第十一章 矩阵位移法

第十一章矩阵位移法第1页，共125页，2023年，2月20日，星期四§11-1概述§11-2单元刚度矩阵§11-3坐标变换§11-4整体刚度矩阵§11-5矩阵位移法基本方程§11-6计算步骤和应用举例第十一章矩阵位移法第2页，共125页，2023年，2月20日，星期四§11-1概述矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。2、理论基础：位移法一、概念：

1、定义：

3、分析工具：矩阵4、计算手段：计算机第3页，共125页，2023年，2月20日，星期四

二、矩阵位移法的基本思路

矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；矩阵位移法的基本步骤是：1）结构的离散化；2）单元分析；3）整体分析，任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程第4页，共125页，2023年，2月20日，星期四位移法中给出的转角位移方程实际上就是梁单元的刚度方程。梁单元是杆件单元的特例。本章推导单元刚度方程时有几点新的考虑：重新规定正负号规则，讨论杆件单元的一般情况，采用矩阵表示形式。先把整体拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然后再将这些单元按一定条件集合成整体。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题。第5页，共125页，2023年，2月20日，星期四指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的座标与杆轴重合；12eEAIl(a)图(b)表示的杆端位移均为正方向。单元编号杆端编号局部座标三、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：12(b)杆端位移编号12杆端力编号(c)第6页，共125页，2023年，2月20日，星期四1212（1）单元杆端位移向量（2）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。第7页，共125页，2023年，2月20日，星期四（1）结点及编码：将结构离散成单元的分割点称作结点，或将单元的连接点称作结点。§11-2单元刚度矩阵一、结构的离散与单元表示

1、基本概念

结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等。634512135642大写1、2、3、4、5、6表示结点。

（2）单元及编码：将结构拆成杆件,杆件称作单元。e①②③④⑤⑥代表各个单元。第8页，共125页，2023年，2月20日，星期四（3）单元杆端局部编码：

1、2分别表示单元的始端和终端称为单元的局部编码。由端点1向端点2的指向规定为正方向。（4）局部(单元)坐标系：轴与杆轴重合，指向相同。满足右手法则。634512135642第9页，共125页，2023年，2月20日，星期四（5）单元杆端位移：每杆端有：两个线位移（轴线、垂直轴线）、一个角位移（转角）分量。线位移的正方向与坐标正向正负相同，角位移顺时针为正。634512135642第10页，共125页，2023年，2月20日，星期四（6）单元杆端力：每杆端有轴力、剪力、弯矩三个分量。轴力、剪力的正方向与坐标正向正负相同，弯矩顺时针为正。注意：1、2、3、4、5、6为位移分量或杆端力的局部编码。凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。第11页，共125页，2023年，2月20日，星期四例1：对图示梁进行局部编码。12123(1)(2)(3)12

----单元编码1,2,3----结点编码(1),(2),(3)----结点位移编码结点位移顺时针为正,结点力顺时针为正.第12页，共125页，2023年，2月20日，星期四二、单元刚度方程和刚度矩阵1、单元刚度矩阵：2、简化措施：单元杆端力与杆端位移之间的关系式。忽略轴向受力状态与弯曲受力状态之间的相互影响3、轴力与轴向位移的关系式：原理：胡克定律第13页，共125页，2023年，2月20日，星期四4、剪力、弯矩与纵向位移、转角的关系式：原理：转角位移法方程第14页，共125页，2023年，2月20日，星期四5、局部坐标系中的单元刚度方程、单元刚度矩阵（1）局部坐标系中的单元刚度方程（2）局部坐标系中的单元刚度矩阵单元刚度矩阵中每个元素称为单元刚度系数—单元刚度系数第15页，共125页，2023年，2月20日，星期四三、单元刚度矩阵的性质1、对称性：对称矩阵2、奇异矩阵：---单刚的分块矩阵即：

