第十二章动能定理

第十二章动能定理第1页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-1

力的功§12-3

质点系动能定理与机械能守恒§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统§12-2

质点系的动能与刚体的动能第12章

质点系动能定理§12-4功率与功率方程§12-6

质点系普遍定理的综合应用第2页，共95页，2023年，2月20日，星期四

§12-1

力的功1、功的概念力的元功：如图示，质点在任意变力F作用下沿曲线运动，力在无限小位移dr中可视为常力，小弧段ds可视为直线，dr可视为沿M点的切线。在一无限小位移中力所做的功称为元功，以W表示。所以力的元功为写成直角坐标形式在一般情况下，上式右边不表示某个坐标函数的全微分，所以元功用符号W或d'W而不用dW。第3页，共95页，2023年，2月20日，星期四

§12-1

力的功力在有限路程上的功：力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分。或功的单位为焦耳(J)，1J=1Nm=1kgm2/s2第4页，共95页，2023年，2月20日，星期四

§12-1

力的功2、常见力的功（1）重力的功重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。对于质系，所有质点重力做功之和为由质心坐标公式，有第5页，共95页，2023年，2月20日，星期四

§12-1

力的功（2）弹性力的功在弹性限度内弹性力F可表示为：弹性力在有限路程M1M2上的功为第6页，共95页，2023年，2月20日，星期四弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。

§12-1

力的功（2）弹性力的功式中1，2分别为质点在起点及终点处弹簧的变形量。第7页，共95页，2023年，2月20日，星期四

§12-1

力的功（3）定轴转动刚体上作用力的功作用于定轴转动刚体上的力F的元功为力F在有限转动中的功为第8页，共95页，2023年，2月20日，星期四

§12-1

力的功（4）平面运动刚体上力系的功刚体上任意一点Mi的无限小位移可写为在有限路程上的功为第9页，共95页，2023年，2月20日，星期四xzyFAFBAB系统内力FA＝－FB这一对内力在什么情形下作功？什么情形下不作功？§12-1

力的功2、质点系内力的功第10页，共95页，2023年，2月20日，星期四xzyFAFBABrArB

FA和FB在drA和drB上所作之元功§12-1

力的功2、质点系内力的功第11页，共95页，2023年，2月20日，星期四drABxzyFAFBBrArBA这一结果表明：当两点之间的距离发生变化时，这两点之间的内力所作之元功不等于零。§12-1

力的功2、质点系内力的功第12页，共95页，2023年，2月20日，星期四工程上几种内力作功的情形

作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。

有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。

弹性构件横截面上的所有内力分量作负功。§12-1

力的功2、质点系内力的功第13页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-1

力的功3、理想约束约束力的元功的和等于零的约束称为理想约束。常见的理想约束有（1）光滑固定面和辊轴约束其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。第14页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-1

力的功3、理想约束（2）光滑铰链或轴承约束由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。第15页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-1

力的功3、理想约束（3）刚性连接的约束这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。（4）联结两个刚体的铰第16页，共95页，2023年，2月20日，星期四（5）柔性而不可伸长的绳索约束§12-1

力的功3、理想约束第17页，共95页，2023年，2月20日，星期四（6）纯滚动时，滑动摩擦力(约束力)不作功OvOC*FFNC*

为瞬时速度中心，在这一瞬时C*点的位移为零。作用在C*点的摩擦力F所作元功为§12-1

力的功3、理想约束一般情形下，两个相对滑动物体之间的摩擦力，其作用点都会发生相对位移，而且位移的方向与摩擦力的方向相反，因而，这时的摩擦力作功，且为负功。第18页，共95页，2023年，2月20日，星期四1、质点的动能2、质点系的动能动能是度量质点或质点系整体运动效应的特征量。§12-2质点系的动能与刚体的动能第19页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-2质点系的动能与刚体的动能3、刚体的动能（1）平动（2）定轴转动第20页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-2质点系的动能与刚体的动能3、刚体的动能（3）平面运动第21页，共95页，2023年，2月20日，星期四Am1例题1Oxx´y´m2BlvA已知滑块A的质量为m1，质点B的质量为m2,AB杆的长度为l、不计质量，可以绕A点转动，滑块的速度为vA。

