第四章不可压缩粘性流体一元流动

第四章不可压缩粘性流体一元流动第1页，共61页，2023年，2月20日，星期三第四章不可压缩粘性流体一元流动实际流体具有粘性，粘性的存在会使流体内部及流动壁面处产生粘性阻力，流体运动为了克服这部分阻力必然要使流动流体的部分机械能不可逆转地转化为热能，造成能量损失。这一能量损失就是实际流体伯努利方程中的hw这种能量损失也可以压力损失的形式（ρg

hw

）来表示。管内流动的能量损失（水头损失）hw一般可分为两部分：沿程阻力损失hf：局部阻力损失hj：第2页，共61页，2023年，2月20日，星期三沿程阻力损失：

当流体沿管径不变的管道流动时，此时过流断面上的速度分布沿流程不变，粘性切应力也沿流程不变，管道沿程越长，能量损失越大。这种能量损失称为沿程阻力损失hf。沿程阻力损失可用下式计算：上式也称为达西（Darcy）公式。λ称为沿程阻力损失系数，其与流体的流动状态有关局部阻力损失：当流动边界发生急剧变化（如流体流经弯管、管截面突然扩大或缩小、各种阀门、流量计等等）情况下，流线发生变形，产生旋涡，这也会造成部分机械能的损耗。这种由管路局部原因造成的能量损失（水头损失）称为局部阻力损失hj。局部损失可用下式计算：ξ称为局部阻力损失系数。ξ的大小一般由实验测的，不同不同形式的局部损失，其大小是不同的。具体计算时可查有关手册。第3页，共61页，2023年，2月20日，星期三对于一个管路系统，一般都有若干管段及各种管件组成。故管路系统总的能量损失为：研究阻力损失的目的：一、正确计算管路或液压系统中的流动阻力二、找出减小流动阻力的途径。以下将介绍不同流动情况下管路内压力损失的计算，为管路系统水力分析、设计、节能打下理论基础。第4页，共61页，2023年，2月20日，星期三4.1流体的流动状态流体流动的能量损失与流体的流动状态密切相关。因此在讨论流体流动能量损失之前必须对流体的流动状态进行分析。4.1.1雷诺实验1883年英国物理学家雷诺通过实验证明流体流动存在两种不同的流动状态，确定了流态的判别及其与能量损失的关系。以下介绍一下雷诺的实验过程及结论。实验配置：1：盛有无色水的大容器，液位高保持不变。2：透明等直径管。3：盛有有色水的小容器。4：阀门。5、6：两个测压管。第5页，共61页，2023年，2月20日，星期三实验过程：（1）打开阀门4，管内流速由小变大，当水以较低速度流过透明管。管中有色水近似呈直线状流动，说明管中水流的质点以一种有规则的、互不混杂的形式作分层流动。这种流动状态称为层流。（2）继续增大管内流速，在一定范围内，管内仍保持为层流。但到流速增大到一定值时，有色水开始波动。说明此时流体质点已出现横向运动。第6页，共61页，2023年，2月20日，星期三（3）近一步增大流速，有色水破裂，完全混杂在周围的无色水中。说明此时流动质点呈现一种相互混杂的、无规则的流动。这种流动状态称为紊流。继续增大流速，管内流动将一直处于紊流。（4）由紊流状态，逐渐减小流速V，流动状态将由紊流又转换为层流。但实验发现：流动由紊流转换为层流时的临界速度与层流转换为紊流时的临界速度并不相同。前者称为下临界速度（紊流-层流）；后者称为上临界速度（层流-紊流）。第7页，共61页，2023年，2月20日，星期三

