第十一篇 第讲 离散型随机变量的分布列

第十一篇第讲离散型随机变量的分布列第1页，共41页，2023年，2月20日，星期三考点梳理(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个_____来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定_____一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．1．离散型随机变量的分布列变量次序第2页，共41页，2023年，2月20日，星期三(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝___，则称表为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．(4)分布列的两个性质①pi≥__，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝___.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnpi10第3页，共41页，2023年，2月20日，星期三如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的_________．在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝_________(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列2．两点分布X10Ppq两点分布3．超几何分布列第4页，共41页，2023年，2月20日，星期三为超几何分布列．

一类表格离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格．第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数据代表事件的概率．利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．【助学·微博】第5页，共41页，2023年，2月20日，星期三两条性质(1)第二行数据中的数都在(0,1)内；(2)第二行所有数的和等于1.三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．第6页，共41页，2023年，2月20日，星期三A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率解析

A中取到的产品件数是一个常量而不是一个变量；B、D中的概率也是一个定值；而C中取到的次品数可能是0,1,2，是随机变量．答案

C考点自测1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量

的是 (

)．第7页，共41页，2023年，2月20日，星期三2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去

描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于 (

)．

解析设X的分布列为X01Pp2p答案

D第8页，共41页，2023年，2月20日，星期三3．(2013·银川模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为 (

)．

答案

A第9页，共41页，2023年，2月20日，星期三A．25 B．10 C．7 D．6解析

X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.答案

C4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为 (

)．第10页，共41页，2023年，2月20日，星期三5．(人教A版教材习题改编)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是________．

解析

Y的所有可能值为1,2,3,4第11页，共41页，2023年，2月20日，星期三答案第12页，共41页，2023年，2月20日，星期三【例1】►(2012·广东改编)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列第13页，共41页，2023年，2月20日，星期三(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．[审题视点](1)抓住总面积和为1即可算得x的值．(2)ξ的可能取值为0,1,2，算出其概率，即可列出ξ的分布列，从而求出ξ的期望．解

(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.因此ξ可能取0,1,2三个值．第14页，共41页，2023年，2月20日，星期三第15页，共41页，2023年，2月20日，星期三

求离散型随机变量的分布列的步骤：①确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；②尽量寻求计算概率时的普遍规律；③检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．第16页，共41页，2023年，2月20日，星期三【训练1】(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组

各四名同学的植树棵数

甲组乙组分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数Y的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．解

(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21，第17页，共41页，2023年，2月20日，星期三设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y，则E(X)＝10E(Y)＝190.

第18页，共41页，2023年，2月20日，星期三(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．[审题视点]本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确．考向二用古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】►(2012·浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．第19页，共41页，2023年，2月20日，星期三第20页，共41页，2023年，2月20日，星期三

求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列．第21页，共41页，2023年，2月20日，星期三【训练2】(2012·安徽)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束，试题库中现共有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．第22页，共41页，2023年，2月20日，星期三第23页，共41页，2023年，2月20日，星期三第24页，共41页，2023年，2月20日，星期三(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列第25页，共41页，2023年，2月20日，星期三[审题视点](1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值．第26页，共41页，2023年，2月20日，星期三第27页，共41页，2023年，2月20日，星期三

解决随机变量分布列问题时，首先应先根据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变量的取值，再正确求出随机变量的各个取值对应的概率，同时要做到计算准确无误．第28页，共41页，2023年，2月20日，星期三(1)求两种树各成活一株的概率；(2)设ξ表示成活的株数，求ξ的分布列及数学期望．解

(1)记“香樟成活一株”为事件A，“桂花成活一株”为事件B.则事件“两种树各成活一株”即为事件A·B.第29页，共41页，2023年，2月20日，星期三第30页，共41页，2023年，2月20日，星期三第31页，共41页，2023年，2月20日，星期三【命题研究】通过对近三年高考试题分析可以看出，本部分在高考中主要考查独立事件的概率、离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差的计算，以及概率统计在实际问题中的应用，题型以解答题为主．预测2014年高考仍会坚持以实际问题为背景，结合常见的概率事件，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，一般属中等难度题目．规范解答16——求解离散型随机变量分布列的答题技巧第32页，共41页，2023年，2月20日，星期三(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．【真题探究】►(本小题满分13分)(2012·天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．第33页，共41页，2023年，2月20日，星期三[教你审题](1)本题是一个古典概型，根据上述规则可分别求出每个人参加甲游戏和乙游戏的概率，然后再利用二项分布的概率公式求解．(2)4个人中参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数含“3人参加甲游戏”和“4人全部参加甲游戏”两个互斥事件，利用二项分布和互斥事件的概率公式可求解．(3)分析出ξ的所有可能取值，求出各值对应的概率，建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期望．第34页，共41页，2023年，2月20日，星期三第35页，共41页，2023年，2月20日，星期三第36页，共41页，2023年，2月20日，星期三第37页，共41页，2023年，2月20日，星期三[阅卷老师手记]掌握离散型随机变量的分布列，需注意(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数