第四章构件的强度计算

第四章构件的强度计算第1页，共47页，2023年，2月20日，星期三

4.1.1

截面的静矩和形心位置1.静矩（或一次矩）(单位：m3

或mm3

。）2.形心坐标公式OzdAyyxC第2页，共47页，2023年，2月20日，星期三3.组合截面的静矩截面对形心轴的静矩为04.组合截面的形心坐标公式1）静矩和形心坐标均与所取的坐标系有关，2）静矩和形心坐标均可正可负。第3页，共47页，2023年，2月20日，星期三4.1.2

惯性矩和极惯性矩及平行移轴2.极惯性矩1.惯性矩1)极惯性矩、惯性矩均与所取的坐标系有关，OzyyzrdA2)单位m4或mm4第4页，共47页，2023年，2月20日，星期三1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式yhCzbz’第5页，共47页，2023年，2月20日，星期三平行移轴公式注意：4.a、b代表形心C在yoz座标系中的坐标，可正可负。aycyzczCOb1.两轴必须平行；2.两轴中必须有一轴为形心轴：已知对形心轴的惯性矩和惯性积:已知非形心轴的惯性矩和惯性积:3.在一组平行轴系中对形心轴的惯性矩最小；第6页，共47页，2023年，2月20日，星期三例题：已知T型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心C点的位置，以及对形心轴的惯性矩。

解：1、求形心轴2、求组合图形对y0轴的惯性矩第7页，共47页，2023年，2月20日，星期三解：3、求组合图形对zo轴的惯性矩第8页，共47页，2023年，2月20日，星期三4.2拉压杆的应力，应变及强度条件一、应力的概念

两根相同材料做成的粗细不同的直杆在相同拉力作用下，用截面法求得的两杆横截面上的轴力是相同的。若逐渐将拉力增大，则细杆先被拉断。这说明杆的强度不仅与内力有关，还与内力在截面上各点的分布集度有关。当粗细二根杆轴力相同时，细杆内力分布的密集程度较粗杆要大一些，可见，内力的密集程度才是影响强度的主要原因。为此我们引入应力的概念。第9页，共47页，2023年，2月20日，星期三二、轴向拉压杆横截面上的应力平面假设：杆变形后各横截面仍保持为平面，这个假设称为平面截面假设。第10页，共47页，2023年，2月20日，星期三正应力：横截面上应力的方向垂直于横截面，称为“正应力”并以“

”表示：正应力式中为横截面上的正应力，FN为横截面上的轴力，A为横截面面积。说明当轴力为正时，

为拉应力取正号；当轴力为负时，

为压应力，取负号。应力的国际单位为Pa（KPa；MPa）

第11页，共47页，2023年，2月20日，星期三4.2.3：轴向拉压杆危险截面和危险点危险截面：应力最大的横截面等直杆计算公式第12页，共47页，2023年，2月20日，星期三解：AB段：BC段：CD段：|

|max=50MPa若AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2，求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力|

|max。第13页，共47页，2023年，2月20日，星期三4.2.4强度条件及其应用强度条件对等直杆可改写为第14页，共47页，2023年，2月20日，星期三例:图示结构，已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15mm×15mm的方截面杆。试求杆件AB、CB的应力，并校核AB杆的强度（已知容许应力[σ]

=100MPa）FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点B为研究对象：45°12BF45°第15页，共47页，2023年，2月20日，星期三2、计算各杆件的应力。FABC45°12BF45°

计算应力时代入轴力的符号，所有量都采用国际单位制！第16页，共47页，2023年，2月20日，星期三所以：AB杆满足强度条件，是安全的。第17页，共47页，2023年，2月20日，星期三4.2.5轴向拉（压）杆的变形·胡克定律纵向变形横向变形纵向伸长量:纵向线应变:

轴向拉（压）杆变形的有关概念（反映总变形）（反映变形程度）

杆的横向线应变与纵向线应变的符号相反，拉杆的纵向线应变为正，横向线应变为负（压杆则相反）。由试验可知，两横向线应变相等：应力不超过比例极限时有：杆件横向绝对变形为：μ为材料的横向变形系数或泊松比：

（无量纲常数）第18页，共47页，2023年，2月20日，星期三

拉（压）杆的变形量与其所受力之间的关系与材料的性能有关，试验证明：当杆内的应力不超过比例极限时有：胡克定律的另一形式：4.4.2胡克定律引入比例常数E，有：比例常数E称为弹性模量，单位：Pa，MPa，GPa。EA称为杆的抗拉刚度，反映杆抵抗拉伸（压缩）变形的能力。(Hooke’sLaw)（计算变形时将轴力FN的符号代入！）(应力应变关系表述)（受力与变形关系表述）（用于计算变形量）第19页，共47页，2023年，2月20日，星期三例：一阶梯轴钢杆如图，AB段A1＝200mm2，BC和CD段截面积相同A2＝A3＝500mm2；l1=l2=l3=100mm。荷载P1＝20kN，P2＝40kN，弹性模量E＝200GPa。试求：(1)各段的轴向变形；(2)全杆AD的总变形；(3)A和B截面的位移。解：(1)求各段轴力，作轴力图

