北京市重点中学2022-2023学年数学八年级第一学期期末监测试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息

条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,

字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如果分式工.J1的值为零，那么X等于（）

X-1

A・—1B.0C.1+1

D.2.如图，将30。的三角尺以直角顶点A为旋转

中心顺时针旋转，使点C落在边的

A.30°B.60°C.90°D.150°

3.已知,是二元一次方程组+=的解，则m-n的值是（）

[y=2[nx-y=1

A.1B.2C.3D.4

4.若％<y,则下列不等式成立的是（）

A.-x+2<-y+2B.4x>4yc.x-2<y-2D.-3x<-3y

5.假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间

都要住满，她们有几种租住方案

A.5种B.4种C.3种D.2种

6.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.5,6,7C.1,4,9D.5,12,13

7.如图，在△A8C中，ZBAC=90°,40是高，8E是中线，C尸是角平分线，C尸交

40于G,交BE于H.下列结论：①S"=S"；②NA尸G=N4G尸；®ZFAG=

2ZACF；®BH=CH.其中所有正确结论的序号是（）

A

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

8.下列计算中正确的是（）

()

A.。2+。3=。5B.。10+。2=。5C.。2・。4=。8D.=。6

9.如图所示，AB/7CD,O为NBAC、NACD的平分线交点，OE_LAC于E,若OE

=2,则AB与CD之间的距离是（）

D

A.2B.4C.6D.8

x-2

10.下列分式中和分式--的值相等的是()

x+3

(x-2)(x+2)a-2)(x-2)

A-(x+3)(x-3)B，(x+3)(x-3)

(X-2)(X-3)

(x03)

c.(x+3)(x—3)

11.若一个正n边形的每个内角为156。，则这个正n边形的边数是（）

A.13B.14C.15D.16

12.把半径为0.5m的地球仪的半径增大0.5m,其赤道长度的增加量记为X,把地球的

半径也增加0.5m,其赤道长度的增加量记为匕那么X、F的大小关系是（）

A.X>YB.X<YC.X=YD.X+2it=Y

二、填空题（每题4分，共24分）

13.若等腰三角形的一个角为70°,则其顶角的度数为.

14.4、B、C三地在同一直线上，甲、乙两车分别从4B两地相向匀速行驶，甲车先

出发2小时，甲车到达B地后立即调头，并将速度提高10%后与乙车同向行驶，乙车

到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地，

设两车之间的距离为」（千米），甲行驶的时间x（小时）.y与x的关系如图所示，则5、

C两地相距千米.

15.如果一个多边形的内角和为1260%那么从这个多边形的一个顶点引对角线，可以

把这个多边形分成个三角

形.16.如图，在平面直角坐标系中，AABC是等

腰直角三角形，NABC=90。，AB平行x轴，点C在x轴上，若点A,B分别在正比

例函数y=6x和y=kx的图象上，则1<=___.

17.因式分解ax2-4a=---------------------------------.

18.若代数式立三有意义，则实数x的取值范围是.

4

三、解答题（共78分）

19.（8分）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化

衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给ft区困难孩子.已知该学校从批发市场花

4800元购买了黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价

如表:

批发价（元）零售价（元）

黑色文化衫2545

白色文化衫2035

⑴学校购进黑.白文化衫各几件？

（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润.

20.（8分）如图1,等腰直角三角形ABC中，NACB=90。，CB=CA,直线DE经过

点C,过A作AD±DE于点D,过B作BE±DE于点E,贝iJaBECgZkCDA,

我们称这种全等模型为“K型全等”.（不需要证明）

图1

（模型应用）若一次函数y=kx+4（k=#0的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点.

（1）如图2,当k=-l时，若点B到经过原点的直线1的距离BE的长为3,求点

A到直线1的距离AD的长;

图2

4

（2）如图3,当k=一不时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形,

O

求点

M的坐标；

图3

（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转

90°得到BQ,连接OQ,求OQ长的最小值.

21.（8分）在中，AB=AC,点E、尸分别在AB、AC上，BE=CF,BF

与CE相交于点P.

(1)求证：△BEC四△GFB；

(2)求证：BP=CP.