流动状态的判别：前面实验表明：流体流动存在两种不同的流动状态：层流和紊流。当流速达到一定值时（临界速度），两种流态将会互相转换。雷诺用不同的管径、不同的流体进行了实验，结果表明：流动状态实际与一个无量纲数，即雷诺数Re有关：即雷诺数Re才是判别流态的准则。临界雷诺数也有上、下临界之分：上临界雷诺数：对应于上临界速度下临界雷诺数：对应于下临界速度。上临界雷诺数约为12000-40000，下临界雷诺数较稳定，约为2320。工程上一般认为临界雷诺数Recr=2320。即：层流紊流第8页，共61页，2023年，2月20日，星期三沿程损失hf与流态的关系：层流和紊流情况下，管内沿程损失hf的变化规律是不同的。层流时hf与流速V的一次方成正比；而紊流时hf与流速V的1.75-2次方成正比。如下图所示：Vcr，Vcr’分别为上、下临界速度。第9页，共61页，2023年，2月20日，星期三4.2圆管中的层流4.2.1截面速度分布粘性流体在圆管内作层流运动时，管截面上的速度分布是不均匀的。在管壁上，由于流体的粘附作用，流体速度为零，越接近管轴线，速度越大。在轴线上，速度达到最大值。以下推导一下层流速度分布：在一个足够长的等截面圆管中，取一个以管轴线为中心的流体圆柱，半径为r，长为L。由于管道足够长，任意两个截面的速度分布相同。如果流动为定常，则加速度为0，作用在圆柱体上流体的外力（表面力和质量力）平衡，即：第10页，共61页，2023年，2月20日，星期三或可写为：由上式可看出，切应力τ与r成正比。在管壁上，r=d/2，切应力最大：由伯努利方程可知，管流的沿程水头损失：又由达西公式：比较以上三式可得：第11页，共61页，2023年，2月20日，星期三上式V为截面平均速度。引入摩擦速度u*：式（4-10）可写为：注意：上面各式均没有涉及到流态。故式（4-12）、式（4-10）对层流和紊流均可适用。如果流体作层流运动，式（4-6）中的粘性切应力τ可由牛顿内摩擦定律表示为：上式中的负号是由于，沿径向r方向速度是减小的。将式（4-13）代入式（4-6），并积分可得：第12页，共61页，2023年，2月20日，星期三当r=r0时，速度u=0，由此可求得上式积分常数C=-r02。速度分布可确定如下：上式表明：圆管内层流时，速度分布为旋转抛物面。最大速度在管轴线上，并且为：由截面速度分布，还可计算出通过管截面上的体积流量Q。第13页，共61页，2023年，2月20日，星期三管截面平均速度V：故截面速度分布也可用平均速度来表示：通过以上速度分布，还可计算层流时的动能修正系数α及动量修正系数β。第14页，共61页，2023年，2月20日，星期三4.2.2沿程阻力损失系数λ达西公式：由式（4-18）得：将式（4-21）代入达西公式（4-20）得沿程损失阻力系数：上式即为圆管内层流时的沿程阻力系数的计算公式。由上式计算出λ，再代入达西公式即可计算出圆管内层流时的沿程水头损失hf（或沿程压力损失Δpf=ρghf）。第15页，共61页，2023年，2月20日，星期三对于非圆截面管道，达西公式仍然适用，但此时应用水力半径R来计算。水力半径R的定义如下：

