第五章控制系统的稳定性分析

第五章控制系统的稳定性分析第1页，共82页，2023年，2月20日，星期三一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。第2页，共82页，2023年，2月20日，星期三Mbcoodfabcde条件稳定系统b、c——允许偏差范围d、e——规定偏差边界稳定系统不稳定系统第3页，共82页，2023年，2月20日，星期三

稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性也可以这样定义：第4页，共82页，2023年，2月20日，星期三

若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。第5页，共82页，2023年，2月20日，星期三

控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是讨论输入为零，仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。至于机械工程系统往往用激振或外力的方法施以强迫振动或运动，而造成系统共振或偏离平衡位置，这并不是控制理论所要讨论的稳定性。第6页，共82页，2023年，2月20日，星期三

系统稳定的充要条件ttt=0t--传递函数第7页，共82页，2023年，2月20日，星期三--反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。第8页，共82页，2023年，2月20日，星期三可见，稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关；控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。第9页，共82页，2023年，2月20日，星期三控制系统稳定的充分必要条件是：

系统特征方程式的根全部具有负实部。或闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。到底如何判断呢？第10页，共82页，2023年，2月20日，星期三

代数稳定判据

为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。第11页，共82页，2023年，2月20日，星期三一、劳斯判据稳定的必要条件：特征方程中各项系数>0稳定的充分条件：劳斯阵列中第一列所有项>0特征方程？第12页，共82页，2023年，2月20日，星期三劳斯阵列如下：一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部>0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。第13页，共82页，2023年，2月20日，星期三解：满足必要条件

13-23第14页，共82页，2023年，2月20日，星期三-例3K为何值时，系统稳定解题步骤？第15页，共82页，2023年，2月20日，星期三劳斯判据的两种特殊情况：1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零；2、某一行所有元素均为零。第16页，共82页，2023年，2月20日，星期三

第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。101第17页，共82页，2023年，2月20日，星期三02第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。[S]行为0，表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。

第18页，共82页，2023年，2月20日，星期三由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征根。2、某一行所有元素均为零

表明在S平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根，[S]显然，这些根的数目一定是偶数。第19页，共82页，2023年，2月20日，星期三辅助多项式\1\3

第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。辅助方程388\1\6\800

系统临界稳定第20页，共82页，2023年，2月20日，星期三

乃奎斯特稳定判据-闭环特征方程第21页，共82页，2023年，2月20日，星期三第22页，共82页，2023年，2月20日，星期三这一判据是由H.nyquist首先提出来的。因为在控制系统设计中，一些元件的数学表达式往往是未知的，仅仅知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定性分析方法比较方便。由解析的方法、或者由实验的方法得到的开环频率响应曲线，都可以用来进行稳定性分析。因为闭环系统的绝对稳定性可以由开环频率响应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中得到了广泛应用。第23页，共82页，2023年，2月20日，星期三一、米哈伊洛夫定理

——证明Nyquist判据的一个引理

第24页，共82页，2023年，2月20日，星期三证明：先看一次式0第25页，共82页，2023年，2月20日，星期三0第26页，共82页，2023年，2月20日，星期三0第27页，共82页，2023年，2月20日，星期三再来研究零点在右半S平面的一次式0第28页，共82页，2023年，2月20日，星期三0第29页，共82页，2023年，2月20日，星期三

幅角增量与控制系统稳定性之间什么关系？第30页，共82页，2023年，2月20日，星期三二、Nyquist稳定判据1、反馈系统开环与闭环的特征方程式-开环极点闭环极点第31页，共82页，2023年，2月20日，星期三2、Nyquist稳定判据0说明什么？第32页，共82页，2023年，2月20日，星期三0第33页，共82页，2023年，2月20日，星期三第34页，共82页，2023年，2月20日，星期三0第35页，共82页，2023年，2月20日，星期三Nyquist判据又可以叙述为：第36页，共82页，2023年，2月20日，星期三-例7K为何值时,系统稳定0-1第37页，共82页，2023年，2月20日，星期三例8判别系统稳定性第38页，共82页，2023年，2月20日，星期三-1第39页，共82页，2023年，2月20日，星期三例9第40页，共82页，2023年，2月20日，星期三-10第41页，共82页，2023年，2月20日，星期三三、Nyquist稳定判据的第二种表述第42页，共82页，2023年，2月20日，星期三0-1第43页，共82页，2023年，2月20日，星期三-100第44页，共82页，2023年，2月20日，星期三