求：系统的动能，并用广义坐标表示。§12-2质点系的动能与刚体的动能第22页，共95页，2023年，2月20日，星期四例题1解：1、广义坐标

滑块作水平直线运动；质点B作平面运动。系统具有2个自由度。广义坐标选择为x和。Am1Oxx´y´m2BlvAx§12-2质点系的动能与刚体的动能2、运动分析与速度分析

滑块作直线运动，速度为vA

质点B作平面运动。第23页，共95页，2023年，2月20日，星期四例题1vevr解：

质点B作平面运动。以A为基点，其牵连速度与相对速度分别为Am1Oxx´y´m2BlvAx§12-2质点系的动能与刚体的动能第24页，共95页，2023年，2月20日，星期四例题1解：3、计算系统动能滑块的动能vAvBAm1Oxx´y´m2BlvAx质点B的动能§12-2质点系的动能与刚体的动能第25页，共95页，2023年，2月20日，星期四例题1解：3、计算系统动能滑块的动能质点B的动能系统的总动能§12-2质点系的动能与刚体的动能第26页，共95页，2023年，2月20日，星期四

定轴转动刚体的动能——物理学已经得到的结论

定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的转动惯量与转动角速度平方乘积的一半。§12-2质点系的动能与刚体的动能

刚体的动能第27页，共95页，2023年，2月20日，星期四

平面运动刚体的动能——刚体的平面运动可以分解为跟随质心的平移(牵连运动)和相对于质心平移系的转动(相对运动)。根据柯希尼定理平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平移的动能与相对于质心平移系的转动动能之和。§12-2质点系的动能与刚体的动能

刚体的动能第28页，共95页，2023年，2月20日，星期四

对于质点：质点动能的微分等于作用在质点上合力的元功－微分形式1、动能定理的微分形式与积分形式§12-3

质点系动能定理与机械能守恒第29页，共95页，2023年，2月20日，星期四

对于质点：质点从某一位置运动到另一位置，其动能改变量等于运动过程中作用在质点上的合力所作之功。——积分形式

动能定理的微分形式与积分形式§12-3

质点系动能定理与机械能守恒第30页，共95页，2023年，2月20日，星期四

对于质点系：质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和——微分形式

动能定理的微分形式与积分形式§12-3

质点系动能定理与机械能守恒第31页，共95页，2023年，2月20日，星期四

对于质点系：质点从某一位形运动到另一位形，其动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的所有有功力所作之功的代数和——积分形式所有有功力－既包括外力，也包括内力；既包括主动力，也包括约束力。在理想约束系统中，只包括主动力(外力和内力)。

动能定理的微分形式与积分形式§12-3

质点系动能定理与机械能守恒第32页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-3

质点系动能定理与机械能守恒2、保守系统的机械能守恒保守系统——仅在有势力作用下的系统。机械能——系统所具有的动能与势能的总称。机械能守恒——系统仅在有势力作用下运动时，其机械能保持恒定。常数第33页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-4

功率与功率方程功率力的功率－力所作之功对时间的变化率力的功率等于力与其作用点速度的标积。

作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩与刚体转动角速度的标积。第34页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-4

功率与功率方程功率方程质点系动能定理的微分形式等式两边同除以dt

质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有有功力的功率之代数和。——功率方程第35页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-4

功率与功率方程功率方程

质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有有功力的功率之代数和。——功率方程——输入功率——有用功率，输出功率——无用功率，损耗功率第36页，共95页，2023年，2月20日，星期四解：1、求杆的速度§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统例3：系统如图所示，，初始时静止，弹簧为原长。求弹簧伸长s时，杆的速度和加速度。第37页，共95页，2023年，2月20日，星期四2、求杆的加速度§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题3第38页，共95页，2023年，2月20日，星期四例题4J1r1O1Mr2O2J2电动机滑轮1滑轮2胶带