式中A：管道截面积；S：湿周（流体湿润的周界长度）

对于圆管R=d/4，故非圆管道的达西公式为：相应的雷诺数：第16页，共61页，2023年，2月20日，星期三4.3圆管中的紊流4.3.1紊流特征（1）流体作紊流流动时不同流层的流体质点相互混杂，作无定向、无规则的运动。表现在运动参数（如速度、压强、密度等）上具有随机性变化。即紊流的主要特征是在时间与空间上具有脉动性。（2）流体的物理参数虽然是随机脉动的，但又服从统计规律。数学处理上可用统计平均方法。即：上式中u：某点的瞬时速度。：平均速度。：脉动速度。第17页，共61页，2023年，2月20日，星期三类似上式，对于其他物理量同样有：对于上面物理量的平均处理方法，主要有时间平均法、空间平均法、概率平均法等。其中常用的为时间平均法。时间平均法（时均法）定义：上式T应足够长，以获得比较稳定的平均值。第18页，共61页，2023年，2月20日，星期三（3）紊流具有脉动速度（u’，v’），脉动速度会引起紊流的动量交换。动量交换的结果又会产生紊流附加切应力。以下简单说明紊流附加切应力产生的原因及表达式：取控制体，设控制体底面积为A，由于脉动速度，下面流体会进入控制体，并代入一定动量。根据动量方程，作用在控制体上外力为动量流出动量为0，故：第19页，共61页，2023年，2月20日，星期三上式两边同除A，并取时均值，紊流附加切应力为：因此，紊流时流体的切应力除了有粘性切应力，还有因脉动速度（u’，v’）引起动量交换而产生的紊流附加切应力（雷诺应力）。即：对于层流，没有脉动速度，只有粘性切应力。在紊流中，脉动速度引起的动量交换非常强烈，紊流切应力要远大于粘性切应力。第20页，共61页，2023年，2月20日，星期三4.3.2普朗特混合长理论及紊流附加切应力式（4-29）虽给出了紊流附加切应力的表达式。但脉动速度为多大，它与平均速度又有何关系，这些至今还不能以严格的数学推理给以确定。为此许多学者提出许多假设。在工程上目前以普朗特提出的半经验理论-混合长度理论应用最为广泛。故我们就主要介绍一下普朗特的混合长理论。普朗特混合长理论：为了确定脉动速度，普朗特认为流体质点在y方向的脉动，即由一层跳入另一层，要经过一段不与其他流体质点相碰撞的距离l。然后以自己原来的动量和新位置周围的流体质点相混，完成动量交换。流体质点从一层跳入另一层，并且不于其他质点相碰的这段距离l称为混合长度。它是流体质点横向混杂运动中自由行程的平均值。第21页，共61页，2023年，2月20日，星期三在上述基本假设的基础上，普朗特还作出以下假设：（1）流体质点的纵向脉动速度u’近似等于两层流体的时均速度之差。即（2）横向脉动速度与纵向脉动速度成比例。即：根据以上假设，普朗特获得了脉动速度与时均速度的关系，进而紊流附加切应力可表达为：为了书写简便，上式时均速度，后面用u来代替。第22页，共61页，2023年，2月20日，星期三4.3.3紊流速度分布（1）紊流结构及粘性底层图示为不同雷诺数下管截面速度分布。层流时速度分布不均匀，紊流时分布均匀。雷诺数越大，速度分布越趋向于均匀。第23页，共61页，2023年，2月20日，星期三对于紊流，由于管壁限制，紧贴管壁的流体速度为0，在靠近管壁很薄的一个流层内，流体速度比较小，流体的紊动程度几乎为0，流动处于层流，其切应力主要表现为粘性切应力。这层流体称为粘性底层（近壁层流区）。在远离壁面的很大区域内，流速较大，并且速度分布比较均匀，称为紊流核心区。粘性底层与紊流核心区之间还有一个过渡区域，一般将过渡取也划入紊流核心区。如下图所示。第24页，共61页，2023年，2月20日，星期三粘性底层的厚度非常薄（大约只有几分之一或几十分之一毫米），其厚度可用下列经验公式计算：或：两个概念：水力光滑管与水力粗糙管实际管壁是凹凸不平的，管壁粗糙物凸出的平均高度Δ称为壁面绝对粗糙度。Δ/d则称为相对粗糙度。当，称为水力光滑管；时，称为水力粗糙管。第25页，共61页，2023年，2月20日，星期三（2）速度分布以上表明，管内紊流结构可分为粘性底层与紊流核心区，两个区的速度分布是不同的，因此应分别讨论。对于粘性底层：紊流切应力很小，只有粘性切应力对流动起作用。实验表明：在很薄的粘性底层，切应力变化不大，可近似认为常数τ0（壁面上的剪切应力）。根据牛顿内摩擦定律，有：引入摩擦速度u*（τ0=ρu*2），代入上式积分，得：或：上式表明，粘性底层的速度呈线性分布。第26页，共61页，2023年，2月20日，星期三对于紊流核心区：紊流切应力远大于粘性切应力，故粘性切应力可略去。实验还表明：紊流切应力τ的大小与壁面处的粘性切应力近似相等。故：普朗特还认为，混合长l与距壁面的距离y成正比，即：式（4-36）可变为：上式积分，得：第27页，共61页，2023年，2月20日，星期三上式中k称为卡门（VonKarman）常数，k=0.4。式中的积分常数C可这样求得：当y=δ时，用式（4-38）与前面粘性底层速度分布（4-35）求得的速度相等，从而可求得积分常数。故式（4-38）变为：根据大量实验得出B=5.5，而k=0.4，故水力光滑管速度分部为：可见，紊流区速度分布比粘性底层速度分布要平缓的多。利用上述速度分布，还可计算出管截面平均速度V。由于粘性底层很薄，计算流量时可只计算紊流区流量。将式（4-40）速度代入式（4-41），并注意：第28页，共61页，2023年，2月20日，星期三得：

