波动方程为：（2）波动方程的其它形式：（3）当把波传播的方向作为x轴正向，且原点初相取为零，波动方程简化为：或第13页，共76页，2023年，2月20日，星期四（4）波动方程中，x取固定值则得到振动方程：（5）波动方程中，t取固定值则得到波形方程：ty0x=0的振动曲线Txyu0t=0的波形曲线λ第14页，共76页，2023年，2月20日，星期四5、振动的速度波动方程中，把x看成是定值，即振动方程：速度：加速度：第15页，共76页，2023年，2月20日，星期四例题1(15.7)、有一平面简谐波沿x方向传播，周期为T，波长为。下列几种情况写出原点的初相：(1)x=0处质点的振动曲线如图a所示；(2)波沿着x正方向传播，t=0时的波形曲线如图b；(3)波沿着x负方向传播，时的波形曲线如图c。(a)(b)(c)xy0第16页，共76页，2023年，2月20日，星期四例题2(15.9)、有一向x正方向传播的平面简谐波在t=0时的波形曲线如图，求简谐波的波长。第17页，共76页，2023年，2月20日，星期四例题3、有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅为1m,周期为2s,波长为2m。在t=0时，坐标原点处的质点位于平衡位置沿y轴正向运动。求：(1)波动方程；(2)原点处的振动方程；(3)原点处质点的速度和加速度。xyu120解：(1)按题设条件，取波动方程形式如下：根据已知条件，初相为:波动方程：第18页，共76页，2023年，2月20日，星期四(2)原点处的振动方程：(3)原点处质点的速度和加速度：第19页，共76页，2023年，2月20日，星期四解：设波动方程的形式为例4：一平面简谐波逆着x轴传播，振幅为A，周期为T，波长为，当t=t0时，x=x0处的质点的位移为零并向负方向运动，求波动方程。当t=t0时，x=x0处的质点的位移为零并向负方向运动，则：波动方程为：第20页，共76页，2023年，2月20日，星期四第三节波的能量与能流一、波的能量波的传播过程也是能量的传播过程。1、波的传播过程中，媒质质元中的能量设质元横截面积为S，质量密度为ρ，则质元质量为：质元因参与波动，动能为：xx波动方程第21页，共76页，2023年，2月20日，星期四质元的速度：由于质元有形变，所以质元中还有势能。由弹性势能公式有：弹性系数k用杨氏弹性模量来表示有：xx质元动能为：第22页，共76页，2023年，2月20日，星期四由波动方程：所以所以结论:质元在参与波动的过程中，内部的动能和势能是完全相等（同相）的。第23页，共76页，2023年，2月20日，星期四质元的总机械能为：xyu20可见：质元机械能不守恒，呈周期性变化。质元与谐振子的区别：谐振子是孤立系统，其动能和势能反相，因此总的机械能守恒；而质元不是孤立的，且其动能和势能同相，质元的机械能呈周期性变化。正是由于质元的机械能不断的在零和最大值之间变化，说明质元不断的吸收能量，又放出能量，即不断地将能量传递出去，这正是波传播能量的过程。第24页，共76页，2023年，2月20日，星期四2、能量密度：单位体积中的能量3、平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值二、能流、能流密度和波的强度1、能流的定义：单位时间内垂直穿过某一个面积的能量，叫通过该面积的能流。2、能流密度的定义：单位时间内垂直穿过单位面积的能量，叫能流密度，用I表示。第25页，共76页，2023年，2月20日，星期四简谐波的能流密度与平均能流密度：平均能流密度也称波的强度。能流密度公式的推导： l第26页，共76页，2023年，2月20日，星期四通过任意曲面的波的能流为： 波的平均能流公式：如果波的能流密度与曲面垂直且大小不变，则：对于一平面简谐波通过两个平面的平均能流分别为：第27页，共76页，2023年，2月20日，星期四若r0处的球面波的波动方程为：振幅变小了振动时间落后振动相位落后对于球面波通过球面的平均能流为：介质不吸收波的能量，通过各个球面的平均能流相等，有:则r处的波动方程为：r0第28页，共76页，2023年，2月20日，星期四子波概念平面波球面波第四节惠更斯原理波的衍射、反射和折射一、惠更斯原理在波的传播过程中，波阵面（波前）上的每一点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包迹就成为新的波前。第29页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、波的衍射波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过障碍物继续向前传播的现象。第30页，共76页，2023年，2月20日，星期四三、波的反射反射定律：入射角等于反射角，且入射线、反射线和法线在同一平面内。第31页，共76页，2023年，2月20日，星期四四、波的折射第32页，共76页，2023年，2月20日，星期四第五节波的叠加与干涉一、波的独立传播与叠加原理两列波在媒质中同一区域相遇时，他们仍然保持自己原有的特性（频率、波长、振动方向、传播方向）不变，并不会因其它波的存在而改变，这称为波传播的独立性。二、波的干涉1、什么叫相干波？在相遇的区域内任意一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动的合振动，称为波的叠加原理。两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波称为相干波。第33页，共76页，2023年，2月20日，星期四水波的干涉第34页，共76页，2023年，2月20日，星期四2、干涉的极值条件第35页，共76页，2023年，2月20日，星期四干涉的极值条件：相位差：合振幅：合振幅：合振幅：若：干涉静止点若：第36页，共76页，2023年，2月20日，星期四干涉的极值条件，用波程差表示：合振幅：合振幅：若：干涉静止点若：若两个相干源的初相相同，即：第37页，共76页，2023年，2月20日，星期四波的强度：两列波叠加后的强度：由合振动的振幅可得：如果则有：讨论：（1）当（2）当出现干涉极大点，波的强度也达到极大：出现干涉极小点，波的强度为零：第38页，共76页，2023年，2月20日，星期四例题1、在x轴上有两个波源，S1的位置在x=0处，S2的位置在x=5处，它们的振幅均为A,S1的相位比S2超前，波长为4.（1）求x<0区间的合成波的振幅；（2）求x>5区间的合成波的振幅；（3）求0<x<5区间的干涉极大和极小点的位置。解:1)求x<0区间的合成波的振幅.在P点干涉的相位差:其中:

