第五章频率响应法

第五章频率响应法第1页，共112页，2023年，2月20日，星期三第五章频域分析法5.1频率特性5.2典型环节和开环频率特性5.3奈奎斯特稳定性判据5.4稳定裕度5.5闭环频率特性End本章作业频域分析法：是利用频率特性来研究系统第2页，共112页，2023年，2月20日，星期三一、什么是频率特性？频率响应，指的是：不同频率的正弦输入信号作用下，系统的稳态响应的特性。具体哪些特性？二、频率特性与传递函数的关系？三、频率特性如何表示？（数学形式？图形？）5.1频率特性的基本概念第3页，共112页，2023年，2月20日，星期三频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。5.1频率特性第4页，共112页，2023年，2月20日，星期三AB相角问题①稳态输出迟后于输入的角度为：②该角度与ω有BA360oφ=AB③该角度与初始关系∴为φ(ω),角度无关∴,…第5页，共112页，2023年，2月20日，星期三A(ω)称幅频特性，φ(ω)称相频特性。二者统称为频率特性。

基本概念（物理意义）5.25.35.45.5第6页，共112页，2023年，2月20日，星期三设系统稳定，则正弦输入时输出为：C(s)=Φ(s)R(s)=s2+ω2Arω∏(s-si)∏(s-zj)kΦ*1nm1s-siai∑1n=++s+jωB1s-jωB2Cs(s)=ct(t)=∑aies

tict(∞)=0∵系统稳定，∴Φ(jω)Ar2j(s-jω)+=ArΦ(-jω)-2j(s+jω)Φ(jω)ejωt

Φ(-jω)e-jωtAr2jcs(t)=Φ(s)(s+jω)(s-jω)Arωs+jωB1+s-jωB2频率特性第7页，共112页，2023年，2月20日，星期三Φ(jω)=a(ω)+jb(ω)c(ω)+jd(ω)Φ(-jω)=c(ω)-jd(ω)a(ω)-jb(ω)Φ(-jω)Φ(jω)∠Φ(-jω)∠Φ(jω)Cs(s)=Φ(jω)Ar2j(s-jω)+=ArΦ(-jω)-2j(s+jω)Φ(jω)ejωt

Φ(-jω)e-jωtAr2jcs(t)s+jωB1+s-jωB2Ar

Φ(jω)ej∠Φ(jω)ejωte-j∠Φ(jω)e-jωt2jAr

Φ(jω)sin(ωt+∠Φ(jω))第8页，共112页，2023年，2月20日，星期三一、什么是频率特性？不同频率的正弦输入信号作用下，系统的稳态响应的特性。

1、线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号2、稳态输出的幅值和相位都随频率变化3、两个定义幅频特性：稳态输出与输入的幅值比，随输入的频率变化。A(ω)相频特性：稳态输出与输入的相位差，随输入的频率变化。φ(ω)4、频率特性：幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性它反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。Ar

Φ(jω)sin(ωt+∠Φ(jω))

r(t)=Arsin(ωt)Cs(t)稳态输出输入第9页，共112页，2023年，2月20日，星期三二、频率特性与传递函数的关系？Ar

G(jω)sin(ωt+∠G(jω))

r(t)=Arsin(ωt)Cs(t)稳态输出幅频特性：A(ω)

=

G(jω)相频特性：φ

(ω)

=

∠

G(jω)根据定义：频率特性的指数形式：

A(ω)ejφ

(ω)=G(jω)ej∠

G(jω)=

G(jω)

=

G(s)

s=jω若已知传递函数G(s)，可直接得到频率特性:G(jω)

=

G(s)

s=jω频率特性是系统的一种数学模型，是频域中的数学模型输入,传递函数:G(s)第10页，共112页，2023年，2月20日，星期三R1C1i1(t)第11页，共112页，2023年，2月20日，星期三G(jω)

=

G(s)

s=jω=A(ω)ejφ

(ω)

=P(ω)+jQ(ω)

=A(ω)φ(ω)三、频率特性的表示？指数形式实频+虚频图形表示？极坐标形式第12页，共112页，2023年，2月20日，星期三用于描述频率特性的几种曲线（频率特性的图形表示）三种曲线：1、幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线、极坐标图）2、对数频率特性曲线（伯德图、波特图）3、对数幅相曲线（尼柯尔斯曲线）频率特性：A(ω)ejφ(ω)=G(jω)ej∠

