空间向量复习

空间向量复习1、基础知识2、向量法3、坐标法空间向量基础知识空间向量的坐标表示：空间向量的运算法则：若向量的共线和共面共线:共面

两点间的距离公式模长公式

夹角公式

方向向量：法向量空间角及距离公式线线线面面面点面点线点面线线线面面面夹角距离堂上基础训练题2.已知与平行，则a+b=_____3.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（）A(1,7,5)B(1,-7,5)C(-1,-7,5)D(1,-7,-6)1.已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则的坐标是_______，AB中点坐标是______=

____4.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若的坐标为

.8.设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则＝________

7.若的夹角为

.6、已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），若与夹角是钝角，则x取值范围是_____5.已知向量，，a与b的夹角为____

向量法例题1．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是OC与AB的中点，求证

ABCEFO若求OA与BC夹角的余弦8654例题2在平行六面体中，底面ABCD是边长a为的正方形，侧棱长为b，且（1）求的长；（2）证明：AA1⊥BD，AC1⊥BD（3）求当a：b为多少时，能使AC1⊥BDA1小测1．棱长为a的正四面体ABCD中，

。2．向量两两夹角都是，，则

。3、已知SABC是棱长为1的空间四边形，M、N分别是AB，SC的中点，求异面直线SM，BN与所成角的余弦值NMSCBA坐标法（1）求证：；（2）求EF与所成的角的余弦；（3）求的FH长D1HGFEABCDA1B1C1例1．在棱长为的正方体中，分别是中点，

G在CD棱上，，H是的中点，例题2已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.例题3如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小例题4已知菱形ABCD，其边长为2，∠BAD=60O，今以其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得空间四边形ABCD（如图），求：（a）AB与平面ADC的夹角；二面角B-AD-C的大小。

小测D1C1B1A1ABCD1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，AA1＝6，求(1)异面直线BD1和B1C所成角的余弦值（2）BD1与平面AB1C的夹角2、如图，RtΔABC在平面α内，∠ACB=900,梯形ACDE中,AC∥DE,CD⊥α,DE=1,AC=2,∠ECA=450,求AE与BC之间的距离

棱锥、圆锥的体积复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。

2、V柱体＝ShV圆柱＝πr2h

3、柱体体积公式的推导：柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平面所截截面面积始终相等体积相等∵V长方体＝abc∴V柱体＝ShV圆柱＝πr2hα问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下锥体体积是否具有相似的结论？定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面积始终相等＝两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S1hShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。

把这两个锥体放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内，用平行于平面α的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2，

那么根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA’C’B’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCA’B’CA’C’B’ABCA’与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’C’B’把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’C’B’连接B’C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。

就是三棱锥1

和另两个三棱锥2、3。１23定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh

就是三棱锥1

和另两个三棱锥2、3。BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’１23定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShBCA’B’2CA’C’B’3ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShCA’C’B’3ABCA’1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1高定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。高也相等（顶点都是A’）。高定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2V1＝V2＝V3＝V三棱锥定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥＝Sh证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底△BCB1、△C1B1C的面积相等，高也相等（顶点都是A1）∵V1＝V2＝V3＝V三棱锥。∵V三棱柱＝Sh。∴V三棱锥＝Sh。ABCA’C’B’１23任意锥体的体积公式：

定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh

推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是

V圆锥＝πr2h小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是

V圆锥＝πr2h例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

证明：在平面BCD内，作DE⊥BC，垂足为E，连接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。

根据三垂线定理，AE⊥BC。∴∠AED＝θ。V三棱锥＝S△BCD·AD＝S△ABC

·ADcosθ

＝×BC·ED·AD＝×BC·AEcosθ·AD例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

问题1、ADcosθ有什么几何意义？

F

结论：V三棱锥＝S△ABC·d

例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

结论：V三棱锥＝VC-AED＋VB-AED

问题2、解答过程中的

×BC·AEcosθ·AD其中

AEcosθ·AD可表示意思？∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ED·AD又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。

分析：练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请列出三棱锥体积表达式）ABCDA’C’B’D’问题1、你能有几种解法？

问题2、如果这是一个平行六面体呢？或者四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？C

DAB

问题2、如果改为求棱长为a的正四面体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种解法？解一、补形，将三棱锥补成一个正方体。解二、利用体积公式

V四面体＝S△BCD·h

解三、将四面体分割为三棱锥C-ABE和三棱锥D-ABEE小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明分两步进行：⑴、证明底面积相等、高也