22.（10分）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立

了新的标杆.随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自

己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但

也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路

程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：

（1）普通列车的行驶路程为多少千米？

（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐

高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速

度.23.（10分）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种

水果共

60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每

种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供供信息，解答以下问题

苹果芦柑香梨

每辆汽车载货量（吨）765

每车水果获利（元）250030002000

（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式,

并直接写出x的取值范围

（2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w

的最大值.

24.（10分）如图，在A4BC中，已知/B=NC,的垂直平分线交力B于点N,

交/C于点连接MB

A

(1)若NABC=65。,则NNMA的度数是度

(2)若4B=10cm,AMBC的周长是18cm

①求BC的长度；

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出APBC周长的最小值

4a—4a—4

25.(12分)先化简，再求值：(——-a-2)v————-.其中a与2,3构成4ABC

a-2Ta2-4a+4

的三边，且a为整数.

26.小江利用计算器计算15x15,1x1,…，95*95,有如下发现：

15x15=21=1x2x100+1,

1x1=61=2x3*100+1

35x35=121=3*4x100+1,

小江观察后猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律：(ax10+5)2=a(a+1)

*100+1.但这样的猜测是需要证明之后才能保证它的正确性.请给出证明.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【解析】根据分式值为零的条件(分母不等于零，分子等于零)计算即可.

【详解】解：

*•*X丰］

v|r|-1=0

・•・犬=±1

:.%二一1

故选：A

【点睛】

本题考查了分式值为0的条件，当分式满足分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0,

分母不等于0这一条件是保证分式有意义的前提在计算时经常被忽视.

2、B

【分析】旋转的性质可得AC=AC,且NC=60,可证△ACC是等边三角形，即可求解.

【详解】1•将30。的三角尺以直角顶点4为旋转中心顺时针旋转，

：.AC=AC',且NC=60°

.•.△4CO是等边三角形，

：.ZCAC=60°,

雌B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键.3、

D

【分析】根据已知将<鼠=-1代入二元一次方程组+=得到叫n的值，即可

[y=2[nx-y=1

求得m-n的值.

【详解】•••八=-1是二元一次方程组合+2了=团

[y=2[=1

-3+4=m

A[-n-2=l

/.m=l,n=-3

m-n=4

故选：D

【点睛】

本题考查了二元一次方程组解的定义，已知二元一次方程组的解，可求得方程组中的参数.

4、C

【分析】根据不等式的性质依次分析判断即可.

【详解】A、x<y,则一X>一>,所以一x+2>->+2,故A错误；

B、x<y,则4x<4y,故B错误;

c、X<y,x-2<y-2,故C正确;

D、X<y,则一3x>-3y,故D错误；

雌C.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号

的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等

式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

5,C

【解析】试题分析：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，则根据题意得，

3x+2y=17,

•••2y是偶数，17是奇数，；.3x只能是奇数，即x必须是奇

数.当x=l时，y=7,

当x=3时,y=4,

当x=5时，y=l,

当x>5时，y<l.

•••她们有3种租住方案：第一种是：1间住3人的，7间住2人的，第二种是：3间住3

人的，4间住2人的，第三种是：5间住3人的，1间住2人

的.故选C.

6、D

【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最

长边的平方即可.

【详解】解：A、因为12+2#32,所以不能组成直角三角形；

B、因为52+62^72,所以不能组成直角三角形；

C、因为12+42^92,所以不能组成直角三角形；

D、因为52+122=132,所以能组成直角三角

形.故选：D.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，

只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

7、B

【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出

ZABC=ZCAD,根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出

ZFAG=ZACD,根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可.

【详解】解：•••BE是中线，

，AE=CE,

•••SAABE=SABCE(等底等高的三角形的面积相等)，故①正确；

VCF是角平分线，

；.NACF=NBCF,

VAD为高，

ZADC=90°,

VZBAC=90°,

NABC+NACB=9()°,ZACB+ZCAD=90°,

；.NABC=NCAD,

VZAFG=ZABC+ZBCF,NAGF=NCAD+NACF,

二NAFG=NAGF,故②正确；

；AD为高，

/.ZADB=90",

VZBAC=90",

AZABC+ZACB=90°,ZABC+ZBAD=90°,

.,.ZACB=ZBAD,

；CF是NACB的平分线，

:.ZACB=2ZACF,

；.NBAD=2NACF,

即NFAG=2/ACF,故③正确；

根据已知条件不能推出NHBC=NHCB,即不能推出BH=CH,故④错误；

B.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等

腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

8、D

【分析】运用幕的运算法则即可进行判断.