G(jω)第13页，共112页，2023年，2月20日，星期三

1、幅相频率特性曲线：幅相曲线、奈氏曲线、极坐标图

横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复数平面。对于一个确定的频率ω，必有一个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从0变化到∞时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线，这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。在幅相曲线上用箭头表示出ω增大时幅相曲线的变化方向（绘图：起点、终点、特殊点）

主要用于系统稳定性的分析ReIm0A(ω)φ(ω)频率特性：G(jω)=G(jω)ej∠

G(jω)=A(ω)ejφ(ω)

=P(ω)+jQ(ω)因为幅频特性为ω的偶函数，相频特性为ω的奇函数，所以ω从0变化到∞和ω从0变化到-∞的幅相曲线关于实轴对称，所以一般只画出ω从0变化到∞的幅相曲线第14页，共112页，2023年，2月20日，星期三2、对数频率特性曲线：波特图、伯德图、Bode图包括两个图：对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线横坐标为角频率ω，但采用对数lgω线性分度。对数幅频曲线：纵坐标的单位是分贝（dB），线性分度

记作：对数相频曲线：纵坐标，单位是度（°），

线性分度通常将这两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；第15页，共112页，2023年，2月20日，星期三对数频率特性曲线：02040-40-200.010.1110100045o90o-90o-45o0.010.1110100dB横坐标为角频率ω，采用lgω分度，十倍频程的长度相等伯德图优点：展宽频带化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。对数分度优点：扩大频带。但坐标原点处ω不能为0dec第16页，共112页，2023年，2月20日，星期三对数坐标系ω12345678910lgω00.3010.4770.6020.6990.7880.8450.9030.9541第17页，共112页，2023年，2月20日，星期三3、

对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线Nichols）：横坐标：相角，单位：度（°）纵坐标：L(ω)，单位：分贝db

ω为参量均为线性分度L(ω)第18页，共112页，2023年，2月20日，星期三一、什么是频率特性？二、频率特性与传递函数的关系？三、频率特性如何用图形表示？5.1频率特性的基本概念第19页，共112页，2023年，2月20日，星期三5.2典型环节和开环频率特性的图形表示一、典型环节的幅相曲线（极坐标图）二、系统开环频率特性的极坐标图三、典型环节的对数频率特性曲线（伯德图）四、系统开环频率特性的伯德图五、对于最小相位系统，如何由开环对数幅频特性曲线求开环传递函数第20页，共112页，2023年，2月20日，星期三典型环节

比例环节：K惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0

一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0

5.2典型环节和开环频率特性积分环节：1/s微分环节：s振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];

式中ωn>0，0<ζ<1二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;

式中ωn>0，0<ζ<15.2.1幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制

5.15.35.45.55.2.35.2.2第21页，共112页，2023年，2月20日，星期三比例环节的频率特性是G(jω)=K，幅相曲线如下左图。kj0图5.3比例环节K的幅相曲线·

比例环节图5.4比例环节的

对数频率特性曲线比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：

L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=0相应曲线如上右图。动画演示0020lgK

(dB)(o)ωω111010第22页，共112页，2023年，2月20日，星期三积分环节的对数幅频特性是L(ω)=-20lgω,过（1,0）点斜率-20db/dec而相频特性是φ(ω)=-90o

积分环节图5.61/jω和jω的对数坐标图ωjω1/jω0.1(dB)jω110020-2020dB/dec-20dB/dec1/jω(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jωjω

ω=0

0图5.7微分环节幅相曲线0

ω

图5.5积分环节的幅相曲线

j

微分环节G(s)=s和G(jω)=jω=ω∠π/2L(ω)=20lgω,而相频特性是φ(ω)=90o。动画演示第23页，共112页，2023年，2月20日，星期三注意：传递函数互为倒数，伯德图中对数幅频特性曲线：关于0db线对称对数相频特性曲线：关于0。线对称图5.61/jω和jω的对数坐标图ωjω1/jω0.1(dB)jω110020-2020dB/dec-20dB/dec1/jω(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jωG(s)=s第24页，共112页，2023年，2月20日，星期三ω<<1/T,L(ω)≈-20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈-20lgωT=-20(lgω-lg1/T)

