画法几何及土木工程制图：第十一章 标高投影

1画法几何及土木工程制图第十一章标高投影2目录§11-1点和直线的标高投影

§11-2平面的标高投影

§11-3曲面的标高投影

§11-4地形面的标高投影3§11-1点和直线的标高投影

一、概述地面是起伏不平的不规则曲面，很难用三面投影图来表达清楚。为此，常用一组等间隔的水平面与地面截交，所得的每条截交线均为水平曲线，同一水平曲线上的各点距某一水平基准面H的高度都相等，故称这样的水平曲线为等高线。习惯上把等高线的水平投影仍叫等高线。

4§11-1点和直线的标高投影用一组标有高度数字的地形等高线的水平投影，能清楚的表达地面起伏变化的形状。这种用水平投影与标注高度数字相结合来表达空间形体的方法称为标高投影法，所得的单面投影图称为标高投影图。 注写的高度数字，称为标高，也叫高程。5§11-1点和直线的标高投影标高投影的基准面一般是水平面，为了作图的需要，标高投影图上应画出比例尺或给出绘图比例。标高投影图中的尺寸单位为米。标高投影为单面投影，但有时也要利用铅垂面上的辅助投影来帮助解决某些问题。6§11-1点和直线的标高投影

二、点的标高投影

以水平投影面H为基准面，标高为0，作出点A、B在H面上的正投影a、b，并在其右下角标出这两点的标高，标高单位为米（m），A在基准面以上，标高为正，B在基准面以下，标高为负。所得的图即为A、B的标高投影图。本图中还画出了绘图比例尺。

7§11-1点和直线的标高投影

三、直线的标高投影

1.直线的坡度和平距

直线上任意两点的高差与其水平距离之比，称为该直线的坡度，记为i

。

i=H/L=tanα

α为直线对水平面的倾角。

直线上任意两点间的水平距离与高差之比，称为该直线的平距，记为l

。

l=L/H=1/i=cotα或写成

i=1/l

总之，坡度与平距互为倒数，直线的坡度大，则其平距就小。坡度大表明直线陡。8§11-1点和直线的标高投影

2.直线的标高投影表示法

通常用直线上两点的标高投影来表示该直线,如右图中的a2b4.5

;

当已知直线上一点B和直线的方向时，也可以用点B的标高投影b4.5

和直线的坡度i=1:1.5

来表示该直线，并规定表示坡度方向的箭头指向下坡。点击2次9§11-1点和直线的标高投影

例11-1

已知直线AB的标高投影a9b5

和直线上点C

到点A的水平距离L=4m，试求直线AB的坡度i、平距l

和点C的高程。

10

解：使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10m,于是可求得直线的坡度为：

i

=H/L=(9-5)/10=2/5§11-1点和直线的标高投影由此求得直线的平距为：

l=1/i=5/2=2.5由于LAC=4m,所以点C和点A

的高差

HAC=i×LAC=2/5×4=1.6m由此求得点C的高程

HC=HA-HAC=9-1.6=7.4m点击4次11§11-1点和直线的标高投影

3.直线上的整数高程点

标高投影中，直线上的整数高程点可利用计算法或图解法得到。

例11-2

已知直线AB

的标高投影a3.5b8.3，求作AB上的各整数高程点。

解：根据已给的作图比例尺，量得LAB=9m,算得坡度

i=HAB/LAB=(8.3-3.5)/9=0.5333由此算出平距

l=1/i=1.875点a3.5到第一个整数高程点c4

的水平距离应为

LAC=HAC/i=(4-3.5)/0.5333=0.9375md5、e6、f7、g8各点间的间隔均为平距尺寸1.875m

。点击4次计算法12§11-1点和直线的标高投影点击后自动演播

利用直线的辅助投影求具有整数高程的点。图解法13§11-1点和直线的标高投影点击后自动演播

利用直线的辅助投影求具有整数高程的点。图解法14§11-1点和直线的标高投影

也可以利用作比例线段的方法来求具有整数高程的点。图解法15§11-2平面的标高投影

一、平面上的等高线和坡度线平面上的等高线就是平面上的水平线，也就是该平面与水平面的交线。平面上的各等高线彼此平行，而且各等高线间的高差与水平距离成同一比例。当各等高线的高差相等时，它们的水平距离也相等。16