—反力互等定理；3、形式不变性：单元刚度矩阵由单元的几何形状、物理常数有关，与单元在结构中的位置无关。第16页，共125页，2023年，2月20日，星期四四、特殊单元的刚度矩阵例子例1：连续梁单元解：1）两支座的位移条件：12123(1)(2)(3)e122）不计轴向变形：

4）单元杆端力：

3)单元杆端位移:5）单元刚度方程：6）单元刚度矩阵：第17页，共125页，2023年，2月20日，星期四例2：局部坐标系下平面桁架单元刚度方程e12局部坐标系单元刚度方程第18页，共125页，2023年，2月20日，星期四§11-3坐标变换一、问题的提出1、复杂的结构中，杆件的轴线方向不尽相同，必须建立一个统一的坐标系。2、整体坐标系：X、Y，向右向下为正，与局部坐标系成α角，顺时针为正。exy第19页，共125页，2023年，2月20日，星期四exyX1Y1X2Y2座标转换矩阵单元杆端力的转换式、单刚的转换式二、单元座标转换矩阵第20页，共125页，2023年，2月20日，星期四正交矩阵（[T]（e））-1=（[T]（e））T或：于是可以有同理可以有第21页，共125页，2023年，2月20日，星期四在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：(a)三、整体座标系中的单元刚度矩阵（a）式左乘[T]（e）可转换为：由式（11-21）得：比较式(b)和(c)可得：（解决与的关系）（11-21）(b)(c)(d)等式两边右乘，得：或：第22页，共125页，2023年，2月20日，星期四1l=5ml=5m2xyl=5m，bh=0.5m1m,A=0.5m2，解：1)根据各单元的局部座标系及尺寸、弹性常数，由式（11-6）得各单元刚度矩阵12例11-1：试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵[k]。设和杆的杆长和截面尺寸相同。第23页，共125页，2023年，2月20日，星期四1l=5ml=5m2xy2)整体座标系中的单元刚度矩阵e[k]单元1：=0，[T]=[I]单元2：=-90，单元座标转换矩阵为第24页，共125页，2023年，2月20日，星期四单元2：=-90o，单元座标转换矩阵为由式（11-23）得：1l=5ml=5m2xy第25页，共125页，2023年，2月20日，星期四§11-4整体刚度矩阵一、传统位移法①②③④图示刚架，不计轴向变形，位移法基本结构如图，基本未知量：与基本未知量对应的约束力偶矩：由转角位移方程得：或写为：为整体刚度矩阵第26页，共125页，2023年，2月20日，星期四二、直接刚度法①②③④直接刚度法以传统位移法的基本体系为力学模型。分别建立单元局部坐标和整体坐标如图。1、利用支承条件和变形协调条件求各单元对的贡献由单元①的的支承条件和变形条件，可知：在单元刚度方程（11-4）中引入上述条件，可得：第27页，共125页，2023年，2月20日，星期四将（c）、（d）式合并为增广形式：①②③④记为：其中：表示单元①对整体刚度矩阵的贡献，称为单元①的贡献矩阵。第28页，共125页，2023年，2月20日，星期四同理，可得其它各单元的贡献矩阵：①②③④2、利用平衡条件组装整体刚度矩阵由附加刚臂的力矩平衡条件：第29页，共125页，2023年，2月20日，星期四可得：①②③④上式可改写为：或可写为：即可得出整体刚度矩阵为（各单元贡献矩阵之和）：第30页，共125页，2023年，2月20日，星期四即可得出整体刚度矩阵为（各单元贡献矩阵之和）：单元贡献矩阵是的同阶矩阵，是由元素及扩充的零元素组成的矩阵。直接刚度法求整体刚度矩阵的步骤：1）由单元刚度矩阵求单元贡献矩阵；2）由叠加求整体刚度矩阵。第31页，共125页，2023年，2月20日，星期四三、按单元定位向量组装整体刚度矩阵①②1、结点位移未知量编号（整体码）为了确定各单元的定位向量，要按照结点编号从小到大的顺序对结构每个结点的未知量u、v、θ统一进行编号。若某个结点位移未知量等于零，则整体码编号为零。则图示刚架的位移向量和相应结点力向量为：第32页，共125页，2023年，2月20日，星期四①②2、单元定位向量由单元两端位移未知量编号组成的向量称为单元定位向量，用表示。单元②单元单元①单元位移向量局部码整体码三、按单元定位向量组装整体刚度矩阵第33页，共125页，2023年，2月20日，星期四在单元定位向量中，单元始端结点的位移未知量编号在前,末端结点的位移未知量编号在后。单元定位向量的作用：

