第二讲线代数的运算ppt恢复

第二讲线代数的运算ppt恢复第1页，共19页，2023年，2月20日，星期三例1.计算矩阵的特征值解：设为A的特征值，是对应于的特征向量此线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式的值为零，由第2页，共19页，2023年，2月20日，星期三在MATLAB中计算矩阵X的特征值与特征向量的方法如下：[V,D]=EIG(X)producesadiagonalmatrixDofeigenvaluesandafullmatrixVwhosecolumnsarethecorrespondingeigenvectorssothatX*V=V*D.D是由矩阵X的特征值组成的对角矩阵，V的每一列是对应于特征值的特征向量.例2求矩阵的特征值与特征向量解：A=[4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1];[V,D]=eig(A)第3页，共19页，2023年，2月20日，星期三V=00.5774-0.89440-0.57740.44721-0.57740D=1000-20001即对应的两个特征向量为：而对应的一个特征向量为：对应的全部特征向量为：而对应的全部特征向量为：第4页，共19页，2023年，2月20日，星期三例3.求矩阵B，BB’的特征值、特征向量解：B=[3,0,0;0,2,0;1,1,1],[D1,V1]=eig(B),[D,V]=eig(B*B’),

D=-0.2953-0.3048-0.9054-0.49540.8592-0.12770.81690.4109-0.4048V=0.70240004.956400010.3412第5页，共19页，2023年，2月20日，星期三例4.将矩阵A的行向量与列向量标准化解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A)B=0.26730.53450.80180.45580.56980.68380.65850.75260C=0.12310.20740.44720.49240.51850.89440.86160.82960二.向量的标准化与矩阵的范数1.Matlab中将矩阵的行向量、列向量单位化的命令：normr(A)，normc(A)第6页，共19页，2023年，2月20日，星期三2.矩阵的范数有以下几种：(1)n=norm(A)矩阵A的普范数(2范数),

=A’A的最大特征值的算术根.(2)n=norm(A,1)矩阵A的列范数（1-范数）等于A的最大列之和.(3)n=norm(A,inf)矩阵A的行范数(无穷大范数)

等于A的最大行之和.(4)n=norm(A,'fro')矩阵A的Frobenius范数.记为：第7页，共19页，2023年，2月20日，星期三

3.方阵的谱半径：方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的谱半径记为：上述范数之间的关系：例5.求矩阵的谱半径由例2知矩阵A的特征值分别为1，-2。第8页，共19页，2023年，2月20日，星期三例6.计算矩阵A的各种范数n1=norm(A,1),n2=norm(A),n3=norm(A,inf)，n4=norm(A,'fro')解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9];n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564第9页，共19页，2023年，2月20日，星期三三.求线性方程组AX=b的解1.若矩阵A可逆，则X=A\b例7.

解线性方程组解：A=[2,3,5;3,6,8;6,5,4];b=[12;34;43];

det(A)=-29,矩阵A可逆，于是X=A\bans=0.275912.3793-5.1379检验：A*Xans=12.000034.000043.0000第10页，共19页，2023年，2月20日，星期三2.求齐次线性方程组AX=0的非零解Matlab中Z=null(A,‘r’)就是求AX=0的基础解系，其中Z的列向量即为所求基础解系例8.求方程组的通解：formatrat %指定有理式格式输出Z=null(A,‘r’) %求解空间的有理基

Z=25/3-2-4/31001解：A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3];故所求通解为：第11页，共19页，2023年，2月20日，星期三化成行简化阶梯形求AX=b的解Matlab中的命令为：C=[A,b]%增广矩阵C.D=rref(C)%将C化成行最简化阶梯形则D的最后一列元素就是所求的解.例9.求线性方程组AX=b的解其中A=[2,3,5;3,6,8;6,5,4]，b=[12;34;43].解：C=[A,b]；D=rref(C)；

D=1000.275901012.3793001-5.1379

第12页，共19页，2023年，2月20日，星期三四.特殊矩阵及其应用E=eye(n):表示n维单位矩阵,E=eye(m,n):表示主对角元素为1,其余元素为零的矩阵.例如：eye(3)=2.A=ones(n,m)：表示元素全为1的n×m矩阵3.A=zeros(n,m)：产生n×m维零矩阵4.A=rand(n,m):产生n×m维随机矩阵（元素在0～1之间）第13页，共19页，2023年，2月20日，星期三例10.下表是全国5个主要湖泊的实测数据

指标湖泊总磷（mg/L）耗氧量(mg/L)透明度(m)总氮(mg/L)杭州西湖13010.300.352.76武汉东湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.23试用矩阵A表示上表所示的矩阵，2.计算每个指标与该指标平均值之差的绝对值.第14页，共19页，2023年，2月20日，星期三解：A=[130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23];mean(A)=[61.00007.75801.20001.3760]各指标的平均值为：生成一个5-by-4的矩阵B，各行都是mean(A):B=ones(5,1)*mean(A),然后得到所求矩阵C为：C=abs(A-B)=69.00002.54200.85001.384044.00002.94200.80000.624041.00006.35803.30001.156031.00001.49800.95000.294041.00002.37200.70001.1460为什么？怎样生成?第15页，共19页，2023年，2月20日，星期三生成一个5-by-4的矩阵B，各行都是mean(A)还有如下方法

：B=a(ones(5,1),:)，其中a=mean(A)练习：将各指标与该指标的最大值相减，然后再比上该指标的极差.提示：max(A):表示矩阵A中各列向量的最大值；min(A):表示矩阵A中各列向量的最大值；range(A)=max(A)-min(A):表示各列极差.第16页，共19页，2023年，2月20日，星期三本次课学习的MATLAB命令一览表命令功能[V,D]=EIG(X)求矩阵X的特征值与特征向量normr(A)将矩阵A的行向量单位化normc(A)将矩阵A的列向量单位化Z=null(A,‘r’)求AX=0的基础解系(Z的列向量)rref(C)将C化成行最简化阶梯形矩阵norm(A)矩阵A的普范数(2范数)norm(A,1)矩阵A的列范数（1-范数）norm(A,inf)矩阵A的行范数(无穷大范数)norm(A,'fro')矩阵A的Frobenius范数ones(n,m)表示元素全为1的n×m矩阵zeros(n,m)产生n×m维零矩阵第17页，共19页，2023年，2月20日，星期三作业：命令功能max(A)计算矩阵A的各列元素的最大值min(A)计算矩阵A的各列元素的最小值range(A)计算矩阵A的各列元素的极差sum(A)计算矩阵A的各列元素的和abs(A)将矩阵A中各元素取绝对值eye(n)产生n阶单位矩阵1.求矩阵A的特征值、特征向量、各种范数、谱半径2.A中各行向量夹角余弦、及各种距离，判别那两个最接近3.