高等数学课件导数与微分

第一节导数(dǎoshù)的概念第二节求导法那么(nàme)第三节微分(wēifēn)及其在近似计算中的作用导数与微分第一页，共106页。1第一节导数(dǎoshù)的概念一两个(liǎnɡɡè)实例四求导举例(jǔlì)二导数的概念三可导与连续第二页，共106页。2一、两个(liǎnɡɡè)实例1.变速(biànsù)直线运动的速度设描述(miáoshù)质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动第三页，共106页。32.曲线(qūxiàn)的切线斜率曲线(qūxiàn)在M点处的切线(qiēxiàn)割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率第四页，共106页。4两个(liǎnɡɡè)问题的共性:瞬时速度(shùnshísùdù)切线(qiēxiàn)斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题第五页，共106页。5二、导数(dǎoshù)的概念定义(dìngyì)1.设函数在点存在(cúnzài),并称此极限为记作:即那么称函数假设的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.第六页，共106页。6运动质点的位置(wèizhi)函数在时刻的瞬时速度曲线(qūxiàn)在M点处的切线(qiēxiàn)斜率说明:在经济学中,边际本钱率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.第七页，共106页。7假设(jiǎshè)上述极限不存在,在点不可导.

假设(jiǎshè)也称在假设(jiǎshè)函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大

.第八页，共106页。8在点的某个(mǒuɡè)右邻域内2.左右导数假设(jiǎshè)极限那么(nàme)称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)定义2

.设函数有定义,存在,第九页，共106页。9定理(dìnglǐ)函数在点且存在简写(jiǎnxiě)为在点处右

导数存在定理(dìnglǐ)3.函数在点必右

连续.(左)(左)假设函数与都存在,那么称在开区间

内可导,在闭区间

上可导.可导的充分必要条件是且第十页，共106页。103.导数的几何意义(yìyì)曲线在点的切线斜率为假设(jiǎshè)曲线(qūxiàn)过上升;假设曲线过下降;假设切线与x轴平行,称为驻点;假设切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:第十一页，共106页。11三、可导与连续(liánxù)定理(dìnglǐ)1.证:

设在点x

处可导,存在(cúnzài),因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在

x=0处连续,但不可导.即第十二页，共106页。12*例3求函数y=c(c为常数(chángshù))的导数.解因为(yīnwèi)y=c为常数,所以y=

0,这就是说:常数(chángshù)的导数等于零.即例如:假设y=8,那么四、求导举例

第十三页，共106页。13解(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.***例4求函数y=sinx的导数(dǎoshù).即同理可得1,2,3步合并(hébìng)第十四页，共106页。14解即(ex)=ex.特别(tèbié)地,当a=e时,有(ax)=axlna.例5求函数y=ax(a＞0,a≠1)的导数(dǎoshù).(当x→0时,与xlna是等价(děngjià)无穷小)1,2,3合并第十五页，共106页。15***例6求函数y=lnx(x(0,))的导数(dǎoshù).解即同理可得1,2,3合并(hébìng)第十六页，共106页。16第十七页，共106页。17y=

(x+x)3

-

x3=

3x2x+3x(x)2+(x)3

解3x2+3xx

+(x)2即例8求函数y=x3的导数(dǎoshù).同理可得幂函数求导公式(gōngshì):(a为任意(rènyì)实数)第十八页，共106页。18第十九页，共106页。19例9求以下函数(hánshù)在指定点处的导数:(1)(2)解(1)因为(yīnwèi)所以(suǒyǐ)(2)因为所以第二十页，共106页。20思考题：

第二十一页，共106页。213.函数在某点处的导数区别(qūbié):是函数(hánshù),是数值(shùzí);联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数4.设存在,则第二十二页，共106页。22小结(xiǎojié)1.导数(dǎoshù)的概念:2.可导与连续(liánxù):3.求导举例:可导必定连续,连续不一定可导第二十三页，共106页。23(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.(ex)=ex.(ax)=axlna.第二十四页，共106页。24作业(zuòyè)P602.3.6.7谢谢(xièxie)同学们第二十五页，共106页。25第二十六页，共106页。26一、函数(hánshù)的和、差、积、商的求导法那么二、复合(fùhé)函数的求导法那么四、初等(chūděng)函数的求导公式三、反函数的求导法那么五、三个求导方法六、高阶导数第二节求导法那么第二十七页，共106页。27第二节求导法那么(nàme)一、函数(hánshù)的和、差、积、商的求导法那么

