中考数学相似三角形培优导学案

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知识考点：

本节知识包含相似三角形的判判断理、三角形相似的判断及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识特别重要。精典例题：

【例1】如图，点O是△ABC的两条角均分线的交点，过O作AO的垂线交AB

于D。求证：△OBD∽△CBO。剖析：

此题不易获得边的比率关系，但O点是三角形的角均分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。

由角均分线及三角形内角和定理知：∠1＋∠2＋∠DAO＝900，再由AO⊥DO可得∠5＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3＋∠4，从而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3可得∠2＝∠4，于是结论得证。

AFAAD5DEEO4O32C1BDCBCB例1图变式1图例2图变式1：已知如图，在△ABC中，AD＝AE，AO⊥DE于O，DE交AB于D，

A

D534O12B例1图C交AC于E，BO均分∠ABC。求证：。变式2：已知如图（同变式1图），在△ABC中，O为两内角均分线的交点，过点O作直线交AB于D，交AC于E，且AD＝AE。

A

D54O321求证：（1）△BDO∽△OEC；（2）BC例1图。【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝900，AD⊥BC于D，E为AC中点，DE交BA的延长线于F。求证：AB∶AC＝BF∶DF。剖析：

因为△ABC和△FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可以能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，必定要找“过渡”的线段或线段比，这类找寻“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。

证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC

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Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B

A

D54O321∴BC⋯⋯⋯①例1图

又∵AD⊥BC，EAC中点

∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE

∴∠B＝∠ADE

又∵∠F＝∠F

∴△FAD∽△FDB

A

D5

4O321∴BC⋯⋯⋯②例1图

A

D5

4O321由①②得BC例1图

式：

本条件、不，而只改形的地点，以下所示，本又怎明呢？

AECADDBEGDCEFFFABBC例2变式图2例3图例2变式图1【例3】如，梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD于E，且BC＝BD，角

A

D534O12BCAC、BD订交于G，AC、BE订交于F。求：例1图。剖析：

因为FG、FA、FC三条段在同向来上，不可以直接明一三角形相似而得

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结论。依据题设条件易得BE是DC的垂直均分线，于是连结FD得FD＝FC，再证

FDG∽△FAD即可。研究与创新：【问题一】如图，∠ACB＝∠ADC＝900，AC＝

A

A

DD5

4O321BC例1图，AD＝2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？

A

BC

问题一图

D534O12略解：∵AC＝B例1图C，AD＝2A

5

4O321BC∴CD＝例1图

要使这两个直角三角形相似，有两种状况：

A

D54O312（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有BC例1图

A

5

4O321∴BC例1图

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A

D54O312（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有BC例1图

A

5

4O321∴BC例1图

A

D534O12BC故当AB的长为3或例1图时，这两个直角三角形相似。【问题二】已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在

A

D5

4O321线段BC上，设BQ＝BC例1图，能否存在这样的实数A

D5

4O321BC例1图，使得Q、C、P为极点的三角形与△ADP相似，若存在，A

D5

4O321BC求出例1图的值；若不存在，请说明原由。

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A

D534O12BC略解：假设存在满足条件的实数例1图，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝900，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得：AAD5D5AD4O4O3232P11BC或BC例1图例1图BQC问题二图AAD5D54O433O1212BC由此解得：CQ＝1或CQ＝BC，从而例1图或例1图

A

5

4O321BC例1图AAD5D543O4123O2BC1故当例1图或BC时，△ADP与△QCP。例1图

追踪训练：

一、填空题：

1、如图，在△ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC的条件是。

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2、在直角坐标系中，已知A（－3，0）、B（0，－4）、C（0，1），过C点作

AA

D5D54O34O32211BCBC直线例1图交例1图轴于D，使得以点D、C、O为极点的三角形与△AOB相似，这样的直线有条。3、如图，在△ABC中，∠C＝900，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝。AACPND

BCBMABEC第1题图第3题图第5题图4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50cm、60

cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50

cm的两根钢筋，要求以此中一根为一边，从另一根上截下两段（赞成有余料

）作为两边，则不一样样的载法有种。

5、如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE∶EC

5∶1，则CD＝。二、选择题：

1、下边两个三角形必定相似的是（）

A、两个等腰三角形B、两个直角三角形

C、两个钝角三角形D、两个等边三角形

2、如图，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点，EA分别交CD、BD的

延长线于点F、G，则图中相似三角形共有（）

A、3对B、4对C、5对D、6对

三、解答题：

1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。求证：△AEF∽△CEA。E

BA

A

FA

FBECD

CGBEFCD选择第2题图

解答第1题图解答第2题图

2、如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，DE⊥AC于E，交AB于F。求证：△AFD∽△ADB。

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3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝900，AB＝3，DC＝7，AD＝15，请你在AD上找一点P，使得以P、A、B和以P、D、C为极点的两个三角形相似吗？若能，这样的P点有几个？并求出AP的长；若不可以，请说明原由。AB

P

EADBCDC解答第3题图解答第4题图4、在边长为1的正方形网格中有A、B、C、D、E五个点，问△ABC与△ADE能否相似？为何？由此，你还可以找出图中相似的三角形吗？若能，请找出

来，并说明原由。

追踪训练参照答案

一、填空题：

A

D54O3121、∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或

5；

4、2种；5、6

二、选择题：DD

三、解答题：

BC例1图；2、4条；3、3，

A

D543O21、证明：设＝＝＝B例图CABFC＝101BEEFA

5

4O321BC

例1图

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AA

D5D54O34O32112∵BC，BC例1图例1图A

D534O21∴BC且∠AEF＝∠CEA例1图

∴△AEF∽△CEA

2、证明：∵AD⊥DC，DE⊥AC

∴∠AED=∠ADC=900∵∠EAD=∠DAC

∴△AED∽△ADC，

A

D5

4O321∴BC∴AE×AC=AD×AD例