平面上的坡度线就是平面上对水平面的最大斜度线，它的坡度代表了该平面的坡度。坡度线上应画出指向下坡的箭头。平面的坡度线与等高线互相垂直，它们的标高投影也互相垂直。§11-2平面的标高投影17§11-2平面的标高投影

二、平面的标高投影表示法1、用平面上一组高差相等的等高线表示平面

画出了平面的一组等高线就表示了平面，这是表示平面的基本形式。2、用平面上一条等高线和平面的坡度线表示平面3、用平面上一条倾斜直线和平面的坡度表示平面点击2次18§11-2平面的标高投影

例11-3

已知平面上一条高程为28m的等高线，平面的坡度为i=1:2,试作出该平面上若干条整数高程的等高线。下页解答19§11-2平面的标高投影

解：平面的平距l=1/i=2m，根据图中的绘图比例尺，沿坡度线向下坡方向按2m等距离地截取出27、26、25、…的高程点，过它们可作出高程为27、26、25…的等高线。同样，沿坡度线向相反方向作图，可作出高程为29、30…的等高线。点击后自动演播20§11-2平面的标高投影

解：平面的平距l=1/i=2m，根据图中的绘图比例尺，沿坡度线向下坡方向按2m等距离地截取出27、26、25、…的高程点，过它们可作出高程为27、26、25…的等高线。同样，沿坡度线向相反方向作图，可作出高程为29、30…的等高线。点击后自动演播21§11-2平面的标高投影

例11-4

已知平面上一条倾斜直线AB的标高投影a3b10，平面的坡度i=1:0.5，试作该平面的等高线和坡度线。

解：过点B且坡度为1:0.5的坡度线的轨迹是一圆锥，包含AB直线且坡度为1:0.5的平面是与该圆锥相切的平面ABC。当圆锥的底圆与点A在同一高度的水平面上时，底圆的半径应为：r=(HB-HA)×l=3.5

m22§11-2平面的标高投影

以b10为圆心，以3.5m为半径画圆，过a3

作该圆的切线，共有两条，取其中符合箭头所指方向的一条，此即为平面上高程为3m的等高线。过a3b10上具有整数高程的点作此线的平行线，可得相应高程的等高线。过b10