一阶微分环节G(s)=Ts+1惯性环节

G(s)=1/(Ts+1),ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T图5.91+jT和1/(1+jT)的对数坐标图

(o)90-9000.1110ω-1/Tjp0(a)θjω+1/T图5.8

惯性环节极点—零点图(a)和幅相曲线(b)ω=0j0ω=∞-45oω=1/T(b)Kω<<1/T,L(ω)≈20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈20lgωT=20(lgω-lg1/T)

补充2转折频率补充1近似低频高频极坐标图第25页，共112页，2023年，2月20日，星期三当ω由零至无穷大变化时，惯性环节的极坐标图是正实轴下方的半个圆周，证明如下：

这是一个标准圆方程，其圆心坐标是，半径为。且当ω由时，由，说明惯性环节的极坐标图是实轴下方半个圆周第26页，共112页，2023年，2月20日，星期三推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即其极坐标图是圆心为，半径为的实轴下方半个圆周。第27页，共112页，2023年，2月20日，星期三当时，，当，，用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，即在的低频段时，，与零分贝线重合；在的高频段时，，是一条斜率为-20（dB/dec.）的直线。

上述两条直线在处相交，交点频率称为交接频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。惯性环节对数幅频特性曲线的渐近线如图4-14所示。惯性环节惯性环节的频率特性是其对数幅频特性是第28页，共112页，2023年，2月20日，星期三渐近特性精确特性图4-14惯性环节的Bode图

很明显，距离交接频率愈远，愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离交接频率愈近，渐近线的误差愈大。等于交接频率时，误差最大，最大误差为第29页，共112页，2023年，2月20日，星期三

时的误差是时的误差是误差曲线对称于交接频率，如图4-15所示。由图4-15可知，惯性环节渐近线特性与精确特性的误差主要在交接频率上下十倍频程范围内。交接频率十倍频以上的误差极小，可忽略。经过修正后的精确对数幅频特性如图4-14所示。

第30页，共112页，2023年，2月20日，星期三

惯性环节的相频特性为(4-75)当时，；当时，；当时，。对应的相频特性曲线如图4-14所示。它是一条由00至-900范围内变化的反正切函数曲线，且以和的交点为斜对称。

图4-15惯性环节对数幅频特性误差修正曲线第31页，共112页，2023年，2月20日，星期三G(s)=Ts+1，振荡环节

j

ω-1/T

0

(a)

jω+1/T

ω=0

j

0ω

1(b)图5.10一阶微分环节的极点—零点图(a)和幅相曲线(b)G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]图5.11振荡环节的幅相曲线动画演示第32页，共112页，2023年，2月20日，星期三ω<<ωn时L(ω)≈0

ω>>ωn时L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lgω-lgωn)10110图5.12

振荡环节的对数坐标图ω/ωn

0.1(dB)1040-2040dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω/ωn

20ωn为转折频率第33页，共112页，2023年，2月20日，星期三谐振频率ωr与谐振峰值Mr：当阻尼比比较小时，在转折频率ω=ωn附近将出现谐振峰值推导定位38页第34页，共112页，2023年，2月20日，星期三积分环节L(ω)①G(s)=1s②G(s)=10s1③G(s)=5s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]第35页，共112页，2023年，2月20日，星期三①G(s)=s②G(s)=2s③G(s)=0.1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20][+20][+20]微分环节L(ω)第36页，共112页，2023年，2月20日，星期三惯性环节G(jω)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.45 0.37 0.24 0.05第37页，共112页，2023年，2月20日，星期三①G(s)=10.5s+1100②G(s)=s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100惯性环节L(ω)[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90o第38页，共112页，2023年，2月20日，星期三①G(s)=0.5s+10.3②G(s)=(0.25s+0.1)L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-2020100一阶微分L(ω)0o+30o+45o+60o+90o[+20][+20]第39页，共112页，2023年，2月20日，星期三振荡环节G(jω)(0<ξ<1)(0<ξ<0.707)第40页，共112页，2023年，2月20日，星期三振荡环节G(jω)幅相曲线（Nyquist曲线）0j1第41页，共112页，2023年，2月20日，星期三振荡环节L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]第42页，共112页，2023年，2月20日，星期三振荡环节再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr(0＜ξ＜0.707)[-40]0＜ξ＜0.5ξ=0.50.5＜ξ＜1友情提醒:φ(ωn)=-90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w=ω=