第二十八页，共106页。28第二十九页，共106页。29第三十页，共106页。30例2.求证(qiúzhèng)证:

类似(lèisì)可证:第三十一页，共106页。31二、复合(fùhé)函数求导法那么证:在点

u可导,故（当时)故有第三十二页，共106页。32例如(lìrú),关键:搞清复合函数结构(jiégòu),由外向内逐层求导.推广：此法那么可推广到多个中间变量(biànliàng)的情形.第三十三页，共106页。33解第三十四页，共106页。34对于复合函数的分解(fēnjiě)比较熟悉后,就不必再写出中间变量,而可以采用以下例题的方式来计算．第三十五页，共106页。35例5.求以下(yǐxià)导数:解:

(1)(2)(3)说明(shuōmíng):类似可得第三十六页，共106页。36例6.

设求解:思考(sīkǎo):假设存在(cúnzài),如何求的导数(dǎoshù)?这两个记号含义不同练习:设第三十七页，共106页。37例7.设解:记那么(nàme)(反双曲正弦(zhèngxián))的反函数第三十八页，共106页。38第三十九页，共106页。39第四十页，共106页。40三、反函数的求导法那么(nàme)第四十一页，共106页。41三、反函数的求导法那么(nàme)定理(dìnglǐ)2.y的某邻域(línyù)内单调可导,证:在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此第四十二页，共106页。42例9.求反三角函数(sānjiǎhánshù)及指数函数的导数.解:1)设那么(nàme)类似(lèisì)可求得利用,那么第四十三页，共106页。432)设那么(nàme)特别当时,小结(xiǎojié):第四十四页，共106页。44解:第四十五页，共106页。45

四、初等函数(hánshù)的求导公式第四十六页，共106页。463．复合函数(hánshù)的求导法那么2．函数(hánshù)的和、差、积、商的求导法那么第四十七页，共106页。47小结(xiǎojié)１.和，差，积，商求导法那么(nàme)第四十八页，共106页。48、进一步练习

练习(liànxí)1[电流]电路中某点处的电流i是通过该点处的求其电流(diànliú)函数i(t)？(2)t=3时的电流(diànliú)是多少？

(3)什么时候电流为28？电量q关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为。第四十九页，共106页。49解(1)(2)(3)解方程得即当第五十页，共106页。50练习2[速度]某物体(wùtǐ)做直线运动，路程(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为，求物体在解物体(wùtǐ)运动的速度为乘积(chéngjī)的求导法那么时的速度？第五十一页，共106页。51R为的电路中的电压由下式给出：解电压(diànyā)V关于可变电阻R的变化率为：商的求导法那么(nàme)在时电压关于可变电阻R的变化率为：练习3[电压的变化率]一个电阻为，可变电阻时电压关于可变电阻R的变化率．求在第五十二页，共106页。52练习(liànxí)4[制冷效果]某电器厂在对冰箱制冷后断电问冰箱温度T关于时间(shíjiān)t的变化率是多少？解冰箱温度(wēndù)T关于时间t的变化率为测试其制冷效果，t小时后冰箱的温度为第五十三页，共106页。53练习5[并联(bìnglián)电阻]当电流通过两个并联(bìnglián)电阻r1,r2时，总电阻由下式给出：求R关于(guānyú)r1的变化率，假定r2是常量.解由知，因为r2是常数，所以第五十四页，共106页。54练习(liànxí)6[放射物的衰减]放射性元素碳-14〔1g〕的衰减(shuāijiǎn)由下式给出：其中Q是t年后碳-14存余的数量(shùliàng)(单位：g)．问碳-14的衰减速度〔单位：g/年〕是多少？解碳-14的衰减速度v为