【详解】A中a2和b3不是同底数嘉，也不是同类项，不能合并，A错；

同底数幕相除，底数不变，指数相减，B错;

同底数募相乘，底数不变，指数相加，C错；

嘉的乘方，底数不变，指数相乘，D对

故本题正确选项为D.

【点睛】

本题考查了塞的运算法则，掌握相关知识点是解决本类题的关

键.9、B

【分析】过点O作MN,MNLAB于M,求出MN_LCD,则MN的长度是AB和CD

之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们

求和即可.

【详解】如图，过点O作MN,MNJ_AB于M,交CD于N,

VAB/7CD,

AMNlCD,

：AO是NBAC的平分线，OM_LAB,OE±AC,OE=2,

，OM=OE=2,

；CO是NACD的平分线，OE_LAC,ON1CD,

/.ON=OE=2,

.*.MN=OM+ON=1,

即AB与CD之间的距离是

1.故选B.

【点睛】

此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离；熟练掌握角平分线的性质定理是

解决问题的关键.

10、C

【分析】根据分式的基本性质进行判断.

x—2x—2

【详解】解：A、分式一；的分子、分母变化的倍数不一样，所以该分式与分式-7

x+3x+3

的值不相等.故本选项错误；

x—2x—2

B、分式；工的分子、分母变化的倍数不一样，所以该分式与分式xH的值不相等.故

本选项错误；

x-2

C、分式一^的分子、分母同时乘以不为零的因式（x-3）,分式的值不变，所以该分

x+3

x-2

式与分式一的值相等.故本选项正确；

x+3„

x-2x-2

D、分式/的分子、分母变化的倍数不一样，所以该分式与分式丫工^1值不相等.故

本选项错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了分式的基本性质.分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于。的整式，

分式的值不变.

11、C

【解析】试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156。，可求得其外角的度数，继

而可求得此多边形的边数，则可求得答案.

解：•.•一个正多边形的每个内角都为156。，

.•.这个正多边形的每个外角都为：180。-156。=24。，

.•.这个多边形的边数为：360。+24。=15,

故选C.

考点：多边形内角与外

角.12、C

【分析】根据圆的周长公式分别计算长X,丫比较即可得到结论.

【详解】解：•.•地球仪的半径为0.5米，

.♦.X=2x（0.5+0.5）IT-2x0.5jr=n/n.

设地球的半径是r米，可得增加后，圆的半径是（升0.5）米，

Y=2（r+0.5）7t-lnr=nm,

：.X=Y,

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，正确的理解题意是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、70。或40。

【分析】分顶角是70°和底角是70°两种情况求解即可.

【详解】当70。角为顶角,顶角度数即为70°;

当70。为底角时，顶角=180。或*70。=40。.

答案为：70。或40°.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶

角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论才是十分重要的，也是解答问题的关键.

14、1.

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得甲乙两车的速度，再根据“路程=速

度X时间”，即可解答本题.

【详解】解：设甲车的速度为a千米/小时，乙车的速度为b千米/小时，

彳(6—2)x(a+历=5601a=80

(6—2)6=(9—6)a,解得,

,2=OU

:.A、B两地的距离为：80X9=720千米,

设乙车从B地到C地用的时间为x小时，

60x=80(1+10%)(x+2-9),

解得，x=22,

则B、C两地相距：60x22=1(千米)

故答案为：1.

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用

数形结合的思想解答.

15、1

【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算分成三角形的个数.

【详解】解：设此多边形的边数为》，由题意得：x-2X18O=126O,

解得；x=9,

从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成的三角形个数：9-2=1,

故答案为：1.

【点睛】

此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形的内角和公式180〃-2.

6

16、一

7

【分析】根据点A在正比例函数y=6x的图像上，设点A为(x,6x),由AB平行x轴,

AB=BC,可以得到点B的坐标为：(7x,6x),代入计算，即可求出k的值.

