多次相遇和追及问题含答案

多次相遇与追及问题知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“路程=速度X时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。例题精讲【例1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300x10=3000米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内3.5甲共行了3000x—35=1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行3.5+4300—200=100米才能回到出发点.【答案】100米巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答解析】17答案】17【例2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A,B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答解析】2倍。解：如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的24路程相等，即AC=2CB，推知AC=-AB•第一次相遇时，甲走了AB+BC=-AB，乙走了3 32AC二—AB,所以甲车速度是乙车的2倍。3答案】2倍巩固】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】甲、乙两人的速度和第一次为60^6=10（千米/时），第二次为12（千米/时），故第二次出发后5时相遇。设甲第一次的速度为x千米／时，由两次相遇的地点相距1千米，有6x－5（x＋1）=±1，解得x=6或x=4,即甲、乙二人的速度分别为6千米/时和4千米/时。答案】甲、乙二人的速度分别为6千米／时和4千米／时例3】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答1【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完丄圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙213共走完1+1=3圈的路程.所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相22遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100X3=300米.有甲、乙第二次3相遇时，共行走（1圈一60）+300，为工圈，所以此圆形场地的周长为480米.2答案】480米【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇•已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答解析】340答案】340【例4】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇.求A、B两地间的距离是多少千米？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95X3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95X3-25=285-25=260（千米）.答案】260千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】4X3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。答案】2千米【例5】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答解析】41千米答案】41千米【巩固】甲、乙两车同时从A,B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】24千米。提示：第一次相遇两车共行了A，B间的一个单程，其中乙行了54千米；第二次相遇两车共行了A，B间的3个单程，乙行了54X3=162（千米），乙行的路程又等于一个单程加42千米。故A，B间的距离为162—42=120（千米）。答案】120千米【例6】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答解析】4千米答案】4千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答解析】90千米答案】90千米【例7】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相遇时A地最近？最近距离是多少米？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析130X(300+240)—2400=6.75个全程，相遇3次，把全程分成9份，第一次相遇，甲跑5份，第二次相遇甲跑15份，距离A3份，第三次相遇甲跑25份距离A7份，所以第二次相遇距离A最近，最近为2400—9X3=800米。答案】800米【巩固】A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米。则甲、乙二人第 次迎面相遇时距B地最近。【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】填空【解析】半小时，两人一共行走(40+150)x30=5700米，相当于6个全程，两人行程每2个全程就会有一次相遇，而两人的速度比15：4，所以相同时间内两人的行程比为15：4，那么第一次相遇甲走了全程的一^x2=—，距离B11个全程，第二次相遇甲总行程16距离B—个全程，第三次2415+4 19 19 19 19 19距离—个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B地最近。19答案】第二次【例8】甲、乙两车分别从A,B两地出发，并在A,B两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是15千米／时，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。求A,B两地的距离。【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答15 3【解析】200千米。第一次相遇时，两车共走1个单程，其中乙车占」5=3。第三次相遇时，两车共15+25 8TOC\o"1-5"\h\z37 3 5走5个单程，乙车走了5x-=1-（个）单程；第四次相遇时，两车共走7个单程，乙车走了7x-=288 8 85 1（个）单程；因为第三次、四次相遇地点相差一+--1=-（个）单程，所以A,B两地相距8 2100一-=200（千米）。2答案】200千米【巩固】欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米。两人同时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米，AB之间的距离是 。【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】填空解析】130米。第二次应面相遇，两人合计跑了4个全程，速度比试&5，所以欢欢跑了4x—=-2=2—1-1-1/i 6、全程为5---—=130米1213丿答案】1-0米例9】甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为1.0米／秒和0.8米／秒。问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答解析】（1）250秒；（2）4次。提示：（2）甲、乙分别游了5个和14个单程，故迎面相遇4次。答案】（1）250秒；（2）4次巩固】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：100十（6+4）=10（秒）.此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了12x60-10二710（秒）.求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数.列式计算为：100+（6+4）=10（秒），Q2x60-10）+Q0x2）=3510，共相遇35+1=36（次）。注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长.【答案】36次 ...例10】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】这就是著名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡•斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图：0哈佛纽妁这是一张运行图.在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约.那么，他先画了如下一幅图：0哈佛纽妁这是一张运行图.在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约.那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）.而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.答案】15艘巩固】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答解析】先让学生用分析间隔的方式来解答：骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出.骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5x8=40（分钟）.再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示5分钟．甲站丄丄里¥: "f乙站O*~~Y0o——©——O——cO—Oa-五年级奥数.行程.多次相遇与追及问题.教师版 Page7of12第二步：因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与P点（注意：这两点在水平方向上正好有3个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车．g12甲站乙站9第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P点引出的粗线必须和10条平行线相交，这正好是图中从2等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车．g12甲站乙站9第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P点引出的粗线必须和10条平行线相交，这正好是图中从2号点至12号点引出的平行线．J0甲站叭从图中可以看出，骑车人正好经历了从P点到Q点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了5x8=40（分钟）.对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！答案】40分钟课堂检测【随练1】如右图，A,B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。乙乙【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】第一次相遇，两人共走了0.5圈；第二次相遇，两人共走了1.5圈。因为1.5一0.5=3,所以第二次相遇时甲走的路程是第一次相遇时甲走的路程的3倍，即ACD=ACx3=240（米），推知AB=240-BD=180（米），圆周长为180x2=360（米）答案】360米【随练2】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答解析】4千米答案】4千米【随练3】A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答解析】B第一次相遇第一次追上B第一次相遇第一次追上由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100-80=20（分钟）内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180十20），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80x（1+9）=800（分钟）乙第一次追上甲时,所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟（二100x2），所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟.答案】第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟随练4】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答解析】采用运行图来解决本题相当精彩！首先，甲跑一个全程需30十1=30（秒）乙跑一个全程需30十0.6=50（秒）.与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：

乙甲才 甲*当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了甲从图中可以看出,一个周期内共有5次相遇，其中第1，2,4乙甲才 甲*当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了甲从图中可以看出,不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了5x4=20（次）答案】20次家庭作业【作业1】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】176【答案】176【作业2】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4（千米）.而爸爸骑的距离是4+8=12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12一4=3（倍）•按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8X3=24（千米）•但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4+12=16（千米）.少骑行24-16=8（千米）•摩托车的速度是8^8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8+8+16=32.所以这时是8点32分。答案】8点32分【作业3】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B多远.【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答解析】12千米答案】1