作等高线的垂线，并加上箭头，此即为所求的坡度线。23§11-2平面的标高投影

三、平面交线的标高投影

在标高投影中，两平面的交线，就是两平面上两对相同高程的等高线相交后所得交点的连线。24§11-2平面的标高投影

下面讨论交线标高投影的方向。

P、Q为两相交平面，用αp

表示交线的标高投影与P

面上一条等高线的夹角，用αq表示交线的标高投影与Q

面上一条等高线的夹角，则：

1.若P、Q

的坡度相等，则αp=αq；

2.若P、Q的坡度不等，当ip>iq

时，αp<αq；

3.若P、Q的等高线平行，则两平面的交线平行于等高线。增加V面辅助投影25§11-2平面的标高投影

例11-5

已知两土堤顶面的高程、各坡面的坡度、地面的高程，如图所示，试作出两堤之间、堤面与地面之间的交线，并从堤顶a6

在坡面上作一条坡度i=1:3

的倾斜直线。26§11-2平面的标高投影

解：先计算各堤顶边线与各坡面上高程为0

的等高线间的水平距离：

L1=L2=6∶1/1.5=9m,

L3=1∶1/1.5=1.5m,L4=L5=L6=5∶1/1=5m

据此可画出各边坡的坡脚线。

相邻两平面上同高程等高线的交点（如c5和d0）是两平面交线上的点，由此可作出相邻坡面间的交线。27

最后，以点a6为圆心，以LAB=6∶1/3=18m

为半径作圆弧，与坡面上高程为0

的等高线交于b0，a6b0

即为所求的坡面上的一条坡度i=1:3

的倾斜直线。

§11-2平面的标高投影

解：先计算各堤顶边线与各坡面上高程为0

的等高线间的水平距离：

L1=L2=6∶1/1.5=9m,L3=1∶1/1.5=1.5m,L4=L5=L6=5∶1/1=5m

据此可画出各边坡的坡脚线。

相邻两平面上同高程等高线的交点（如c5和d0）是两平面交线上的点，由此可作出相邻坡面间的交线。28§11-2平面的标高投影

例11-6

已知堤顶高程为4

的土堤和路面坡度i=1:4

的上堤斜路，设地面高程为0，各坡面的坡度如图所示，试作堤与斜路坡面间、坡面与地面间的交线。

解：(1)算出堤顶边线与边坡的坡脚线间的水平距离

L1=L2=(4-0):1/2=8m据此可作出边坡的坡脚线。点击1次29§11-2平面的标高投影

(2)按L3=(4-0)∶1/4=16m作斜路路面与地面的交线b0d0。

(3)斜路两侧的边坡是以平面上一条倾斜直线及平面的坡度的形式给出的，可按例11-4的方法作图：算出r=(4-0)∶1/1.5=6

m，以a4为圆心、以r为半径画圆弧，过b0作该弧的切线，即为一侧边坡与地面的交线。同法可作出另一侧边坡与地面的交线d0e0

。

(4)连a4与c0，f4与e0，得土堤边坡与斜路边坡的交线。点击1次30§11-3曲面的标高投影

一、圆锥面的标高投影

圆锥的底圆置于水平面上，用一组等间隔的水平面截割圆锥面，得锥面上的一组等高线圆，这些圆的水平投影加上标高数字，可以表示圆锥面。对于直圆锥，这些圆是同心的；对于斜圆锥，这些圆是偏心的。当圆锥正放时，等高线的高程越大，则圆的直径越小；而当圆锥倒放时，高程越大，圆的直径也越大。31§11-3曲面的标高投影

例11-7

已知圆形平台的高程为8，建在一斜坡上，斜坡平面用一组等高线表示。平台的填筑边坡为i1=1:0.7，开挖边坡为i2=1:0.5，试作填挖边界线。

解：以斜坡平面上等高线8为界，左侧为填筑区，填筑坡面为正圆锥面；右侧为开挖区，开挖坡面为倒圆锥面。a8和b8是填挖的分界点。填筑和开挖圆锥的锥顶在图中重合于c点。32§11-3曲面的标高投影

填筑平距为

l1=1∶1/0.7=0.7，开挖平距为

l2=1:1/0.5=0.5

以c为圆心，分别以0.7和0.5的级差调整半径画圆，找到圆锥面的等高线与斜坡平面上同高程等高线的交点，用光滑曲线连接这些交点，即为填挖边界线。坡脚线开挖线33§11-3曲面的标高投影

二、同坡曲面的标高投影同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，与圆锥面的切线为同坡曲面上的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面，所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相切。34§11-3曲面的标高投影

例11-8

已知同坡曲面上一条空间曲线的标高投影，曲线上A点的标高投影a6，曲线的坡度i0=1:5。又知同坡曲面的坡度i=1:2.5和坡面的倾斜方向，试作同坡曲面上整数高程的等高线。

35

解：算出曲线上高差为1m的整数高程点的平距l0=1:1/5=5，从而可作出曲线上的点b5、c4、d3，再算出同坡曲面上高差为1m的整数高程等高线间的平距l=1:1/2.5。

