高中数学教法和学法探讨

高中数学教法(jiàofǎ)和学法探讨石家庄一中郑景哲第一页，共148页。1数学(shùxué)是什么？纯数学的研究对象是现实世界的空间关系(guānxì)和数量关系(guānxì).思维的科学------要学会思考经验的科学------要学会积累演绎的科学------要注重(zhùzhòng)联系第二页，共148页。2文字语言符号语言图表语言最重要的一关学会(xuéhuì)进行〞语言转换〞第三页，共148页。3抽象概括的过程(guòchéng)------要寻找规律推理过程(guòchéng)------符合算理,有根有据第四页，共148页。4符号、集合、函数、方程、数形结合、分类(fēnlèi)讨论转化与化归第五页，共148页。5汇报内容(nèiróng)：〔1〕初高中衔接〔2〕高考备考第六页，共148页。6一．初高中衔接(xiánjiē)第七页，共148页。7新课程改革以来，我们每一届接新生的时候，总会有一个感觉，学生怎么比以前“笨〞了呢？固然有我们刚从高三下来的错觉，问题是学生确实和以前相比发生了巨大的变化,无论是计算能力，推理能力，记忆能力，还是(háishi)标准性都有明显的下降，为什么呢？第八页，共148页。8第九页，共148页。9第十页，共148页。10第十一页，共148页。11以上(yǐshàng)表格引自苗孟义老师第十二页，共148页。12〔1〕抽象程度(chéngdù)突变，高中的数学语言与初中有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合符号语言、函数语言、图形语言等。高一年级的学生一开始的思维梯度太大，以至集合、函数等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄〞。

初高中数学(shùxué)比照第十三页，共148页。13〔2〕思维方法向理性层次跃进，高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式(móshì)，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。第十四页，共148页。14〔3〕知识内容的整体数量剧增，高中数学比初中数学的知识内容的“量〞上急剧增加了，单位时间内接受(jiēshòu)知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。这也使很多学习被动的、依赖心理重的高一新生感到不适应。第十五页，共148页。152.高中数学要求的深度难度大大提高：高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度、能力(nénglì)要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握根底知识与技能为进一步学习做好准备，高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力(nénglì)要求高。如二次函数在闭区间上的最值求法，实根分布与参变量的讨论，三角公式的变形与灵活应用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。第十六页，共148页。163.教师的授课模式有很大的不同：初中课堂教学量小、知识简单，通过教师课堂较慢的速度(sùdù)，争取让全面同学理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导到达对知识的反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多〔有九门课学生同时学习〕，每天至少上六节课，自习时间三节课，这样各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相比照初中少。第十七页，共148页。174.初中学生自学能力低，大凡考试中所用的解题方法和数学思想，在初中教师根本上已反复训练，学生根本上不需自学。但高中的知识面广，知识要全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯穿这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解(lǐjiě)，将会使学生失去一类型习题的解法。第十八页，共148页。185.初中学生由于学习数学知识的范围小，知识层次低，知识面窄，对实际问题的思维受到了局限。就几何来说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但初中只学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的逻辑思维和判断。代数中数的范围只限定在实数中思维，就不能深刻(shēnkè)的解决方程根的类型等。高中数学知识的多元化和广泛性，将会使学生全面、细致、深刻(shēnkè)、严密的分析和解决问题，也将培养学生高素质思维，提高学生的思维递进性。第十九页，共148页。196.初中数学中，题目、和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。在高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。另外，在高中学习中我们还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题(jiětí)所用的数学思想。第二十页，共148页。20心理学中有“首因效应〞，人有第一印象，初高中衔接如果处理不好，很多同学可能会对数学(shùxué)产生厌学情绪，这是我们所不愿看到的。因此，我们要耐心，给予学生成长所需要的时间，以促进学生的顺理成长，根本上一个月，大局部学生就可以适应了，然后学习习惯再慢慢的改进。第二十一页，共148页。21二．高考(ɡāokǎo)备考波利亚：学习数学就是学习解题。中学数学教学的首要任务就是加强(jiāqiáng)解题的训练。对于教师而言，解题习惯与能力如何？是否有研究题目的习惯？选题能力如何？都直接关系到解题教学的效果，其核心内容应为选题，也就是题目是否具有典型性、代表性。第二十二页，共148页。22数学高考(ɡāokǎo)的三个维度