(g/年)复合函数的求导法那么第五十五页，共106页。55案例7[电阻中电流与电压(diànyā)的关系]解因为(yīnwèi)其中是电流的峰值（最大值），称振幅，相位由复合函数(hánshù)的求导法那么求电流i.在电容器两端加正弦电流电压第五十六页，共106页。56从而(cóngér)可知，电容器上电流与电压有以下关系：〔1〕电流i与电压(diànyā)U是同频率的正弦波；（2）电流i比电压Uc相位提前〔3〕电压(diànyā)峰值与电流峰值之比为电工中称为容抗（容性电抗）.第五十七页，共106页。57作业(zuòyè)P6１８.(2)(3)(5)(6)(9)10.15.(2)(7)(11)谢谢(xièxie)同学们第五十八页，共106页。58第五十九页，共106页。59五、三个求导方法(fāngfǎ)假设(jiǎshè)由方程可确定(quèdìng)y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.那么称此１.隐函数求导方法:

两边对x求导(含导数的方程)第六十页，共106页。60第六十一页，共106页。61例12.求由方程(fāngchéng)在x=0处的导数(dǎoshù)解:方程(fāngchéng)两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数第六十二页，共106页。62例13.求椭圆(tuǒyuán)在点处的切线(qiēxiàn)方程.解:椭圆方程(fāngchéng)两边对x求导故切线方程为即第六十三页，共106页。63例14.求的导数(dǎoshù).解:两边(liǎngbiān)取对数,化为隐式两边(liǎngbiān)对x求导第六十四页，共106页。641)对幂指函数(hánshù)可用对数(duìshù)求导法求导:说明(shuōmíng):按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:第六十五页，共106页。65第六十六页，共106页。66例14求对x求导两边(liǎngbiān)取对数的导数(dǎoshù).第六十七页，共106页。67假设(jiǎshè)参数方程可确定一个(yīɡè)y与x之间的函数可导,且那么(nàme)时,有时,有(此时看成x是y

的函数)关系,不要求掌握第六十八页，共106页。68切线(qiēxiàn)方程为:第六十九页，共106页。69例17.抛射体运动轨迹的参数(cānshù)方程为求抛射体在时刻(shíkè)t的运动速度的大小和方向.解:先求速度(sùdù)大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设

为切线倾角,那么第七十页，共106页。70抛射体轨迹的参数(cānshù)方程速度(sùdù)的水平分量垂直(chuízhí)分量在刚射出(即t=0)时,倾角为到达最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向第七十一页，共106页。71六、高阶导数(dǎoshù)的概念速度(sùdù)即加速度即引例(yǐnlì)：变速直线运动第七十二页，共106页。72定义(dìngyì).假设(jiǎshè)函数的导数(dǎoshù)可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为

n

阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作那么称第七十三页，共106页。73(sinx)=cosx.(cosx)=-sinx.第七十四页，共106页。74设求解:依次(yīcì)类推,例19.思考(sīkǎo):设问可得第七十五页，共106页。75例20.

设求解:特别(tèbié)有:解:规定(guīdìng)0!=1思考(sīkǎo):例21.

设求第七十六页，共106页。76例22.

设求解:

一般(yībān)地,类似(lèisì)可证:第七十七页，共106页。77第七十八页，共106页。78作业(zuòyè)P6221.(1)24.(2)25.(2)27谢谢(xièxie)同学们第七十九页，共106页。79第八十页，共106页。80一、微分(wēifēn)的概念二、微分的几何(jǐhé)意义三、微分(wēifēn)的运算法那么

四、微分在近似计算中的应用

第三节微分及其在近似计算中的作用第八十一页，共106页。81一、微分(wēifēn)的概念例1:一块(yīkuài)正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积(miànjī)改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,那么面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其第八十二页，共106页。82第八十三页，共106页。83的微分(wēifēn),定义:假设(jiǎshè)函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数(chángshù))那么称函数而称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,第八十四页，共106页。84说明(shuōmíng):时,所以(suǒyǐ)时很小时,有近似(jìnsì)公式与是等价无穷小,当故当第八十五页，共106页。85第八十六页，共106页。86二微分(wēifēn)的几何意义当很小时,那么(nàme)有从而(cóngér)导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记第八十七页，共106页。87三、微分(wēifēn)的运算法那么设u(x),v(x)均可微,