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文档简介
课程类型数“平面几何三角形的五心4旁心授课方式或线下 (线下填)授课教学点知识定知识梳记2IAIBICrArBrCS表示ABC面积,R,r分别表示ABC性质1:三角形旁心是其一内角平分线与其他两角的外角平分线的交点2
parApbrBpc3:AIA与ABCDD为BCIA半径,p表示半周.Rt△ABC中,c∵p(p-c)=1(a+b+c)·1(a+b-c)=1[(a+b)2-c2]=1 (p-a)(p-b)=1(-a+b+c)·1(a-b+c)=1[c2-(a-b)2]=1 12
2M是△ABCAB上的任意一点.r1,r2,r分别是△AMC,△BMC,△ABC内切圆的半径,q1,q2,q是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.
·
q【证明】对任意△A′B′Csin sinA'sinOD=OA′·sinA'2
2sinA'O'
·sinA'2
2sin2cosA'cosO′E=A′B′· 2sin2∴ODtgA'tgB'O' 1r·1
=
A2
CMA2
CNB2
B=2
AtgB=r 再由△BDFBP,DQ,FS是它的三条高,IErdosI就是一点两心4△ABCO,AB=AC,DAB中点,E是△ACD的重心.OE心.GE,MF,MFDCK.
∵OD
∴ODMFODGE.OGDEG又是△ODE之垂心.OECD.例5(1996联赛题)如图,圆O1与圆O2和⊿ABC的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H为切点,直EGFHP,求证:PA⊥BC.【证明】设⊿ABCa、b、cA、B、C 22同理 EF
B
B+C
sin
sin cos2P、AEFM、N
sin cos2BN=ccosBccosB+2
sin cos2sinCcosB+2
2
cos2sin2=sinCcosB-2sinBcosC-2
cos右边
=2
-sin =2cos cos2sin2例6如图,O、I分别为⊿ABC外心和内心,AD是BC边上的高,I段OD上,求证:⊿ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆的半径.(1998联赛题)由旁切圆半径, b+c-a=R =AI并延长交⊙OKOKBCMK、MBCBChaROKIKah=AD=IA=IAa故只须证
IN⊥ABABN
而由⊿AIN∽⊿BKM,可证KBBM试题演ABC中∠C=30°,O是外心,IACDBCEAD=BE=AB.求证:OIDE,【答案】辅助线如图所示,作∠DAOBC利用内心,12
12
12
12
1 2由等腰△AODDO∴DOIEDF是△DIE的一条高.EO是△DIE之垂心,OIDE.由∠DIE=∠IDO,OI=DE.锐角△ABC中,O,G,H分别是外心、重心、垂心.d外,重心到三边距d重d垂.求证:1·d垂+2·d外=3·d重.【答案】这里用三角法.设△ABC外接圆1A,B,C.d外∴2d外BH2·CH3.∴3d重=△ABC∴
HH2,HH3.∴d垂补充I为△ABCAI,BI,CI交△ABCA′,B′,C′.AA′+BB′+CC′>△ABC周△T′的三边分别等于△T的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似I为△ABC的内心.取△IBC,△ICA,△IABO1,O2,O3.求证:△O1O2O3与△ABC有公共的外心AD为△ABC内角平分线.取△ABC,△ABD,△ADCO,O1,O2.则△OO1O2是等腰三角形H的轨迹.(IMO-7)1△ABC2
(AB+AC)AB,ACM,N,G为重心,I为内心.A,M,NGI相切锐角△ABCH1,H2,H3.已知:H1,H2,H3已知△ABCI1,I2,I3.求证:△I1I2I3是锐角三角形AB,AC切⊙OB,COABCM任作⊙OEF.求证:(1)△AEF与△ABC有公共的内心;(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.设圆O是三角形ABCBC边外侧的旁切圆,D、E、F分别是圆OBC、CA、AB的切点.(1)OD与EF相交于K,求证:AK平分BC;(2)已知BC=A,AC=B,AB=C,且b>c,求S⊿ABC:S⊿
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