1）决定单元刚度矩阵[k](e)各元素在整体刚度矩阵[K]中的行码和列码。

2）决定单元等效结点荷载向量{F}(e)

的各分量在结构的结点荷载向量{F}中的位置。

3）决定单元杆端位移{△}(e)的各分量在结构的结点位移向量{△}中的位置。第34页，共125页，2023年，2月20日，星期四1(0,0,0)3(4,5,6)2(1,2,3)4(4,5,7)5(0,0,0)③

②

①

1(1,2,3)2(4,0,5)3(0,0,0)思考:确定图示结构位移的整体码及各单元的定位向量①

②

第35页，共125页，2023年，2月20日，星期四以上结构各杆都考虑轴向变形的影响。若刚架的杆件不考虑轴向变形，则结点位移未知量编号及单元定位向量如下：不考虑轴向变形考虑轴向变形4(1,0,4)5(0,0,0)1(0,0,0)3(1,0,3)①

②

2(1,0,2)③

1(0,0,0)3(4,5,6)2(1,2,3)4(4,5,7)5(0,0,0)①

②

③

第36页，共125页，2023年，2月20日，星期四四、装配结构整体刚度矩阵以例题11-1所示刚架为例图11－91、结点位移分量的统一编码―整体码（总码）图11-9所示刚架整体结构的结点位移向量：相应结点力向量为：{F}=(F1F2F3F4)T

2、单元定位向量?第37页，共125页，2023年，2月20日，星期四2、单元定位向量（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→4（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→0

单元①单元②局部编码→总码单元定位向量局部编码→总码单元定位向量第38页，共125页，2023年，2月20日，星期四3、单元集成过程首先，考虑单元①；根据例11-1的计算结果，有：（11－38）局部码：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）第39页，共125页，2023年，2月20日，星期四[K]的阶段结果第40页，共125页，2023年，2月20日，星期四同理，考虑单元②，由例11-1计算结果有：局部码：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）第41页，共125页，2023年，2月20日，星期四[K]的阶段结果叠加单元（1）（2）的贡献矩阵，得整体刚度矩阵：第42页，共125页，2023年，2月20日，星期四整体刚度矩阵[K]的性质如下：1）

[K]是对称矩阵。2）

[K]是非奇异矩阵，即∣[K]∣≠0，因为采用先处理法，结点位移未知量中已剔除了零位移分量，即已经引入了支座条件，结构没有刚体位移。3）

[K]的元素分布在对角线两侧的斜带形区域内，即具有带形分布规律。越是大型结构，矩阵[K]的带形分布规律越明显。第43页，共125页，2023年，2月20日，星期四五、铰结点的处理解:例：求整体刚度矩阵[K]。已知各杆刚度系数为：5(0,0,0)1(0,0,0)3(4,5,6)2(1,2,3)4(4,5,7)①