r第43页，共112页，2023年，2月20日，星期三二阶微分j01幅相曲线对数幅频渐近曲线0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ξ<0.707时有峰值：几点说明…第44页，共112页，2023年，2月20日，星期三时滞环节第45页，共112页，2023年，2月20日，星期三5.2典型环节和开环频率特性的图形表示一、典型环节的幅相曲线（极坐标图）二、系统开环频率特性的极坐标图三、典型环节的对数频率特性曲线（伯德图）四、系统开环频率特性的伯德图五、对于最小相位系统，如何由开环对数幅频特性曲线求开环传递函数第46页，共112页，2023年，2月20日，星期三1、开环传递函数Gk(s)2、将s=jω带入，得到开环频率特性Gk(jω)，并写出幅频A(ω)，相频φ(ω)，实部P(ω)和虚部Q(ω)3、确定起点(ω=0）和终点（ω∞）4、确定与负实轴、虚轴的交点5、所在象限、单调性5.2.2开环幅相曲线的绘制P198第47页，共112页，2023年，2月20日，星期三5.2.2开环幅相曲线的绘制5.2.15.2.3起点终点第48页，共112页，2023年，2月20日，星期三对于0型系统，v=0，起点（K，j0）I型系统，v=1，起于一条平行于虚轴的渐近线上，与虚轴距离Vx=II型系统，v=2，起于一条平行于实轴的渐近线上，与实轴距离Vy=起点第49页，共112页，2023年，2月20日，星期三0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]例题1：绘制

的幅相曲线。解：求交点：

曲线如图所示：开环幅相曲线的绘制令.064,056,0)]j(GRe[222=+w=w+w-=w无实数解，与虚轴无交点第50页，共112页，2023年，2月20日，星期三例题1、已知，绘制幅相频率特性曲线。2、已知，绘制幅相频率特性曲线。第51页，共112页，2023年，2月20日，星期三5.2典型环节和开环频率特性的图形表示一、典型环节的幅相曲线（极坐标图）二、系统开环频率特性的极坐标图三、典型环节的对数频率特性曲线（伯德图）--见前面内容四、系统开环频率特性的伯德图五、对于最小相位系统，如何由开环对数幅频特性曲线求开环传递函数第52页，共112页，2023年，2月20日，星期三画法1、根据叠加性质画图5.2.2开环对数频率特性曲线的绘制画法2、简便方法画图两种画法：各典型环节对数幅频特性之和各典型环节相频特性之和叠加：斜率相加第53页，共112页，2023年，2月20日，星期三第54页，共112页，2023年，2月20日，星期三方法2：简便画法P202一般的近似对数幅频特性曲线有如下特点(重点掌握)：1.最左端直线斜率为（—20ν）dB/dec,ν是积分环节数。1、开环传函化成若干个典型环节串联的时间常数标准形式2、除了比例、积分和微分环节外，对于其它一阶环节和二阶环节，确定各典型环节的转折频率，并从小到大依次画在横坐标上。然后按下面方法绘制2.最左端直线或其延长线(当w<1的频率范围内有转折频率时)过（ω=1，201gK分贝）点和（K1/ν，0dB)点

3.在转折频率处，折线斜率发生改变。改变多少取决于典型环节种类：在惯性环节的转折频率之后，斜率减少20dB/dec；而在二阶振荡环节的转折频率后，斜率减少40dB/dec；一二阶微分环节后，斜率增加。第55页，共112页，2023年，2月20日，星期三20根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线例5.1

系统开环传函为,试绘制系统的Bode曲线。解：第56页，共112页，2023年，2月20日，星期三已知系统开环传递函数为试绘出开环对数渐近幅频曲线。例5.2第57页，共112页，2023年，2月20日，星期三绘制L(ω)例题100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]绘制的L(ω)曲线低频段：时为38db时为52db转折频率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]低频段经过以下两点：（1，32）（40，0）第58页，共112页，2023年，2月20日，星期三5.2典型环节和开环频率特性的图形表示一、典型环节的幅相曲线（极坐标图）二、系统开环频率特性的极坐标图三、典型环节的对数频率特性曲线（伯德图）四、系统开环频率特性的伯德图五、对于最小相位系统，如何由开环对数幅频特性曲线求开环传递函数第59页，共112页，2023年，2月20日，星期三5.2.3最小相角系统和非最小相角系统的区别最小相角(相位)系统的开环零点、极点均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。20-20ωL(dB)10L(dB)50-20-40100ωL(dB)ω-40-40-20ω1ωcω2幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同。