已知传动机构的转速比为i，转动转动惯量J1和J2，胶带的质量为m，施加在电动机上的主动力偶的力偶矩M。求：电机轴的角加速度§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统第39页，共95页，2023年，2月20日，星期四例题4J1r1O1r2O2J2

解：这是一个单自由度系统，以电动机轴的转角作为广义坐标q=。

假设胶带不可伸长，胶带的内力不作功，胶带约束为理想约束；不计轴与轴承之间的摩擦，轴承亦为理想约束。于是只有主动力偶M作功。

假设滑轮1和2的角速度分别为

1和2，胶带的速度为v。对整体系统应用动能定理§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统第40页，共95页，2023年，2月20日，星期四例题4解：假设滑轮1和2的角速度分别为

1和

2，胶带的速度为v。对整体系统应用动能定理

应用转速比与速度、角速度之间的关系将动能定理仅用

1一个参数表示§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统第41页，共95页，2023年，2月20日，星期四例题4解：假设滑轮1和2的角速度分别为

1和

2，胶带的速度为v。对整体系统应用动能定理将动能定理仅用

1一个参数表示将等式两边同时对时间求一次导数§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统第42页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题5CODM卷扬机如图示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑，系统从静止开始运动。求：圆柱中心经过路程S时的速度。第43页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题5解：1、研究对象为整体。2、受力分析、运动分析如图。CODMCODMNFm2gm1gXOYOvC213、理想约束。主动力作功。设为鼓轮转过的角度。4、计算动能第44页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-5质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题5CODMNFm2gm1gXOYOvC21运动学关系第45页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题5CODMNFm2gm1gXOYOvC215、动能定理列方程。第46页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题6OxyAB均质细直杆AB长为l，质量为m，上端靠在光滑铅直墙面上，下端与均质圆柱的中心铰接。圆柱的质量为M，半径为R，放在粗糙的水平面上作纯滚动，其滚阻力偶忽略不计。当AB杆与水平线的夹角=45º时，该系统由静止开始运动。求：此瞬时轮心A的加速度第47页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-5质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题6解：1、研究对象为整体。2、受力分析、运动分析如图3、系统为理想约束，主动力作功。OxyABOxyABOxyABP1P2CAABvAMgmgvCN2N1F第48页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题6OxyABOxyABP1P2CAABvAMgmgvCN2N1F4、动能的一般表达式第49页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题6OxyABOxyABP1P2CAABvAMgmgvCN2N1F第50页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统例题65、动能定理列方程第51页，共95页，2023年，2月20日，星期四例题7

车床电动机的功率P输入＝5.4kW。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的30％。工件的直径d＝100mm。

求：转速n=42r/min和n=112r/min的允许最大切削力。§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统第52页，共95页，2023年，2月20日，星期四解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化其中§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统第53页，共95页，2023年，2月20日，星期四切削力F与工件在切削力作用点的速度v同向§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统第54页，共95页，2023年，2月20日，星期四当n=42r/min时当n=112r/min时§12-5

质点系动能定理应用于简单的刚体系统第55页，共95页，2023年，2月20日，星期四作业： 12-2,12-3，12-4, 12-8,12-12,12-16第56页，共95页，2023年，2月20日，星期四第12章

质点系动能定理质点系普遍定理的综合应用第57页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用动力学普遍定理动量定理动量矩动理动能定理动量方法能量方法第58页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用动力学两类问题与分析程序主动力质点系运动质点系运动动约束力非自由质点系第59页，共95页，2023年，2月20日，星期四动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。整体运动的变化所受的作用力动量定理动能定理动量矩定理动量力(冲量)动量矩力矩动能力的功动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。§12-6

质点系普遍定理的综合应用第60页，共95页，2023年，2月20日，星期四动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。§12-6

质点系普遍定理的综合应用第61页，共95页，2023年，2月20日，星期四动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程。§12-6