②

③

4m4mxy第44页，共125页，2023年，2月20日，星期四由(11-6),形成局部坐标系中的单元刚度矩阵为：求整体坐标系中的单元刚度矩阵：对于单元②，α=0°，故。对于单元①和③，α=90°，由(11-23)得1）形成单元刚度矩阵第45页，共125页，2023年，2月20日，星期四第46页，共125页，2023年，2月20日，星期四500074123000457000200031133123456245631第47页，共125页，2023年，2月20日，星期四245631712345675000741230004570002000311331234562456312）形成整体刚度矩阵第48页，共125页，2023年，2月20日，星期四§11-5矩阵位移法基本方程一、整体刚度方程的意义二、矩阵位移法基本方程整体刚度方程（11-48）是根据原结构的位移法基本体系建立的，它表示由结点位移推算结点力（即在基本体系的附加约束中引起的约束力）的关系式。它只反映结构的刚度性质，而不涉及到原结构上作用的实际荷载。它并不是用以分析原结构的位移法基本方程。为了建立位移法基本方程，我们回顾一下本书上册§8－5中的推导方法，分别考虑位移法基本体系的两种状态：（11-48）第49页，共125页，2023年，2月20日，星期四(1)设荷载单独作用（结点位移设为零）—此时在基本结构中引起的结点约束力，记为

。

(2)设结点位移单独作用（荷载设为零）—此时在基本结构中引起的结点约束力为

。

第50页，共125页，2023年，2月20日，星期四位移法基本方程为：

可得：

原结构的实际荷载可以是结点荷载，或是非结点荷载，则有：则式（11-50）可表述为：上式为矩阵位移法基本方程。

第51页，共125页，2023年，2月20日，星期四三、等效结点荷载的概念

等效的原则是要求这两种荷载在基本结构中产生相同的结点约束力。

直接结点荷载可在整体坐标系中，按对应结点位移的整体码直接形成。

等效结点荷载则需按单元集成：

1、在局部坐标系中，形成单元的等效结点荷载：在单元两端加上六个附加约束，使两端固定。在给定荷载作用下，可求出六个固端约束力，它们组成固端约束力向量：

第52页，共125页，2023年，2月20日，星期四（11－55）

2、单元的等效结点荷载（整体坐标系）

现考虑整体坐标系。由坐标转换公式（11-14），得（10－56）

3、组集整体结构的等效结点荷载依次将每个中的元素按单元定位向量在中进行定位并累加，最后即得到

。

在表11-1中给出了几种典型荷载所引起的固端约束力。将固端约束力反号，即得到单元等效结点荷载

（局部坐标系）：

第53页，共125页，2023年，2月20日，星期四表11-1单元固端约束力（局部坐标系）

荷载简图

始端1末端21

2

第54页，共125页，2023年，2月20日，星期四3

4

第55页，共125页，2023年，2月20日，星期四5

6

第56页，共125页，2023年，2月20日，星期四7荷载的正负符号：荷载方向与局部坐标系一致取正值,如荷载与坐标方向相反,则取负。第57页，共125页，2023年，2月20日，星期四例11-3

试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下的等效结点荷载向量{Pe}。

解：（1）求局部坐标系中的固端约束力

单元①：由表11-1第1行，

,

得：第58页，共125页，2023年，2月20日，星期四例11-3

试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下的等效结点荷载向量{Pe}。

解：（1）求局部坐标系中的固端约束力

单元②：由表11-1第2行，

,

得：第59页，共125页，2023年，2月20日，星期四因此(2)各单元在整体坐标系中的等效结点荷载

单元①、②的倾角分别为

例11-3

试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下的等效结点荷载向量{Pe}。

第60页，共125页，2023年，2月20日，星期四由式（11-55、56）和（11-14）得

例11-3

试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下的等效结点荷载向量{Pe}。

第61页，共125页，2023年，2月20日，星期四(3)求刚架的等效结点荷载

两个单元的结点局部和总码见图。单元定位向量为：例11-3

试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下的等效结点荷载向量{Pe}。

第62页，共125页，2023年，2月20日，星期四将中得元素，按在中进行定位并累加可得出首先，考虑单元①：

（1）1（2）2（3）3（6）4例11-3

试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下的等效结点荷载向量{Pe}。

的阶段结果为[（4）、（5）行元素在中无座位]