最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出相应的传递函数。如：5.2.15.2.2注意：高低频的近似第60页，共112页，2023年，2月20日，星期三已知最小相位系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。例5.3波特图判定最小相位系统低频段：斜率为-20vdb/dec，相角-90v高频段：斜率为-20(n-m)db/dec相角-90o(n-m)第61页，共112页，2023年，2月20日，星期三1、应用开环频率特性判断闭环稳定性．其中开环频率特性可部分实验求取；2、便于研究系统参数和结构的改变对稳定性影响；3、可以研究包含延时环节的稳定性；4、可以推广到非线性研究。Nyquist判据的特点：Nyquist判据——开环幅相曲线判断闭环系统稳定性。——开环对数频率特性判断闭环系统稳定性。5.3奈奎斯特稳定判据第62页，共112页，2023年，2月20日，星期三奈氏稳定判据的推导奈氏稳定判据奈氏判据在0型、I型及以上系统稳定性分析中的应用奈氏判据在波特图中的应用5.3奈奎斯特稳定判据第63页，共112页，2023年，2月20日，星期三一、幅角定理在s平面上任选一复数s，通过复变函数F(s)的映射关系在F(s)平面上可以找到s相应的象。若在F(s)的零－极点分布图上，选择A点，使s从A点开始移动，绕F(s)的零点Zi

顺时针依曲线s（

s不通过任何零极点）转一周回到A，相应地，F(s)也可从

B

点出发回到

B，也画出一条封闭曲线

F。AS平面

sB

FF平面第64页，共112页，2023年，2月20日，星期三若s依

s变化时，F(s)

相角的变化为则有：从图中可以看出，除之外，其它各项均为零。△∠F(s)=-2π表示

s的象F从B点开始再回到B点绕着原点顺时针转了一圈。AS平面

sB

FF平面第65页，共112页，2023年，2月20日，星期三幅角定理：

设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在封闭曲线

s内部有

Z个F(s)零点，P个F(s)极点，则

s

沿着

s顺时针转一圈时，在

F(s)

平面上，F(s)

曲线绕原点逆时针转的圈数

R

为

P与

Z

之差，即

R=

P

-

Z同理，若

s绕F(s)的极点顺时针转一圈时，在F(s)上s的象

F绕原点反时针转一圈。由此，可得映射的幅角定理：AS平面

sB

FF平面第66页，共112页，2023年，2月20日，星期三二、F(s)的确定1、其零点和极点分别是闭环和开环的特征根；2、其零极点个数相同；3、F(s)和开环传递函数Gk(s)只差常数１。设：则：定义一个辅助函数：辅助函数F(s)有如下特点：第67页，共112页，2023年，2月20日，星期三F(s)函数的特点：Gk(s)=

F(s)-1，F(s)=0，Gk(s)=-1F(s)平面的原点对应Gk(s)平面的（-1，j0）第68页，共112页，2023年，2月20日，星期三幅角定理：

设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在封闭曲线

s内部有Z个F(s)零点，P个F(s)极点，则s沿着

s顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点逆时针转的圈数R为P与Z之差，即R=P-Z推出：设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在封闭曲线

s内部有Z个闭环极点，P个开环极点，则s沿着

s顺时针转一圈时，在Gk(s)平面上，Gk(s)曲线绕（-1，j0）点逆时针转的圈数R为P与Z之差，即R=P–Z,即Z=P-R第69页，共112页，2023年，2月20日，星期三三、闭合曲线s的选择

sρ∞S平面将s取为D型围线，也叫奈氏路径即：顺时针包含整个s右半平面。具体组成：正虚轴：s=jω，ω由0变化到∞右半平面：半径ρ为无穷大的半圆

ρ为无穷大，-90o<θ<90o，且为顺时针方向负虚轴：s=jω，ω由-∞变化到0

第70页，共112页，2023年，2月20日，星期三当s沿正虚轴变化时，在Gk平面上得到的是开环频率特性Gk(jω)的曲线，

ω由0∞当s沿右半圆顺时针变化时，在Gk平面上得到的是一个点（Gk()=常数）当s沿负虚轴变化时，在Gk平面上得到的是开环频率特性Gk(-jω)的曲线即S沿着型围线s顺时针变化时，在Gk平面上得到的是开环频率特性Gk(jω)的曲线，