以点c4、b5、a6为圆心，以l为级差调整半径画同心圆，即为各圆锥面的等高线。作各圆锥面上同高程等高线的公切线，即得同坡曲面上相应高程的等高线3、4、5、6。§11-3曲面的标高投影点击4次看作图36§11-3曲面的标高投影

例11-9

已知平台的高程为19，地面高程为15。拟修筑一条弯曲斜路与平台相连，其位置和路面坡度为已知，所有填筑边坡的坡度均为i=1:1，试作坡面与坡面、坡面与地面间的交线。

解：弯道路面上的等高线高差为1m，所以各坡面上等高线的高差也是1m，相应的平距l=1:1/1=1。点击1次37§11-3曲面的标高投影

以弯道两侧边线上的高程点16、17、18、19为圆心，按1m的级差调整半径画同心圆，得到各锥面的等高线，作同高程等高线的公切线，即为同坡曲面上相应高程的等高线15、16、17、18。这些等高线与平台填筑坡面上相同高程的等高线相交，用光滑曲线连接起来，即得同坡曲面与平台坡面的交线。各坡面上高程为15的等高线就是它们与地面的交线。点击1次38

例11-10已知地面高度为40.00，坑底高程为36.00，用一弯曲坡道相连，各坡面的坡度均为1：2，求作坡面之间、坡面与地面的交线。§11-3曲面的标高投影39§11-4地形面的标高投影

地面是不规则曲面，在工程中常称之为地形面。用等高线表示地形面的图称为地形图。在地形图中，等高线的高程是以海平面为基准面的。

一、平面、曲面与地形面相交主要讨论利用坡面上等高线求做坡边线的方法和求填挖分界点、三面共点等问题。

工程中的填挖边坡可能是平面或曲面，这些坡面与地形面相交得出填挖边界线，也称坡边线。求作坡边线的方法，归结为求出坡面上等高线与地形面上同高程等高线的交点，由交点连成坡边线。40§11-4地形面的标高投影

例11-10

地形面与一斜坡平面相交，求作地面与斜坡平面的交线。

41§11-4地形面的标高投影

解：斜平面由高程55的等高线和坡度1∶1.5给出，作出该平面上高差为1m的等高线54、53、52、51等。比较这些等高线和地形图中的等高线可知，交线是开挖线，从等高线55处有一个平面将地面劈掉一部分，工程中称为劈坡。将劈坡平面与地形面上相同高程的等高线的交点顺次连接起来，便得到部分开挖线。点击5次看作图42§11-4地形面的标高投影

内插等高线：在地面等高线54与55之间内插一条高程为54.5等高线，在斜平面的等高线54与55之间也内插一条54.5的等高线，二者交出开挖线上高程为54.5的点。再根据两边交线的走势，把大于54.5的一小段连接起来，完成开挖线的作图。43§11-4地形面的标高投影

例11-11

已知高程为16的平台和地形面的标高投影，填筑坡度i1=1:1.5，开挖坡度i2=1:1，试作边坡线和坡面间的交线。

解：本例以地形等高线16为界，左侧为填筑区，右侧为开挖区，填挖边界线以a16和b16为分界点。44§11-4地形面的标高投影

由填方坡度1∶1.5算出平距为1.5，作出各填方边坡面的等高线，这些等高线与地面同高程等高线相交，连接交点得填筑边界线。边界线上的m、n点是两个边坡面和地面的三面共点，用延长边坡线的方法求得。

挖方坡度为1∶1，则平距为1，据此作出各挖方边坡面的等高线，其中半圆端的挖方边坡面为倒圆锥面，图上等高线为一组同心圆。坡面等高线与同高程的地面等高线相交，连接成挖方边界线。45§11-4地形面的标高投影

例11-12

已知带有弯道的斜坡道路及地形面的标高投影，两侧坡面填筑坡度为1∶2，开挖坡度为1∶1.5，试作填挖边界线。

解：填挖边界线的分界点在路面等高线的14、15

之间，左侧为开挖区，右侧为填筑区。在