该对数形式速度分布（4-42）比较复杂，应用起来不太方便。普朗特根据实验，给出了一种指数形式的速度分布：指数n的大小与雷诺数有关，如下表Re4╳1032.3╳1041.1╳1051.1╳106≥2╳106n1/61/6.61/71/8.81/10第29页，共61页，2023年，2月20日，星期三4.3.4圆管内紊流沿程损失系数λ（1）水力光滑管：利用上式（4-42）及式（4-12），并进行对数换底，得：根据实验，将上式修正为：上式即为紊流水力光滑管的λ-Re的关系式，也称卡门-普朗特方程。第30页，共61页，2023年，2月20日，星期三（2）水力粗糙管水力粗糙管的速度分布与管壁粗糙度Δ有关，其平均速度分布：同样方法可得：

上式表明：水力粗糙管的沿程损失系数λ与雷诺数Re无关。（3）过渡区（水力光滑与水力粗糙）对于水力光滑与水力粗糙的过渡区域，沿程损失系数λ可用下列柯列勃洛克（C.F.Colebrook）公式计算。由上式可见，在该区域内，沿程损失系数与雷诺数及管壁粗糙度均有关系。第31页，共61页，2023年，2月20日，星期三上面各公式中均涉及到管壁粗糙度Δ，它与管道种类有关，具体计算时可参照下表来选取：常用工业管道当量粗糙度Δ管材种类Δ（mm）新聚氯乙烯管、玻璃管，铜管、铅管0.0015-0.01新无缝钢管0.014旧无缝钢管0.2新焊接钢管0.06旧焊接钢管1.0新铸铁管0.3旧铸铁管1.0-1.2新镀锌钢管0.15旧镀锌钢管0.5水泥管0.5第32页，共61页，2023年，2月20日，星期三工程设计中，求取沿程水头损失（或压力损失）的方法：