ω由-∞0∞，以及一个点。设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在封闭曲线

s内部有Z个闭环极点，P个开环极点，则s沿着

s顺时针转一圈时，在Gk(s)平面上，Gk(s)曲线绕（-1，j0）点逆时针转的圈数R为P与Z之差，即R=P–Z,即Z=P-R设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在整个s右半平面有Z个闭环极点，P个开环极点，当ω从-∞0∞变化时，开环频率特性Gk(jω)的幅相曲线绕（-1，j0）点逆时针转的圈数为R，有R=P–Z,即Z=P-R，显然Z=0时系统稳定第71页，共112页，2023年，2月20日，星期三四、Nyquist判据Z=P-RZ=0时,系统稳定Z:在右半平面闭环特征根（闭环极点）的个数;R:

从-0，开环频率特性Gk(jω)的幅相曲线绕（-1，j0)点逆时针转过的圈数。P:在右半平面开环特征根（开环极点）的个数;由于频率特性关于实轴对称，奈氏判据可简化为N:

从0，开环幅相曲线绕（-1，j0)点逆时针转过的圈数。Z=P-2NZ=0时，稳定第72页，共112页，2023年，2月20日，星期三Z:在右半平面闭环极点的个数;N:

从0，开环幅相曲线绕（-1，j0)点逆时针转过的圈数。P:在右半平面开环极点的个数;Z=P-2NZ=0时，系统稳定奈氏稳定判据注意：当开环传递函数中含有v个积分环节一定要补画。方法：从原开环幅相曲线起始点到正实轴逆时针虚线补画半径无穷大的圆弧第73页，共112页，2023年，2月20日，星期三当系统的开环传递函数包含积分环节时，设：当=0时，即对ν型系统，有：sρ1abc为避免s经过Gk(s)的极点，可采用一无限小的圆弧来绕过这些位于虚轴上的开环极点，从而可以应用Nyquist判据。绕过原点处的极点会产生何种影响呢?第74页，共112页，2023年，2月20日，星期三S平面上原点映射到Gk(s)平面上的无穷远处，而s从

s上的a点移至c点时，(在s=0附近)，在a点，故在c点，故在b点，故可见，半径为ρ1的小圆弧在Gk(s)上的映射是半径无穷大的v/2个圆，其方向为顺时针。sρ1abc第75页，共112页，2023年，2月20日，星期三再考虑到Gk(jω)幅相曲线从ω=0至ω∞，ρ1圆弧仅考虑bc，故在应用Nyquist判据时，遇到开环传递函数有原点处极点（即有积分环节）的情况，应对Gk(jω)从频率0+对应的点开始，逆时针方向补画v/4个无穷大半径的圆。sρ1abc第76页，共112页，2023年，2月20日，星期三Z:在右半平面闭环特征根（闭环极点）的个数;N:在[G]平面，从0，开环幅相曲线绕（-1，j0)点逆时针转过的圈数。P:在右半平面开环特征根（开环极点）的个数;Z=P-2NZ=0时,稳定奈氏稳定判据注意：当开环传递函数中含有v个积分环节一定要补画。方法：从原开环幅相曲线起始点到正实轴逆时针虚线补画半径无穷大的圆弧第77页，共112页，2023年，2月20日，星期三试分析系统稳定性。例：系统的开环传递函数为：解：该系统开环幅相图如右，由图中G(s)H(s)的G(jω)H(jω)曲线不包围（-1，j0）点可知，该系统稳定。-1事实上，本题中，只要K，T1，T2

