平几2三角形的五心4旁心讲师版

课程类型数“平面几何三角形的五心4旁心授课方式或线下 （线下填）授课教学点知识定知识梳记2IAIBICrArBrCS表示ABC面积，R,r分别表示ABC性质1：三角形旁心是其一内角平分线与其他两角的外角平分线的交点2

parApbrBpc3：AIA与ABCDD为BCIA半径，p表示半周.Rt△ABC中，c∵p(p-c)=1(a+b+c)·1(a+b-c)=1[(a+b)2-c2]=1 (p-a)(p-b)=1(-a+b+c)·1(a-b+c)=1[c2-(a-b)2]=1 12

2M是△ABCAB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.

·

q【证明】对任意△A′B′Csin sinA'sinOD=OA′·sinA'2

2sinA'O'

·sinA'2

2sin2cosA'cosO′E=A′B′· 2sin2∴ODtgA'tgB'O' 1r·1

=

A2

CMA2

CNB2

B=2

AtgB=r 再由△BDFBP，DQ，FS是它的三条高，IErdosI就是一点两心4△ABCO，AB=AC，DAB中点，E是△ACD的重心.OE心.GE，MF，MFDCK.

∵OD

∴ODMFODGE.OGDEG又是△ODE之垂心.OECD.例5(1996联赛题)如图，圆O1与圆O2和⊿ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，直EGFHP，求证：PA⊥BC.【证明】设⊿ABCa、b、cA、B、C 22同理 EF

B

B+C

sin

sin cos2P、AEFM、N

sin cos2BN=ccosBccosB+2

sin cos2sinCcosB+2

2

cos2sin2=sinCcosB－2sinBcosC－2

cos右边

=2

－sin =2cos cos2sin2例6如图，O、I分别为⊿ABC外心和内心，AD是BC边上的高，I段OD上，求证：⊿ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆的半径.(1998联赛题)由旁切圆半径， b+c－a=R =AI并延长交⊙OKOKBCMK、MBCBChaROKIKah=AD=IA=IAa故只须证

IN⊥ABABN

而由⊿AIN∽⊿BKM，可证KBBM试题演ABC中∠C=30°，O是外心，IACDBCEAD=BE=AB.求证：OIDE，【答案】辅助线如图所示，作∠DAOBC利用内心，12

12

12

12

1 2由等腰△AODDO∴DOIEDF是△DIE的一条高.EO是△DIE之垂心，OIDE.由∠DIE=∠IDO，OI=DE.锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.d外，重心到三边距d重d垂.求证：1·d垂+2·d外=3·d重.【答案】这里用三角法.设△ABC外接圆1A，B，C.d外∴2d外BH2·CH3.∴3d重=△ABC∴

HH2，HH3.∴d垂补充I为△ABCAI，BI，CI交△ABCA′，B′，C′.AA′+BB′+CC′＞△ABC周△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IABO1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADCO，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形H的轨迹.(IMO-7)1△ABC2

(AB+AC)AB，ACM，N，G为重心，I为内心.A，M，NGI相切锐角△ABCH1，H2，H3.已知：H1，H2，H3已知△ABCI1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形AB，AC切⊙OB，COABCM任作⊙OEF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.设圆O是三角形ABCBC边外侧的旁切圆，D、E、F分别是圆OBC、CA、AB的切点.(1)OD与EF相交于K，求证：AK平分BC；(2)已知BC=A,AC=B,AB=C,且b>c,求S⊿ABC:S⊿