顺义区2020-2021学年第一学期期末考试

第第页顺义区2020-2021学年第一学期期末考试高三数学试卷考生须知本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分，考试时间120分钟．在答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和教育ID号．试题答案一律填涂或书写在答题卡，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．考试结束后，请将答题卡上交．第一部分（选择题共40分）选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合，，则A.B.C.D.（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则A.B.C.D.（3）在的展开式中，常数项为A.B.C.D.（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.（5）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯A．32盏B．64盏C．128盏D.196盏（6）设双曲线的方程为，若的一条渐近线的斜率为，则的离心率为A. B. C. D.（7）已知，且，则下列不等式中不恒成立的是A.B.C.D.（8）已知两条直线m，n和平面α，且，则“”是“”的A.充分必要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件（9）在中，，则A．B．C．D.（10）已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是A．B．C．D.第二部分（非选择题共110分）填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）．（12）设抛物线的焦点为，则=_____；若点在抛物线上，且，则点的坐标为______．（13）已知函数，能说明既是偶函数又在区间上单调递减的一组整数的值依次是______．（14）已知单位向量满足，则与夹角的大小为_____；（）的最小值为______．（15）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆相交于点，．给出下列三个命题：①存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；②存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形；③存在，使的周长最大．其中，所有真命题的序号为__________．解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．（16）（本小题满分13分）在三棱柱中，平面，，，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（17）（本小题满分14分）函数，，的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．（18）（本小题满分14分）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如下表：运动鞋款式ABCDE回访顾客（人数）700350300250400满意度0.30.50.70.50.6注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．（Ⅰ）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；（Ⅱ）从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）

（19）（本小题满分14分）已知椭圆经过点和．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C交于，两点，且坐标原点到直线的距离为．求证：以为直径的圆经过点．（20）（本小题满分15分）已知函数.（Ⅰ）若QUOTEQUOTEa=2a=2,求曲线的斜率等于3的切线方程；（Ⅱ）若QUOTEQUOTEfxfx在区间上恰有两个零点，求QUOTEQUOTEaa的取值范围.（21）（本小题满分15分）已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意项，在中都存在两项，使得.(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列.

参考答案选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）题号12345678910答案BDAACACCDB二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.；12.，(前3分，后2分)；13.（答案不唯一）；14.，(前3分，后2分)；15.①③三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为平面，所以.2分又，平面，平面，所以平面.4分因为平面，所以.5分（Ⅱ）在三棱柱中，，因为由平面，所以平面.所以，，两两垂直.如图，以为原点，建立空间直角坐标系，6分所以，，，.设平面的法向量为，因为，，所以.即.令，则，.所以平面的一个法向量为.9分因为平面，所以平面的一个法向量为.10分所以.13分所以二面角的余弦值为.17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题设图象知，周期，因为，所以．2分而由题意知，所以．4分因为函数的图象过点，所以．所以．所以又因为，所以.故函数的解析式为.7分（Ⅱ）9分==11分因为，所以.所以当时，即时，取到最小值，且最小值为.14分18.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为2分故此顾客是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是.4分（Ⅱ）X的取值为0，1，2.5分设事件为“从A款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件为“从E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，且事件相互独立.根据题意，估计为，估计为.则6分7分8分所以的分布列为：X0120.280.540.1810分的期望是：.12分（Ⅲ）.14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点，所以.1分又因为椭圆经过点，所以，解得.3分所以椭圆的方程为．4分（Ⅱ）由，可得.6分由题意，，设，，所以，.8分因为原点到直线的距离为，所以.即.9分因为10分11分13分所以.即.因此以为直径的圆过原点.14分20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）当时，，，2分设切点为，则，解得或（舍）3分所以.切点为4分所以所求切线方程为.即.5分（Ⅱ）因为，6分由及定义域，令，得.7分①当，即时，在上，所以在QUOTEQUOTE[1,e][1,e]上单调递增.此时在QUOTEQUOTE[1,e][1,e]上不可能存在两个零点；9分②当，即时，在上，所以在QUOTEQUOTE[1,e][1,e]上单调递减.此时在QUOTEQUOTE[1,e][1,e]上不可能存在两个零点；11分③当，即时，要使在区间QUOTEQUOTE[1,e][1,e]上恰有两个零点，则，即，此时.综上，实数QUOTEQUOTEaa的取值范围是.15分21.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）数列不满足性质①，理由如下：2分取数列中的，，所以.由，解得，显然不是整数.所以在数列中不存在，使得，故数列不满足性质①；4分（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，理由如下：5分对于中任意两项，，记，因此，从而数列满足性质①；7分对于中任意项，记，，显然有