均大于零，G(jω)H(jω)的幅角只会在0~-1800内变化，不会与负实轴相交，因而不会包围（-1，j0）点，因此只要K，T1，T2

均为正数，系统总是稳定的。第78页，共112页，2023年，2月20日，星期三例：某单位反馈系统试用Nyquist判据判断其稳定性。解：系统的开环幅相图如右，由于有二阶积分环节，补画半圆。可见，幅相曲线包围（-1，j0）点一次，而开环系统稳定，故闭环系统不稳定。0+ωω∞-1第79页，共112页，2023年，2月20日，星期三例:试判断下列系统K=2时闭环是否稳定,并确定临界放大系数。解：由幅相曲线可知，K=2时系统不稳定。-1ω0令上式虚部等于零，得，即将代入G(j)H(j)得：，令可得由幅相曲线可知，不同K值时第80页，共112页，2023年，2月20日，星期三例

判断以下系统的闭环稳定性。从=0+开始，逆时针补画90°、半径为无穷大的圆弧。第81页，共112页，2023年，2月20日，星期三

Z=

P

–

2N

为（-1，j0)点或零分贝值以左的穿越次数。穿越时（频率增大方向）：相角增大为正穿越N+，相角减小为负穿越N-,未穿透为半次穿越,奈氏判据的具体应用：利用正负穿越第82页，共112页，2023年，2月20日，星期三例第83页，共112页，2023年，2月20日，星期三若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包围（-1，j0）点；若系统开环不稳定（在s右半平面有p个开环极点），则系统闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线反时针方向包围（-1，j0）点p/2次。Nyquist判据可分为两种情况：证明：将s取为虚轴和右半平面半径ρ为无穷的圆，幅角原理的p和z则表示F(s)位于右半s平面的开环极点和零点的个数。sρ∞BACKS平面第84页，共112页，2023年，2月20日，星期三故

s

沿s顺时针环绕一圈时，在

F(s)

平面上F绕原点反时针圈数为

R

=

p

–

z若系统稳定，则F(s)=1+G(s)H(s)在s平面的右半部（即

s所围区域内）没有零点（闭环极点）。即环绕F(s)原点数为R=p-z|z=0=p为进一步简化，我们不作F(s)曲线，仅画G(s)H(s)曲线，由前所述，F(s)与G(s)H(s)仅差单位1，G(s)H(s)曲线是将F(s)平移（左移）一个单位而得，从G(s)H(s)图上看，F(s)原点相当于G(s)H(s)图上的（-1，j0）点。sρ∞S平面GHF(S)平面F第85页，共112页，2023年，2月20日，星期三因此，在G(s)H(s)图上，若希望系统稳定，G(s)H(s)

的曲线环绕（-1，j0）点次数为R=p–0，这里p为开环系统在右s平面的极点数。由于我们做幅相图时，jω取ω=0到ω∞，因而仅是s的部分路径（对于ρ∞的半圆倒无妨，反正它退化在G(s)H(s)平面上的原点邻域，与（-1，j0）点并无关系），因此，结论成立。定理证毕。sρ∞第86页，共112页，2023年，2月20日，星期三五、Nyquist判据在对数频率特性中的应用在开环G(jω)H(jω)

平面上的单位圆反映到对数坐标图上是

0dB

线。在

G(jω)H(jω)

平面上负实轴反映到对数坐标图上是–1800

线。因此，G(jω)H(jω)

线不包围（-1，j0）点转换到对数坐标上是：在L(ω)

>

0dB

的频段内，相频特性曲线不穿越–1800

线。因此，Nyquist判据用在对数频率特性上表达为：一个反馈控制系统，其闭环特征正实部根的个数Z，可以根据开环传递函数右半s平面极点个数P和开环对数幅频特性为正值的所有频段内，对数相频曲线与-1800线的正负穿越之差N=N+-N-

确定，即Z=P-2N，系统稳定的充要条件是Z=0(N=p/2)第87页，共112页，2023年，2月20日，星期三幅相曲线、对数频率特性曲线N+，N-请看下例：由幅相图上看，幅相曲线包围（-1，j0）点的圈数为0，此结论也可以根据ω增加时的幅相曲线穿越负实轴来确定，将由下往上穿越称为负穿越（如C点），而将由上往下称为正穿越（如B点），A点不必考虑，仅考虑负实轴上（-∞，-1）部分（即0dB以上部分）。C-1-+BA-+CBACBA第88页，共112页，2023年，2月20日，星期三把ω增加时,相角φ(ω)减少的称负穿越，把ω增加时,相角φ(ω)增加的称正穿越。同样地，当G(s)H(s)包含积分环节时，在对数相频曲线上ω为0+的地方，应补画一条从相角0度到G(j0+)H(j0+)的虚线，将虚线的穿越也算入穿越的统计内。-1-+BA-+CBACBA第89页，共112页，2023年，2月20日，星期三例：系统的开环传递函数为试用对数频率判据判断闭环系统的稳定性。-40dB/dec-60dB/dec1/T解：系统伯德图如右，由于p=0，故z=0-2(-1)=2