第63页，共125页，2023年，2月20日，星期四其次,考虑单元②例11-3

试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下的等效结点荷载向量{Pe}。

由此可锝等效结点荷载向量：第64页，共125页，2023年，2月20日，星期四1)整理原始数据，对单元和刚架进行局部编码和总体编码。

2)形成局部坐标系中的单元刚度矩阵，用式（11-6）。

3)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵，用式（11-23）。

4)用单元集成法形成整体刚度矩阵，参看式（11-45）。§11-6计算步骤和应用举例

一、用矩阵位移法计算平面刚架的步骤如下：

6)解方程，求出结点位移。

7)求各杆的杆端内力，用式（11-57）。

5)求局部坐标系的单元等效结点荷载，转换成整体坐标的等效结点荷载，用式（11-56）；用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载。

第65页，共125页，2023年，2月20日，星期四一部分是在结点位移被约束住的条件下的杆端内力，即各杆的固端约束力。另一部分是刚架在等效结点荷载作用下的杆端内力，可由式（11-5）求出。将两部分内力叠加，即得（11-57）各杆的杆端内力是由两部分组成：

8)作最后内力图，应注意本章关于内力的符号规定。

第66页，共125页，2023年，2月20日，星期四解:（1）原始数据及编码

原始数据计算如下（为了计算上得方便，设）。

图11-14

例11-4:试求图11-14a所示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁,立柱

二、平面刚架矩阵分析举例第67页，共125页，2023年，2月20日，星期四柱：

梁：

第68页，共125页，2023年，2月20日，星期四(2)形成局部坐标系中的单元刚度矩阵

单元①和③：第69页，共125页，2023年，2月20日，星期四(2)形成局部坐标系中的单元刚度矩阵

单元②：第70页，共125页，2023年，2月20日，星期四单元①和③的坐标转换矩阵为(3)计算整体坐标系中的单元刚度矩阵

第71页，共125页，2023年，2月20日，星期四单元②：

(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵[K]由图11-14b中单元局部编码与结点位移统一编码的关系，各杆的单元定位向量可写出如下：

第72页，共125页，2023年，2月20日，星期四123000123000由单元定位向量,确定各单元刚度矩阵的贡献矩阵第73页，共125页，2023年，2月20日，星期四456000456000第74页，共125页，2023年，2月20日，星期四123456123456第75页，共125页，2023年，2月20日，星期四按照单元定位向量，依次将各单元中的元素在[K]中定位并累加，最后得到整体刚度矩阵[K]如下：

第76页，共125页，2023年，2月20日，星期四首先，求单元固端约束力：

只有单元①承受非结点荷载，按表11-1有，

(5)求等效结点荷载第77页，共125页，2023年，2月20日，星期四其次，求单元在整体坐标系中的等效结点荷载：单元①的倾角，由式（11-56）得：第78页，共125页，2023年，2月20日，星期四按单元定位向量，将中的元素在中定位，得第79页，共125页，2023年，2月20日，星期四(6)解基本方程

求得：第80页，共125页，2023年，2月20日，星期四(7)求各杆杆端力，由式（11-58）第81页，共125页，2023年，2月20日，星期四(7)求各杆杆端力，由式（11-58）第82页，共125页，2023年，2月20日，星期四单元②：