【详解】解：•••点A在正比例函数y=6x的图像上,

则设点A为(x,6x),

•由AB平行x轴，

...点B的纵坐标为6x,

,.•△ABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,

/.AB=BC=6x,

.•.点B的横坐标为：7x,

即点B为(7x,6x),

把点B代入y=kx,则

6x=7x•k,

7

6

故答案为：一

7

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，正比例函数的图像和性质，以及坐标与图形，解题的

关键是利用点A的坐标，正确表示出点B的坐标.

17、a(x+2)(%-2).

【详解】试题分析：原式=a(x2-4)=a(x+2)(x-2).故答案为a(x+2)(x-

2).考点：提公因式法与公式法的综合运用.

18、x>3

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求出x的取值范围.

【详解】解：•.•代数式五三3有意义，

4

/.x—3>0,

Ax>3.

故答案为：x>3.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握被开方数大于或等于0.

三、解答题(共78分)

19、⑴学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件；(2)该校这次义卖活动共获得

3800

元利润.

【分析】(1)设学校购进黑文化衫X件，白文化衫y件，根据两种文化衫200件共花费

4800元，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)根据总利润=每件利润*数量，即可求出结论.

【详解】解：(1)设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，

[x+y=200

依题意，得：(25X+20y=4800'

x=160

解得：\S.

y=40

答：学校购进黑文化衫160件，白文化衫40

件.(2)(45-25)x160+(35-20)x40=3800(%).

答：该校这次义卖活动共获得3800元利润.

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关

键.

77

20、(1)a；(2)点M的坐标为(7,3)或(1,7)或(2，2)；(3)OQ的最小值

为1.

【分析】(1)先求出A、B两点的坐标，根据勾股定理即可求出OE的长，然后利用

AASffitBAADO^AOEB,即可求出AD的长；

(2)先求出A、B两点的坐标，根据等腰直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出

对应的图形，利用AAS证出对应的全等三角形即可分别求出点M的坐标；

(3)根据k的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，设点A的坐标为(x,0),

证出对应的全等三角形，利用勾股定理得出OQ2与x的函数关系式，利用平方的非负

性从而求出OQ的最值.

【详解】解：(1)根据题意可知：直线AB的解析式为y=-x+l

当x=0时，y=l；当y=0时，x=l

...点A的坐标为(1,0)点B的坐标为(0,1)

/.OA=BO=1

根据勾股定理：OE=4OB2—BE2=J7

•:ZADO=ZOEB=ZAOB=90°

.\ZAOD+ZOAD=90°，ZAOD+ZBOE=90°

.\ZOAD=ZBOE

在△ADO和△OEB中

&DO=NOEB

,ZOAD^ZBOE

OA=BO

/.△ADO^AOEB

，AD=OE="

4

（2）由题意可知：直线AB的解析式为y=-7x+l

当x=0时,y=l；当y=0时,x=3

:.点A的坐标为（3,0）点B的坐标为（0,1）

，OA=3,BO=1

①当AABM是以NBAM为直角顶点的等腰直角三角形时，AM=AB,过点M作MN±x

轴于N

VZMNA=ZAOB=ZBAM=90°

ZMAN+ZAMN=90°,ZMAN+ZBAO=90°

/.ZAMN=ZBAO

在AAMN和△BAO中

ZMNA=ZAOB

<ZAMN^ZBAO

/.△AMN^ABAO

.\AN=BO=1,MN=AO=3

.\ON=OA+AN=7

此时点M的坐标为（7,3）;

②当AABM是以NABM为直角顶点的等腰直角三角形时，BM=AB,过点M作MN±y

轴于N

VZMNB=ZBOA=ZABM=90°

/.ZMBN+ZBMN=90°,NMBN+NABO=90°

ZBMN=ZABO

在△BMN和△ABO中

rZMNB^ZBOA

<ZBMN=^ABO

BM=AB

/.△BMN^AABO

，BN=AO=3,MN=BO=1

.*.ON=OB+BN=7

此时点M的坐标为(1,7)；

③当AkBM是以NAMB为直角顶点的等腰直角三角形时，MA=MB,过点M作MNJ_x

轴于N,MDJ_y轴于D,设点M的坐标为(x,y)