把原点处的开环极点当成左半S平面的极点（即不考虑q)，显然只需知道开环在右S平面的极点P即可；在S平面上做封闭曲线包围整个右S平面；四、Nyquist稳定判据的第三种表述第45页，共82页，2023年，2月20日，星期三-1第46页，共82页，2023年，2月20日，星期三全频率的Nyquist判据为：第47页，共82页，2023年，2月20日，星期三-1第48页，共82页，2023年，2月20日，星期三-1第49页，共82页，2023年，2月20日，星期三全频率的Nyquist判据为：第50页，共82页，2023年，2月20日，星期三第51页，共82页，2023年，2月20日，星期三-1第52页，共82页，2023年，2月20日，星期三-1第53页，共82页，2023年，2月20日，星期三

应用Nyquist判据

分析延时系统的稳定性

延时环节是线性环节，机械工程中许多系统中具有这种环节。第54页，共82页，2023年，2月20日，星期三一、延时环节串联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性-可见：延时环节不改变幅频特性仅影响相频特性。第55页，共82页，2023年，2月20日，星期三例5-14-带有延时环节的系统不是最小相位系统第56页，共82页，2023年，2月20日，星期三

明显看出，虽然一阶、二阶系统总是稳定的，但系统中若存在延时环节，也可能变为不稳定。CNGR第57页，共82页，2023年，2月20日，星期三二、延时环节并联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性--第58页，共82页，2023年，2月20日，星期三

由伯德图判断系统的稳定性一、Nyquist图与Bode图的对应关系第59页，共82页，2023年，2月20日，星期三二、利用Bode图判断稳定性稳定不稳定第60页，共82页，2023年，2月20日，星期三：稳定第61页，共82页，2023年，2月20日，星期三稳定第62页，共82页，2023年，2月20日，星期三利用Nyquist判据判断使系统稳定的K值范围。Nyquist曲线刚好通过（-1，j0）点，系统临界稳定。思路？方法？第63页，共82页，2023年，2月20日，星期三第64页，共82页，2023年，2月20日，星期三第65页，共82页，2023年，2月20日，星期三第66页，共82页，2023年，2月20日，星期三求使系统稳定的临界K值忽略忽略第67页，共82页，2023年，2月20日，星期三若采用劳斯判据判断系统稳定的K值范围第68页，共82页，2023年，2月20日，星期三注意：利用Nyquist判据的结论与利用劳斯判据的结论不一致，其原因是Bode图用的是渐进线，有误差。只要两种方法结论一致。第69页，共82页，2023年，2月20日，星期三二、利用Bode图判断稳定性2、普遍情况

负穿越一次正穿越一次负穿越半次正穿越半次第70页，共82页，2023年，2月20日，星期三正负穿越之差为零，系统闭环稳定半次正穿越系统闭环稳定第71页，共82页，2023年，2月20日，星期三正负穿越之差为1-2=-1，系统闭环不稳定正负穿越之差为2-1=1，系统闭环稳定---第72页，共82页，2023年，2月20日，星期三

§5-7控制系统的相对稳定性一、利用劳斯判据看系统相对稳定性[S]第73页，共82页，2023年，2月20日，星期三不满足系统稳定的必要条件：特征方程中各项系数>0第74页，共82页，2023年，2月20日，星期三这便是通常所说的相对稳定性，它通过对（-1，j0）点的靠近程度来度量。定量表示为：二、利用乃氏判据看系统相对稳定性极其相对稳定性指标第75页，共82页，2023年，2月20日，星期三

1、相位裕量

正相位裕量具有正相位裕量的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在的频率下，允许相位再增加度才达到临界稳定条件。因此相位裕量也叫相位稳定性储备。第76页，共82页，2023年，2月20日，星期三2、幅值裕量当时，开环幅频特性的倒数。在Bode图上，

正相位裕量线以上正幅值裕量0dB线以下正幅值裕量第77页，共82页，2023年，2月20日，星期三负幅值裕量负相位裕量线以下

具有负幅值裕量及负相位裕量时，闭环不稳定。负幅值裕量0dB线以上负相位裕量第78页，共82页，2023年，2月20日，星期三

工程实践中，为使系统有满意的稳定储备，一般希望：第79页，共82页，2023年，2月20日，星期三

如果仅以相位裕量来判断系统的稳定性,就会得出系统稳定程度很高的结论,而系统的实际稳定程