课件24无穷小与无穷大

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一、无穷小的概念与性质第三节无穷小与无穷大二、无穷大

第二章

一、无穷小的概念与性质定义2.3

若时,则称函数例如：函数x-1是的无穷小;函数是的无穷小;为时的无穷小

.1.无穷小的概念称为当的无穷小

.(4)以零为极限的数列都是时的无穷小.函数的无穷小.是除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!注1°

2°不能笼统地说某函数是无穷小，而应当说函数是自变量趋向某个值时的无穷小.例如，说是无穷小”是不对的;函数当时为无穷小.“函数而应当说，其中为时的无穷小.2.无穷小与函数极限的关系

定理2.4证当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);时,有3.无穷小的性质定理2.5

有限个无穷小的和仍为无穷小.证考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.注

1°

上述结论对于自变量的任一极限过程

(如：x)均成立；例如，2°无穷多个无穷小之和不一定是无穷小!定理2.6无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小.

推论1无穷小与常量的乘积是无穷小.推论2

有限个无穷小的乘积仍是无穷小.例1求解利用定理2.6,可知注

y=0是的水平渐近线.二、无穷大定义2.4

若

M>0,当时，总有则称函数当时为无穷大,

使得若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作1.无穷大的概念2.几何意义例2

证明证

M>0,要使只要故取则当时，有即渐近线注1°不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量；3°2°不能笼统地说某函数是无穷大，

而应当说函数是自变量趋向某个值时的无穷大；4°5°若在x的某一变化过程中，f(x)是无穷大，g(x)满足|g(x)|≥M(M>0),则f(x)g(x)是无穷大。若则称直线为曲线的铅直渐近线.6°

7°无穷大与无界的关系则则3.无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为定理2.7

在自变量的同一变化过程中,注无穷小来讨论.1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系内容小结例2-1求解

x→1时,分母→0,故不能直

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