第二节矩阵的特征值与特征向量

第二节矩阵的特征值与特征向量第1页，共28页，2023年，2月20日，星期三§2方阵的特征值和特征向量例1~4特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的性质例5~9第2页，共28页，2023年，2月20日，星期三特征值与特征向量的概念定义设为阶方阵,如果数和维非零向量使成立,则称数为的一个特征值,零向量称为的对应于特征值的特征向量.注:阶方阵的特征值,就是使齐次线性方程组有非零解的值,都是矩阵的特征值;的即满足方程非第3页，共28页，2023年，2月20日，星期三特征值与特征向量的概念定义设为阶方阵,如果数和维非零向量使成立,则称数为的一个特征值,零向量称为的对应于特征值的特征向量.非称关于的一元次方程程,为的特征方称的一元次多项式特征多项式.为的第4页，共28页，2023年，2月20日，星期三特征值与特征向量的计算定义设为阶方阵,如果数和维非零向量使成立,则称数为的一个特征值,零向量称为的对应于特征值的特征向量.非根据上述定义,即可给出特征向量的求法:设为方阵的一个特征值,则由齐次线性方程组可求得非零解特征向量.若是方程组的基础解系,则的对应于特征值的特征向量的全体可表示为那么就是的对应于特征值的完第5页，共28页，2023年，2月20日，星期三例1解代入与特征方程对应的齐次线性方程组,求矩阵矩阵的特征方程为所以是矩阵的两个不同的特征值.以得基础解系是的特征值与特征向量.故的全部特是矩阵对应于征向量.第6页，共28页，2023年，2月20日，星期三例1解求矩阵的特征值与特征向量.完以代入与特征方程对应的齐次线性方程组,得基础解系是特征向量.故是矩阵对应于的全部第7页，共28页，2023年，2月20日，星期三例2解求的特征值与特征向量.特征值时,当解方程设由基础解系第8页，共28页，2023年，2月20日，星期三例2解由基础解系当时,解方程故对应于的全体特征向量为由第9页，共28页，2023年，2月20日，星期三例2解由得基础解系故对应于的全体特征向量为不同时为0).(完第10页，共28页，2023年，2月20日，星期三例3解特征向量.求阶数量矩阵的特征值与故的特征值为把代入得第11页，共28页，2023年，2月20日，星期三例3解把代入得性无关的向量都是它的基础解系,取单位向量组作为基础解系,所以任意个线于是的全部特征向量为这个方程组的系数矩阵是零矩阵,(不全为零).完第12页，共28页，2023年，2月20日，星期三例4解试求上三角矩阵的特征值:因此的特征值等于这是一个上三角行列式,因此,完第13页，共28页，2023年，2月20日，星期三特征值与特征向量的性质性质1阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值.证由有知与有相同的特征多项式,故它们的特征值相同.性质2设阶矩阵,是则第14页，共28页，2023年，2月20日，星期三特征值与特征向量的性质性质2设阶矩阵,是则式中是的全体阶主子式的和.设是的个特征值,则完第15页，共28页，2023年，2月20日，星期三例5证试证:是必要性于是充分性对应的特征向量为由特征值的定义,有阶矩阵是奇异矩阵的充分必要条件有一个特征值为零.若是奇异矩阵,则即是的一个特征值.设有一个特征值为所以齐次线性方程组有非零解由此可知即为奇异矩阵.第16页，共28页，2023年，2月20日，星期三例6证证明因证毕.设是方阵的特征值,当可逆时,是的特征值;是的特征值.是的特征值;因故有使当可逆时,由有知故即是的特征值.是的特征值.所以于是第17页，共28页，2023年，2月20日，星期三定理阶方阵互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.证用数学归纳法.时,因特征向量不为零,成立.设前个特征值对应的特征向量线性无关,欲证线性无关.设①成立,以矩阵乘①式两端,由整理得②由①,②消去得结论第18页，共28页，2023年，2月20日，星期三定理阶方阵互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.证由①,②消去得于是①式化为故线性无关.第19页，共28页，2023年，2月20日，星期三定理阶方阵互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.注:线性无关的特征向量;有个不同的特征值,阶方阵属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量;矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.则有个因为,若设同时是的属于两个不同的特征值的特征向量,即第20页，共28页，2023年，2月20日，星期三定理阶方阵互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.因为,若设同时是的属于两个不同的特征值的特征向量,即由得与定义矛盾.故结论成立.完第21页，共28页，2023年，2月20日，星期三例7解的线性无关的特征向量组.求阶矩阵3的特征多项式为的特征值以及相应这个多项式的根为因此的特征值等于接下来求特征向量:对将代入第22页，共28页，2023年，2月20日，星期三例7解因此的特征值等于接下来求特征向量:对将代入容易算出这个方程组的系数矩阵秩等于因此齐次线性方程组的基础解只有一个线性无关的向量,不难求出为得对代入可得齐次方程组:将第23页，共28页，2023年，2月20日，星期三例7解对代入可得齐次方程组:将求出这个齐次线性方程组的基础解系为正好等于因此的相应于特征值的线性无关的特征向量有于是的线性无关的特征向量有个,个,而相应于特征值的线性无关的特征向量有个,的阶数完第24页，共28页，2023年，2月20日，星期三例8证按题设,故用反证法,则应存在数于是即设和是矩阵的两个不同的特征值,应的特征向量依次为和证明有设是的特征向量,的特征向量.不是使对故由上式得因由本节定理知线性无关,第25页，共28页，2023年，2月20日，星期三例8证用反证法,在数于是即设和是矩阵的两个不同的特征值,应的特征向量依次为和证明设是的特征向量,的特征向量.不是使对故由上式得因由本节定理知线性无关,则应存即与题设矛盾.因此不是的特征向量.完第26页，共28页，2023年，2月20日，星期三例9证即正交矩阵的实特征值的绝对值为设为正交矩阵,是方阵的对应于特征值的特征向量,则因又所以得注:的特征值是特征方程的也是的根.①