第83页，共125页，2023年，2月20日，星期四单元③：

第84页，共125页，2023年，2月20日，星期四第85页，共125页，2023年，2月20日，星期四(8)根据杆端力绘制内力图，如图11-15所示。

图11-15第86页，共125页，2023年，2月20日，星期四三、连续梁矩阵分析举例单元模型：梁单元可看作不计轴向变形的刚架单元，即：u=0，每个结点有效位移为u和q。则由式（11-6）可得梁单元刚度矩阵：第87页，共125页，2023年，2月20日，星期四当把结点取在刚性支座上（如图），有：12123(1)(2)(3)e12则单元刚度矩阵可进一步写为：第88页，共125页，2023年，2月20日，星期四例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆解：1）原始数据及编码①②③2）由式（11-59）求局部坐标系中的单元刚度矩阵单元①和②:第89页，共125页，2023年，2月20日，星期四解：1）原始数据及编码①②③2）由式（11-59）求局部坐标系中的单元刚度矩阵单元③：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆第90页，共125页，2023年，2月20日，星期四3）集成整体刚度矩阵①②③连续梁单元局部坐标与整体坐标一致，则有：各单元定位向量：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆第91页，共125页，2023年，2月20日，星期四①②③按单元定位向量将中的元素在中定位并累加。形成整体刚度矩阵：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆①00010001②01020102第92页，共125页，2023年，2月20日，星期四①②③按单元定位向量将中的元素在中定位并累加。形成整体刚度矩阵：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆③02340234第93页，共125页，2023年，2月20日，星期四①②③按单元定位向量将中的元素在中定位并累加。形成整体刚度矩阵：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆第94页，共125页，2023年，2月20日，星期四4）求直接结点荷载和等效结点荷载①②③直接结点荷载：等效结点荷载：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆0234000101020234第95页，共125页，2023年，2月20日，星期四①②③按单元定位向量将结点荷载中的元素定位并累加。形成整体结点荷载向量：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆第96页，共125页，2023年，2月20日，星期四5）解基本方程：①②③求解得：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆第97页，共125页，2023年，2月20日，星期四6）求杆端力：①②③对连续梁有：则可得：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆第98页，共125页，2023年，2月20日，星期四6）求杆端力：①②③对连续梁有：则可得：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆第99页，共125页，2023年，2月20日，星期四6）求杆端力：①②③对连续梁有：则可得：例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆第100页，共125页，2023年，2月20日，星期四7）根据杆端力绘制内力图①②③例11-6:求图11-17a所示连续梁内力。各杆第101页，共125页，2023年，2月20日，星期四四、桁架的整体分析桁架单元只考虑轴向变形，单元刚度矩阵已在式（11-11）中给出，其矩阵形式为（a）第102页，共125页，2023年，2月20日，星期四对于斜杆单元，其轴力和轴向位移在整体坐标系中将有沿x轴和y轴的两个分量。因此，整体坐标系中的杆端力向量和杆端位移向量为：第103页，共125页，2023年，2月20日，星期四为了便于利用以前的坐标转换关系，我们先将局部坐标系中的单元刚度方程（a）扩大为四阶的形式：（11-60）这里，在和中引入了、和、，在中添上了相应的零元素。式（11-60）与式（a）是等价的。第104页，共125页，2023年，2月20日，星期四式（11-13）是一般单元杆端力的转换式。对于桁架单元，由于，，所以，删去坐标转换矩阵[T]〔式（11-13）〕中相应的行和列，便得到桁架单元的坐标转换矩阵[T]如下：（11-62）单元集成法求整体刚度矩阵的步骤与前相同编码时应注意，桁架单元的结点转角不是基本未知量。第105页，共125页，2023年，2月20日，星期四例11-7试求图11-19a所示桁架的内力。各杆EA相同。解（1）单元和结点位移分量的统一编码如图11-19b。单元的局部坐标用箭头方向表示，示于图11-19b中。整体坐标也示于图11-19a中。图11-19第106页，共125页，2023年，2月20日，星期四(2)形成局部坐标系中的单元刚度矩阵按四阶方阵的形式〔式（11-61）〕形成各单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。第107页，共125页，2023年，2月20日，星期四(3)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵单元①和单元③：由式（11-62）得:第108页，共125页，2023年，2月20日，星期四单元②和单元④：得第109页，共125页，2023年，2月20日，星期四单元⑤：，由式（11-62）第110页，共125页，2023年，2月20日，星期四单元⑥：，由式（11-62）得：第111页，共125页，2023年，2月20日，星期四(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵[K]由图11-19b，各杆的单元定位向量可写出如下：第112页，共125页，2023年，2月20日，星期四(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵[K]由图11-19b，各杆的单元定位向量可写出如下：