所以系统不稳定，且可以进一步指明，系统闭环特征方程右半s平面根的个数z=2G(s)H(s)有两个积分环节，相频特性从-1800开始，但需从00线补画一虚线在ω=0+处，故N=N+-N-=-1第90页，共112页，2023年，2月20日，星期三例：幅相曲线与对数频率特性曲线稳定判据比较第91页，共112页，2023年，2月20日，星期三5.4稳定裕度工程上要求系统稳定，即要求最小相位系统的幅相图曲线不包括（-1，j0）点，若能保证不但不包括（-1，j0）点，而且离（-1，j0）点有一定距离，则系统在受到环境温度、元件参数变化所影响后，幅相曲线也不会包围（-1，j0）点，则称系统有一定的稳定裕量。稳定裕度（量）:相角裕度（量）和幅值裕度（量）第92页，共112页，2023年，2月20日，星期三相角裕度是指在幅值等于1的频率上，使系统达到稳定边界所富余的相角迟后量：γ=1800+φ(ωc)

ωc—G(jω)H(jω)曲线与单位圆交点处的频率（幅值穿越频率、截止频率。

）-1γc

幅值裕度指G(jω)H(jω)相角等于–1800时（G(jω)H(jω)与负实轴交点处幅值G(jωg)H(jωg)的倒数：

ωg—G(jω)H(jω)曲线与负实轴交点处的频率（相角穿越频率）-11/hg第93页，共112页，2023年，2月20日，星期三相角裕度表示使系统到达稳定边界所允许增加的开环传递函数的相位滞后。γ=1800+φ(ωc)幅值裕度表示使系统到达稳定边界所允许增大的开环传递函数的放大倍数。

0ω

ωg

ωc

j

-1

G(jωc)H(jωc)G(jωg)H(jωg)0

h(dB)(o)(dB)

-180

ωg

ωc

ω

系统稳定，则h>1、>0。第94页，共112页，2023年，2月20日，星期三通常把对数频率特性分为低频区、中频区和高频区-20dB/dec-40dB/dec1-60dB/dec-20dB/dec2c34低频区高频区中频区0-40dB/dec5.5对数频率特性和系统性能的关系第95页，共112页，2023年，2月20日，星期三1、低频区：一般指第一个转折频率之前的部分系统低频区的特性决定系统的静态性能的好坏；低频特性渐进线决定系统的稳态误差；低频特性渐进线是0dB/dec的系统是0型系统；低频特性渐进线是-20vdB/dec的系统是v型系统；-20dB/dec-40dB/dec1-60dB/dec-20dB/dec2c34低频区高频区中频区0-40dB/dec第96页，共112页，2023年，2月20日，星期三1型系统低频渐进线的斜率是-20dB/dec，作低频渐进线的延长线与0dB线相交，交点的频率数值就是系统的静态速度误差系数KV，如下图：确定K值有两种方法，均基于积分环节的如下公式：，1、取＝1时的纵坐标分贝值，得2、设低频渐进线（或其延长线）于0dB交于k，由，得-20dB/dec=1k20lgK-20dB/dec20lgK=1kK>1K<1第97页，共112页，2023年，2月20日，星期三同理，对2型系统，有，得因此，0型系统的Kp可以通过低频特性渐进线之高度来确定；1型系统的Kv=ωk；2型系统的Ka=ωk2。例：根据Bode图确定传递函数，并求穿越频率c。解：该开环传递函数的形式为：-20dB/dec-40dB/dec102010-202-40dB/decc第98页，共112页，2023年，2月20日，星期三显然这是2型系统，K=102；由图中可得：即而依-20dB/dec线段，2距1为100倍（2dec），所以：-20dB/dec-40dB/dec102010