x<0区间的合成波的振幅A=0052）求x>5区间的合成波的振幅

x>5区间的合成波的振幅A=2A第39页，共76页，2023年，2月20日，星期四（3）求0<x<5区间的干涉极大和极小点的位置其中:05干涉极大点：干涉极小点：第40页，共76页，2023年，2月20日，星期四例题2、如图所示，波源发出的波(设波长λ为已知)经过A，B两个缝后在右边区域内发生干涉。求：在ox轴上干涉加强的点所满足的条件。xxSab解在x轴上任意x处取一点来讨论，以S为计算参考点。从波源经过上缝到达x处的波程为：从波源经过下缝到达x处的波程为:干涉加强的点所满足的条件：波程差：第41页，共76页，2023年，2月20日，星期四第六节驻波第42页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、驻波现象

波腹波节特点：

（1）波腹和波节等间距排列（2）同段内各质点振动的相位相同（3）相邻段内各质点振动的相位相反（4）相位在两段间发生突变，没有相位传播第43页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、驻波的产生两列同振幅、反方向传播的相干波叠加（干涉）形成驻波第44页，共76页，2023年，2月20日，星期四三、驻波方程叠加、干涉、合成：假定x轴上两列相向而行的波，且波源初相都为零驻波方程和差化积公式：cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]第45页，共76页，2023年，2月20日，星期四相邻波节间距：驻波的特征：2、振幅是

x

的函数：1、各质点都在做同频率的简谐振动。波节位置A驻=0处为波节,即波节的位置满足：第46页，共76页，2023年，2月20日，星期四A驻=2A处为波腹，即波腹的位置满足：相邻波腹间距：波腹位置结论：相邻两腹或两节之间距为等间距排列，且而相邻的一腹一节之间距为：第47页，共76页，2023年，2月20日，星期四3、驻波的相位关系由于驻波中各点在进行同频率振动，相位差不随时间改变。考察某一时刻各点的相位差，就可以代表任一瞬时的相位差。取t=0时的状态来分析，此时，驻波方程化为：同段同相，邻段反相只有相位突变，没有相位传播第48页，共76页，2023年，2月20日，星期四4、驻波中的能量各质点的振幅同时达到最大振幅位置时：各质点的动能为零。此时，波腹附近的质元的相对形变为零，势能为零；而波节附近的相对形变最大，势能最大。所以此时驻波的能量以势能的形式集中在波节附近。各质点的振幅同时达到平衡位置时：介质形变为零，此时，势能为零。波腹处质点的速度最大，动能最大；而波节处质点的速度为零，动能为零。所以此时驻波的能量以动能的形式集中在波腹附近。驻波的能量不断地由波腹转移到波节，再由波节转移到波腹，能量来回震荡，而没有能量的定向传播。第49页，共76页，2023年，2月20日，星期四5、行波与驻波行波：每一个质点的振幅相同；随着时间的推移，波形在移动（相位在传播）；波的传播过程也是能量的传播过程。各质点的振幅不同；相位不传播；驻波的能量只在波节波腹间震荡，并不传播出去。驻波：第50页，共76页，2023年，2月20日，星期四如果反射点振动就是入射点振动，那么在反射点应形成波腹。