质点系普遍定理的综合应用第62页，共95页，2023年，2月20日，星期四动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。动能定理的表达式中含有路程参数。§12-6

质点系普遍定理的综合应用第63页，共95页，2023年，2月20日，星期四动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力(内力的主矢和主矩均为零)动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力(可变质点系)；对于理想约束，则只包含主动力。§12-6

质点系普遍定理的综合应用第64页，共95页，2023年，2月20日，星期四动量定理、动量矩定理和动能定理的比较分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的原则是：1、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地表达出来；2、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。§12-6

质点系普遍定理的综合应用第65页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用动力学两类问题与分析程序一般分析程序： 先避开未知约束力，求解运动量；然后再选择合适的定理，确定动约束力。需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质确定：系统是单自由度还是多自由度；是一处约束还是多处约束；是理想约束还是非理想约束。第66页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用动力学两类问题与分析程序需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质

对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统，一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩定理，确定动约束力。

对于具有一处约束的系统，或者虽然具有多处约束的系统，但所要求的是瞬时二阶运动量和未知约束力，这时可以联合应用动量定理和动量矩定理。

对于二自由度系统或多自由度系统，需要综合应用动能定理、动量定理、动量矩定理。这种情形下需要特别注意系统的守恒情形。第67页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题8滚轮重P3，半径为r2，对质心的回转半径为C，半径为r1的轴颈沿AB作无滑动滚动。滑轮重P2，半径为r，回转半径为，重块重P1。求:（1）重块的加速度；（2）EF段绳的张力；（3）D处约束力。第68页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题8解：系统具有一个自由度，选重块的位移s为广义坐标。系统具有理想约束，由动能定理建立系统运动与主动力之间的关系。1、系统在任意位置的动能式中第69页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题8第70页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题8第71页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题82、假想将EF段绳子剪断，考虑滑轮与重物组成的系统由动量矩定理:第72页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题83.以滚轮为分析对象由质心运动定理:第73页，共95页，2023年，2月20日，星期四BO2§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题9AO130oDWWWM均质圆轮A和B的半径均为r，圆轮A和B以及物块D的重量均为W，圆轮B上作用有力偶矩为M的力偶，且3Wr/2>M>Wr/2。圆轮A在斜面上作纯滚动。不计圆轮B的轴承的摩擦力。求：1、物块D的加速度；2、二圆轮之间的绳索所受拉力；3、圆轮B处的轴承约束力。第74页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题9

解：1、确定物块的加速度BO2AO130oDWWWMsDO对系统整体应用动能定理第75页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题9

解：1、确定物块的加速度BO2AO130oDWWWMsDO将所有运动量都表示成广义坐标sD的形式第76页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题9

解：BO2AO130oDWWWMsDO

为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到当M>Wr/2，aD>0，物块向上运动第77页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题9DBO2WWFTFByFBxM

解：2、确定圆轮A和B之间绳索的拉力AO1DWMBO230oWW

解除圆轮B轴承处的约束，将AB段绳索截开，对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用动量矩定理第78页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题9DBO2WWFTFByFBxM

解：

根据运动学关系第79页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题9DBO2WWFTFByFBxM

解：3、确定圆轮B轴承处的动约束力

对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用质心运动定理第80页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题10均质杆AB长l，质量为m。质量为M的重块B在常力F作用下，由图(a）所示静止位置开始运动。不计摩擦及A块重量。求:AB杆运动到铅垂位置时重块B的速度vB及此时A处的约束力。第81页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题10解：分析AB杆与重块B组成的系统。系统在初始位置的动能T0=0，当AB杆运动至铅垂位置，系统的动能为第82页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题10AB杆在铅垂位置的运动分析如图（b）所示此时A为瞬心，vC,vB方向如图所示。系统具有理想约束，主动力的功为Fmg第83页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题10根据动能定理Fmg第84页，共95页，2023年，2月20日，星期四§12-6

质点系普遍定理的综合应用例题10AB杆在铅垂位置时，杆A