:.MD=ON=x,MN=OD=y,ZMNA=ZMDB=ZBMA=ZDMN=90°

/.BD=OB-OD=l-y,AN=ON-OA=x-3,ZAMN+ZDMA=90",ZBMD+

ZDMA=90°

.*.ZAMN=ZBMD

在AAMN和△BMD中

ZMNA=ZMDB

<ZAMN^ZBMD

MA=MB

/.△AMN^ABMD

AMN=MD,AN=BD

.\x=y,x-3=1-y

7

解得：x=y=-

77

此时M点的坐标为（彳，-）

77

综上所述：点M的坐标为（7,3）或（1,7）或（讶，2X

（3）①当k<0时，如图所示，过点Q作QNJ_y轴，设点A的坐标为（x,0）该直线

与x轴交于正半轴，故x>0

/.OB=1,OA=x

由题意可知：ZQBA=90°,QB=BA

VZQNB=ZBOA=ZABQ=90°

...NQBN+NBQN=90°,ZQBN+ZABO=90"

/.ZBQN=ZABO

在4BQN和△ABO中

4QNB=ZBOA

<4BQN=ZABO

BQ=AB

.,.△BQN^AABO

.*.QN=OB=1,BN=OA=x

.,.ON=OB+BN=l+x

在RtZUDQN中，OQ2=ON2+QN2=(1+X)2+12=(x+1)2+I6,其中x>0

/.OQ2=(X+1)2+16>16

②当k>0时，如图所示，过点Q作QN_Ly轴，设点A的坐标为(x,0)该直线与x

轴交于负半轴，故x<0

AOB=1,OA=-x

由题意可知：NQBA=90°,QB=BA

VNQNB=NBOA=NABQ=9()°

...NQBN+NBQN=90°,NQBN+NABO=9()°

:.ZBQN=ZABO

在△BQN和△ABO中

'^NB=ZBOA

<NBgN=N/BO

.♦.△BQNg△ABO

，QN=OB=1,BN=OA=-x

.\ON=OB-BN=l+x

在RtZkOQN中,OQ2=ON2+QN2=(1+X)2+12=(x+1)2+I6,其中x<0

•,.OQ2=(X+1)2+16216(当x=O时,取等号)

综上所述：OQ2的最小值为16

.♦.OQ的最小值为1.

【点睛】

此题考查是一次函数与图形的综合大题，难度系数较大，掌握全等三角形的判定及性质、等

腰三角形的性质、勾股定理、平方的非负性和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.21、(1)

见详解；(2)见详解

【分析】(D根据等腰三角形的性质等边对等角、全等三角形的判定进行推导即可；

(2)由(1)的结论根据全等三角形的性质可得NBCE=NCBF,再利用等式的性质

可得NFBC=NECB,最后由等腰三角形的判定等角对等边可得结论.

【详解】(1)证明：•••AB^AC

J.ZABC^^ACB

在△BEC和ACFB中

BE=CF

<ZABC=ZACB

BC=CB

：.^BEC^^CFB(SAS)

(2)证明：'：LBEC^LCFB

：.ZBCE=ZCBF

:.BP=CP.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等式的性质等知识点，体

现了逻辑推理的核心素养.

22、(1)普通列车的行驶路程为520千米(2)普通列车的平均速度是120千米/时，

高铁的平均速度是300千米/时.

【解析】(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程

的1.3倍，两数相乘即可得出答案；

(2)设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩

短3小时，列出分式方程，然后求解即可.

【详解】(1)普通列车的行驶路程为：400x1.3=520(千米)；

(2)设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度为2.5千米/时，则题意得:

400520.

-------=-----^3,

2.5xx

解得:x=120,

经检验x=120是原方程的解，

则高铁的平均速度是120x2.5=300(千米/时)，

答：普通列车的平均速度是120千米/时，高铁的平均速度是300千米/时.

【点睛】

此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方

程时要注意检验.

23、(1)y=-2x+10(2Wx«4)；⑵见解析.

【解析】(1)设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆

(10-x-y)辆•根据表格可列出等量关系式7x+6y+5(10-x-y)=60,化简得

y=-2x+10(2<x<4).

(2)由利润=车辆数“每车水果获利可得w=—15()()x+3()()0(),因为2WX