但弦线上形成的驻波，固定点（反射点）处必然形成的是波节。要在反射点形成波节，反射点的振动必须与入射点的振动相位相反。即在反射的时候，突然发生了的相位突变。

的相位突变相当于波程中扣除半个波长/2，所以称之为“半波损失”。四、半波损失驻波通常是通过反射来形成。

第51页，共76页，2023年，2月20日，星期四第52页，共76页，2023年，2月20日，星期四特性阻抗u：两种介质相比较，特性阻抗较大的介质称为波密介质，特性阻抗较小的介质称为波疏介质。

实验发现，如果波是从波疏介质入射到波密介质界面而反射，反射点将出现波节；如果波是从波密介质入射到波疏介质界面，反射点将出现波腹。即由波疏介质入射到波密介质界面并反射时，会发生半波损失，即发生相位的突变。是不是所有的反射点(非固定点)都会有半波损失？？？不是！对于光波，折射率n较大的介质称为光密介质，折射率n较小的介质称为光疏介质。第53页，共76页，2023年，2月20日，星期四五、固定弦的振动因此，若波长一定，弦的长度一定就是半波长的整数倍。即：反过来，若弦长固定，波长只可能取如下的值：通过弦上波的传播速度可得固定弦的振动频率：简正模式固定弦在振动时所形成的驻波在弦的两端必然形成波节。简正频率第54页，共76页，2023年，2月20日，星期四第55页，共76页，2023年，2月20日，星期四

例1、波长为的平面简谐波沿x正向传播（如图）已知

Q处振动方程为

，波在M处遇一波密媒质反射面，且假设反射波振幅仍为A，求：（1）入射波方程由Q点的振动方程得到P的振动方程，即入射波的波动方程：（2）反射波方程以P为参考点，波由+

走过的距离：第56页，共76页，2023年，2月20日，星期四整理后得：（3）驻波方程波腹：kx共10个波腹第57页，共76页，2023年，2月20日，星期四波节：kx共11个波节由驻波方程：第58页，共76页，2023年，2月20日，星期四§15--8多普勒效应第59页，共76页，2023年，2月20日，星期四1842年，多普勒在文章中指出：当波源或观察者相对介质运动时，观察者接收到的频率会改变。J.C.Doppler(1803-1853)奥地利物理学家发射频率接收频率接收频率人耳听到的声音频率与声源的发声频率相同吗？第60页，共76页，2023年，2月20日，星期四物理量定义

波源频率——波源单位时间振动的次数或发射的完整波的数目。

波速——波在介质中传播的速度。

波源速度——波源在介质中的运动速度。

观察者速度——观察者在介质中的运动速度。

接收频率——观察者在单位时间内接收到的完整波的数目。

R第61页，共76页，2023年，2月20日，星期四1波源静止，观察者静止1s内接收到的波的范围：观察者的接收频率：无多普勒效应！第62页，共76页，2023年，2月20日，星期四1s内接收到的波的范围：观察者的接收频率：2波源静止，观察者运动---相向运动第63页，共76页，2023年，2月20日，星期四观察者的接收频率：2′波源静止，观察者运动---背向运动观察者背离波源运动:观察者向着波源运动:1s内接收到的波的范围：第64页，共76页，2023年，2月20日，星期四3波源运动，观察者静止A波源向着观察者运动:波源远离观察者运动:观察者的接收频率：第65页，共76页，2023年，2月20日，星期四这个圆锥面上，波的能量已被高度集中，容易造成巨大的破坏，这种波称为冲击波或激波。如果波源向着观察者运动的速度大于波速(即

)，那么在这种情况下，急速运动着的波源前方不可能有任何波动产生，所有波前将被积压而聚集在一圆锥面上，如图第66页，共76页，2023年，2月20日，星期四4观察者、波源均相对介质运动观察者运动波源运动接收到的波的范围变化波长变化两者相向运动:两者背离运动:第67页，共76页，2023年，2月20日，星期四