达西公式：其中沿程损失系数λ的确定方法可归纳以下两种：1.通过前面的公式来计算。即（1）层流区：（2）水力光滑区：在该区域，假如雷诺数不太大（Re=4000-105），还可用简单的勃拉修斯公式计算：第33页，共61页，2023年，2月20日，星期三（3）过渡区：（4）水力粗糙区：柯列勃洛克（C.F.Colebrook）公式：第34页，共61页，2023年，2月20日，星期三计算可用牛顿迭代法或其他迭代法。牛顿迭代法用于求解超越方程f(x)=0：第35页，共61页，2023年，2月20日，星期三2.查表法：在有关工程应用手册给出了相关的Δ，λ，Re之间的关系图表（穆迪图）可根据实际的Δ/d，Re直接在图表中查出λ的大小。第36页，共61页，2023年，2月20日，星期三4.4局部水头损失流体流经固体壁面急剧变化的部位（截面突然扩大、突然缩小，弯管，阀门等）时，流体微团相互碰撞和产生旋涡，引起该局部区域较大的机械能损失，称为局部损失。局部损失产生的原因是：（1）边界面急剧变化使主流与边界面间形成旋涡区，流体质点相互撞击；（2）产生与主流方向相正交的流动，即二次流。以下为几种局部损失：第37页，共61页，2023年，2月20日，星期三弯管：流经弯管时的局部损失：流体流经弯管时，不但会产生旋涡区，而且会产生二此流。流体进入弯管时，流线发生弯曲，流体质点由于受到离心力而压向外壁面，使外壁面压力升高，流速减小。大约在B点以后压力才逐渐降低直至弯管终止为止。与此对应，在管内侧将出现压力降低随后升高的现象。因此在相应的AB，B’C’区域都会因升压减速脱离壁面而形成旋涡区，造成旋涡损失。流经弯管的另一个局部损失的原因是二次流。由于粘性的作用使管壁附近的液流速度低于内部，速度差将造成中心与外侧离心力的不同，其结果是在离心力差值的作用下使流体质点压向外侧，形成图示的自中心向外侧的二此流。径向方向的二次流与主流结合会形成双螺旋流动。这一流动情况在紊流情况下将大于100倍管径。弯管曲率半径小，内外压差将增大；管子直径大，二次流的范围会增加，其结构都将使局部能量损失增大。第38页，共61页，2023年，2月20日，星期三造成局部损失的形式是各种各样的，但起产生阻力、形成能量损失的本质基本相同。故对各种局部水头损失，均可用下面形式计算：上式中ξ：局部损失系数。对于不同的局部损失，其大小也是不同的。目前对于ξ，除了少数几种情况下可理论推导外，其他形式局部损失系数ξ均需实验获得。（1）截面扩大时的ξ由截面1-1、2-2建立伯努利方程，动能修正系数取为1：可得：第39页，共61页，2023年，2月20日，星期三为求上式中的p1-p2，还必须利用动量方程。取1-1、2-2截面间区域为控制体。建立动量方程：即：将上式代入前面局部损失，得：上面局部损失水头可用上游速度计算，也可用下游速度计算。即：第40页，共61页，2023年，2月20日，星期三（2）截面突然缩小的ξ（3）渐扩圆管的ξθ8o10o12o15o20o25ok0.140.160.220.30.420.62第41页，共61页，2023年，2月20日，星期三（4）圆管弯头的ξ第42页，共61页，2023年，2月20日，星期三（5）圆管进口的ξ1：容器上的圆管进口：2：容器上的圆管平滑进口：3：容器上的内伸进口：δ/Db/D00.0020.010.050.500.50.570.630.81.00.0080.50.530.580.740.880.0160.50.510.530.580.770.0240.50.50.510.530.680.030.50.50.510.520.610.050.50.50.510.50.53第43页，共61页，2023年，2月20日，星期三（6）闸阀的ξh/d全开6/84/83/82/81/8ξ0.110.262.065.5217.097.8第44页，共61页，2023年，2月20日，星期三(8)渐缩圆管θ10o20o40o80o100o140ok0.40.250.20.30.40.6第45页，共61页，2023年，2月20日，星期三（9）折管（急剧弯管）：（10）孔板第46页，共61页，2023年，2月20日，星期三（11）流入静止大容器的管路出口：这种情况可看作为截面突然扩大的极限情况。即：（12）截止阀全开：（13）蝶阀全开：其他阀可参阅有关手册。第47页，共61页，2023年，2月20日，星期三减小局部损失的措施：对于实际的装置，只能根据其具体的结构条件来确定减阻措施。（1）对于管截面需要变化的位置，如果条件许可，可以用截面逐渐扩大或截面逐渐缩小来代替突然扩大或突然缩小。（2）容器上的圆管进口尽量改为平滑进口。（3）在可能的情况下，尽量增大阀门的开度。（4）对容器上的内伸进口，尽量缩短内伸长度。第48页，共61页，2023年，2月20日，星期三（5）对弯管（如蒸汽或风送管道），弯曲部分将产生较大的局部阻力。可安装适当形式的导流板。这样可避免弯曲部分的内、外侧出现大范围的旋涡区，也可减小二次流的产生和影响范围。实验证明：不装导流板时直角弯头的损失系数安装月牙形导流板时的损失系数：总的原则：尽量减小旋涡区，减小二次流的产生及波及范围，从而减小流体质点的撞击损失和减小速度重新分布时的动量交换。第49页，共61页，2023年，2月20日，星期三4.5工程应用（1）孔口出流恒定水位的容器，容器侧面的小孔面积为A。求出流流量。流体流出后收缩，在喉部的截面积为Acε称为面积收缩系数。由液面0-0，及截面c-c建立伯努利方程。第50页，共61页，2023年，2月20日，星期三流量为：上式中μ称为流量系数，显然：实验测得局部损失系数：面积收缩系数：因此流量系数：第51页，共61页，2023年，2月20日，星期三（2）管嘴出流将上例孔口改为一个短管。按照同样的方法可求得：但此时管嘴的流量系数为：第52页，共61页，2023年，2月20日，星期三（3）串联管路的水力计算串联管路是各种不同直径的管路串联而成。如下图所示：由液面0-0及出口截面3-3建立伯努利方程，有：第53页，共61页，2023年，2月20日，星期三故：对于无外泄漏的串联管路，各段流量应相等，即：当有外泄漏时，各段流量应为：第54页，共61页，2023年，2月20日，星期三对于长管（管路系统中局部损失相对沿程损失来