并求各段变形：BC段AB段CD段+-20kN20kN注意：计算变形代入轴力符号，并使用统一单位制！第20页，共47页，2023年，2月20日，星期三(2)求全杆总变形（缩短）(3)求A和B截面的位移第21页，共47页，2023年，2月20日，星期三4.3材料的力学性质4.3.1低碳钢的拉伸实验

b.碳钢的分类低碳钢：含碳量<0.25%的结构钢中碳钢:含碳量0.25~0.55%的结构钢高碳钢:含碳量0.55~2.0%的结构钢a.最早公布该实验结果的是一位法国音乐家、哲学家，他做的是乐器的金属丝的拉伸实验。c.通过该实验可以绘出载荷—变形图和应力—应变图。第22页，共47页，2023年，2月20日，星期三低碳钢的拉伸实验

1、低碳钢的拉伸实验四个阶段εσOσpσeσsσbabcdea.弹性阶段：d.局部变形阶段oa段σ-εσ=Eε,E=tanασp:比例极限σe:弹性极限b.屈服阶段:σs:屈服极限c.强化阶段:σb:强度极限α第23页，共47页，2023年，2月20日，星期三无明显屈服点钢筋拉伸se00.20.2%第24页，共47页，2023年，2月20日，星期三材料的伸长率：截面收缩率：材料的塑性第25页，共47页，2023年，2月20日，星期三4.3.2材料压缩时的力学性能低碳钢的压缩实验第26页，共47页，2023年，2月20日，星期三单向应力状态下材料的力学行为单向压缩应力状态下材料的力学行为

第27页，共47页，2023年，2月20日，星期三低碳钢的压缩实验1.E、σs与拉伸时相似，σe、σp亦如此。2.屈服以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不能被压断。3.测不到强度极限σb和断裂极限σk。4.测低碳钢的力学性质时，一般不做压缩实验，而只做拉伸实验。第28页，共47页，2023年，2月20日，星期三铸铁等脆性材料的压缩实验第29页，共47页，2023年，2月20日，星期三第30页，共47页，2023年，2月20日，星期三4.4梁的弯曲应力和强度条件1、纯弯曲概念AC、BD段：Q＝0M＝0CD段：Q＝0M＝0纯弯曲剪切弯曲（横力弯曲）第31页，共47页，2023年，2月20日，星期三2、实验现象与假设1横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度2纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短（1）实验现象3矩形截面上部变窄下部变宽第32页，共47页，2023年，2月20日，星期三梁上部各层纵向纤维缩短，下部伸长，中间必有一层纤维长度不变，这层长度不变的称为中性层。中性层与横截面的交线为中性轴。平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴旋转了一个角度。中性层（2）假设第33页，共47页，2023年，2月20日，星期三各层纵向纤维的线应变与该点距中性层距离成正比〖1〗几何变形关系横截面上的正应力沿截面高度成线性分布的规律〖2〗物理关系弹性范围内，单向应力假设第34页，共47页，2023年，2月20日，星期三〖3〗正应力计算公式梁纯弯曲时横截面正应力计算公式：IZ－截面对中性轴的惯性矩M－所求截面的弯矩y－所求应力到中性轴的距离Z轴（中性轴）——形心轴矩形：IZ=bh3/12圆形：IZ=πD4/64第35页，共47页，2023年，2月20日，星期三1）M、y符号代入公式2）直接观察变形4、正负号确定第36页，共47页，2023年，2月20日，星期三4.4.2、梁的最大剪应力

由于分布复杂，与截面形状有关，故对不同截面分别研究。1、矩形截面梁（1）假设①

横截面上各点的剪应力方向均平行于截面侧边，即t方向与Q相同②剪应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等远的各点处t大小相同

Q

ttQ第37页，共47页，2023年，2月20日，星期三

1矩形剪应力分布规律最大剪应力为平均剪应力的1.5倍矩形第38页，共47页，2023年，2月20日，星期三截面边缘上各点剪应力与圆周相切，矩形截面上各点剪应力与Q平行的假设已不适用。但最大剪应力仍发生在中性轴2、圆形截面梁第39页，共47页，2023年，2月20日，星期三3、圆环形截面梁最大剪应力仍发生在中性轴第40页，共47页，2023年，2月20日，星期三（2）弯曲梁的强度计算梁需满足梁的强度涉及到正应力和切应力两个强度问题，一般按正应力强度设计，再用切应力强度校核。第41页，共47页，2023年，2月20日，星期三例题：如图所示矩形截面外伸梁，已知截面宽b=100mm，截面高h=120mm，P=30kN，q=6kN/m,材料[s]=170MPa，[t]=100MPa，试校核梁的强度。解：（1）作内力图（2）校核梁的强度第42页，共47页，2023年，2月20日，星期三∴安全（3）校核梁的剪应力强度（2）校核梁的正应力强度第43页，共47页，2023年，2月20日，星期三四、提高梁的弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的主要因素

[s]

1、更换材料：2、合理安排梁的受力情况