1.知识与技能

2.思想与方法

3.能力与意识第二十三页，共148页。23数学科的命题，在考查(kǎochá)根底知识的根底上，注重对数学思想方法的考查(kǎochá)，注重对数学能力的考查(kǎochá)，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查(kǎochá)，努力实现全面考查(kǎochá)综合数学素养的要求。第二十四页，共148页。24数学新高考的主要特点

●立足根底适度综合

●注重思想优化策略

●能力立意力求创新

●把握实质探索(tànsuǒ)规律

第二十五页，共148页。25数学高考的两个关注点

●立足根底能力立意

●突出(tūchū)思维淡化运算第二十六页，共148页。26数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心.数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜测、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和开展理性思维，构成(gòuchéng)数学能力的主体.

第二十七页，共148页。27数学思想是对数学知识的本质的认识，是对数学规律的理性认识(lǐxìngrènshi)，是从某些具体的数学内容和对数学认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、开展和应用的过程中.第二十八页，共148页。28本质简单说其实只是在说这种解法最简单,能够揭示更多的相关问题,更有启发性。这就要求学生在学习生活中，不断地深化自己(zìjǐ)的认识，优化自己(zìjǐ)的解法，以提升自己(zìjǐ)的思维品质和思维方法,提高数学素养。第二十九页，共148页。29考查(kǎochá)到辅助角公式，辅助角确实定以及取得最值的条件。考查(kǎochá)细腻，师生都不太关注的考点2013新课标卷理第三十页，共148页。30第三十一页，共148页。31卡住2013年新课标理第三十二页，共148页。32凑配法第三十三页，共148页。33整式(zhěnɡshì)的除法第三十四页，共148页。34第三十五页，共148页。35有没有简单(jiǎndān)的方法呢？第三十六页，共148页。36以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式等)交汇命题．利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养．针对这一类题目(tímù)，我们的措施是分散难点，以根底知识、根本思想为切入点，加强平时的一点一滴的训练和培养,在提高熟练度和标准性的根底上，提升数学能力和思维品质。函数(hánshù)导数第三十七页，共148页。371、简单(jiǎndān)的函数求导第三十八页，共148页。382、求曲线(qūxiàn)的切线方程第三十九页，共148页。393、求曲线(qūxiàn)的切线方程切线(qiēxiàn)与方程的解的问题第四十页，共148页。404、求函数的单调(dāndiào)区间、极值最值第四十一页，共148页。41第四十二页，共148页。42第四十三页，共148页。43第四十四页，共148页。44别离(biélí)参数法：第四十五页，共148页。45别离(biélí)参数法：第四十六页，共148页。46教材(jiàocái)上说的是可导函数的导数小于零，那么函数单调递减。此处说的是充分性，并没有说充要性。我们总结一下：第四十七页，共148页。475、由函数(hánshù)单调性求参数的范围第四十八页，共148页。486、利用(lìyòng)导数解决不等式问题在教学中，注意分类(fēnlèi)讨论、数形结合、转化化归、函数方程等数学思想的渗透，在具体技能培养的同时，帮助学生对“大方向〞的把握。第四十九页，共148页。49以几道高考题为例，分析这些问题的解法一、三种方法的展示(zhǎnshì)二、二元不等式的证明三、整体代换法第五十页，共148页。502013年新课标卷理第五十一页，共148页。51第五十二页，共148页。52第五十三页，共148页。53第五十四页，共148页。54运用(yùnyòng)特殊值缩小讨论的范围第五十五页，共148页。55第五十六页，共148页。56别离(biélí)参数法：第五十七页，共148页。57别离(biélí)参数法：第五十八页，共148页。58高等数学背景(bèijǐng)：洛必达法那么第五十九页，共148页。59第六十页，共148页。60第六十一页，共148页。61别离(biélí)参数法：第六十二页，共148页。62第六十三页，共148页。63第六十四页，共148页。64第六十五页，共148页。65第六十六页，共148页。66分类(fēnlèi)讨论法第六十七页，共148页。67别离(biélí)参数法第六十八页，共148页。68放缩变形(biànxíng)法第六十九页，共148页。69第七十页，共148页。70第七十一页，共148页。71放缩变形(biànxíng)第七十二页，共148页。72第七十三页，共148页。73关于二元不等式的证明思想应该是来自于2004年全国2的压轴题。证明方法大致有：1.把一个视为主元，另一个视为副元,构造函数法；2.代入消元法;3.比值(bǐzhí)减元法;4.不等式放缩法;5几何意义转化法.二元不等式第七十四页，共148页。74二元不等式第七十五页，共148页。75第七十六页，共148页。76第七十七页，共148页。77第七十八页，共148页。782012新课标卷理科(lǐkē)压轴题第七十九页，共148页。79第八十页，共148页。80第八十一页，共148页。81第八十二页，共148页。82第八十三页，共148页。832012年新课标卷理科(lǐkē)二元不等式第八十四页，共148页。84第八十五页，共148页。85第八十六页，共148页。86第八十七页，共148页。87第八十八页，共148页。88第八十九页，共148页。89第九十页，共148页。90第九十一页，共148页。91第九十二页，共148页。92第九十三页，共148页。93高等数学背景(bèijǐng)：泰勒展开式第九十四页，共148页。94二元不等式第九十五页，共148页。95第九十六页，共148页。96高等数学背景(bèijǐng)：拉格朗日中值定理及其逆命题第九十七页，共148页。97第九十八页，共148页。98二元不等式第九十九页，共148页。99第一百页，共148页。100第一百零一页，共148页。101二元不等式第一百零二页，共148页。102二次求导第一百零三页，共148页。103第一百零四页，共148页。104第一百零五页，共148页。105二元不等式第一百零六页，共148页。106整体消元法或整体代换也是现在命题的一个趋势，2012年文科21题，也是一道这样的题目(tímù)，别离参数，整体代换，化超越式为一般式。第一百零七页，共148页。107整体(zhěngtǐ)代换法第一百零八页，共148页。108第一百零九页，共148页。109第一百一十页，共148页。110第一百一十一页，共148页。111第一百一十二页，共148页。112第一百一十三页，共148页。113解析几何(jiěxījǐhé)高考考查特点〔１〕题型稳定,整体平衡；〔2〕能力立意，渗透数学思想；〔3〕日益新颖，突出思维，淡化运算。近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型:

①求曲线方程(类型确定、类型未定);

②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题);

③与曲线有关的最(极)值问题;④与曲线有关的几何证明(对称(duìchèn)性或求对称(duìchèn)曲线、平行、垂直);

⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;第一百一十四页，共148页。114由于圆锥曲线是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定。重点就是两个问题，一个是曲线求方程，一个是方程研究曲线的性质。近几年解析几何试题的难度有所下降,选择题、填空题均属易中等题,且解答(jiědá)题计算量减少,思维量增大，突出数形结合，淡化繁琐计算。增加圆的比重，削弱双曲线。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等),凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。第一百一十五页，共148页。115解析几何中根本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些(yīxiē)解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．第一百一十六页，共148页。116解析几何重点问题：1.圆锥曲线定义；2.圆锥曲线方程；3.圆锥曲线几何性质(xìngzhì)〔离心率及其范围问题〕；4.求点的轨迹方程问题；5.直线与圆锥曲线的位置关系〔弦长问题，中点弦问题，定值定点问题，最值问题〕；6.与圆综合的问题；第一百一十七页，共148页。117解析几何简化运算(yùnsuàn)的方法1、回归定义(dìngyì)；2、设而不求，整体运算；3、利用图形的几何性质；4、选用方程适当形式；5、换元引参；6、结构相同或相近的“同理〞第一百一十八页，共148页。1181、圆锥曲线(yuánzhuīqǔxiàn)定义第一百一十九页，共148页。1192、圆锥曲线(yuánzhuīqǔxiàn)方程第一百二十页，共148页。1203、圆锥曲线几何(jǐhé)性质第一百二十一页，共148页。121离心率(xīnlǜ)及其范围第一百二十二页，共148页。1224、求点的轨迹(guǐjì)方程求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)相关点法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x’，y’)的变化而变化，并且Q(x’，y’)又在某曲线上，那么可先用x，y的代数式表示x’，y’，再将x’，y’代入曲线得要求(yāoqiú)的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．第一百二十三页，共148页。123求点的轨迹(guǐjì)方程：第一百二十四页，共148页。1245、直线与圆锥曲线的位置(wèizhi)关系1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．复习时，应从“数〞与“形〞两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关(xiāngguān)的不等式与等式的证明问题．第一百二十五页，共148页。125学生容易忽略的联立后的二次项系数以及(yǐjí)判别式的讨论。第一百二十六页，共148页。126〔1〕弦长问题(wèntí)第一百二十七页，共148页。