微分中值定理及其应用(大学毕业论文)

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毕业论文(设计)

题目名称：微分中值定理的推广及应用

题目类型：理论讨论型

同学姓名：邓奇峰

院(系)：信息与数学学院

专业班级：数学10903班

指导老师：熊骏

辅导老师：熊骏

时光：2022年12月至2022年6月

名目

毕业设计任务书I开题报告II指导教师审查意见III评阅教师评语IV答辩会议记录V中文

微分中值定理的推广及应用

同学：邓奇峰，信息与数学学院

指导教师：熊骏，信息与数学学院

【

TheExtensionandApplicationoftheDifferentialMean

ValueTheorem

Student:DengQifeng,SchoolofInformationandMathematics

Tutor:XiongJun,SchoolofInformationandMathematics

【Abstract】Thedifferentialmeanvaluetheorem,isthefundamentaltheoremofcalculus,isthecommunicationbridgebetweenfunctionanditsderivative,isanimportantmathematicaltoolintegratedlocalresearchapplicationfunctionderivative,playsaveryimportantroleinCalculus.Thispaperdescribesthedevelopprogress，thecontentsandtheintrinsiclinkbetweenthedifferentialmeanvaluetheorem;Thenlookatthedifferentialmeanvaluetheoreminsolvingproblems,suchas:thediscussionoftheroots(zero)inexistence,limitandproofofinequality.

Becauseoftenproofofdifferentialmeanvaluetheoremandrelatedpropositionsintheformisnotthethreetheoremsofadirectconclusion,thisrequiresthehelpofasuitableauxiliaryfunction,equivalenttomathematicalproblems,but,howtoconstructtheauxiliaryfunctionappropriateisoftenmoredifficult.Thekeyishowtosolvetheproblemofmeanvaluetheorembyconstructinganauxiliaryfunction,expoundstheimportanceofthedifferentialmeanvaluetheoremfromthecombinationoftheoryandpractice.

TheLagrangemeanvaluetheoremandtheCauchymeanvaluetheoremareextensionsoftheRollemeanvaluetheorem.Inthisarticle,theRollemeanvaluetheoremhasbeenconcludedanddeducedinfewmoreformsthathelpedtoexpandtheuseoftheRollemeanvaluetheorem.Also,thearticlehasdemonstratedoftheapplicationofdifferentialmeanvaluetheoreminderivativelimit,derivativeestimatevalue,existenceofrootofanequation,proofofinequalityandcalculationoffunctionallimituponmanyexamples.

【Keywords】Differentialmeanvaluetheorem;Rollemeanvaluetheorem;TheLagrangemeanvaluetheorem;theCauchymeanvaluetheorem;Contact;Promotion;Application

微分中值定理的推广及应用

1引言

通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不行缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的全部定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础学问的一块十分重要的内容。由此可知，对于深化的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的讨论，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为讨论对象，利用它们来研究一些方程根（零点）的存在性,和对极限的求解问题，以及一些不等式的证实。

2题目来源

源于对微分中指定理的学习与爱好，以及其在生活中各领域的重要应用。

3讨论目的和意义

目的：本课题的主要目的是协助同学多角度地了解微分中值定理的证实及其相关应用。

意义：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是讨论函数变化形态的纽带，因而在微分学中占有很重要的地位。通过微分学基本定理的介绍，揭示函数与其导数之间的关系，在学问结构和思想体系中，建立起应用导数进一步讨论函数性质的桥梁。

在各类大型考试中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考点，常以该定理的证实及应用浮现，涉及一些理论分析和证实，还有在极值问题中的实际应用，因而对其举行较深层次的挖掘与探讨就显得很有须要。

4国内外现状和进展趋势与讨论的主攻方向

人们对微分中值定理的讨论，从微积分建立之后就开头了。1637年，闻名法国数学家费马在《求最大值和最小值的办法》中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多

项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证实。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是囫囵微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证实；应用导数推断函数升高、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至囫囵高等数学的重要理论，它架起了利用微分讨论函数的桥梁。微分中值定理从出生到现在的近300年间，对它的讨论时有浮现。特殊是近十年来，我国对中值定理的新证实举行了讨论，仅在国内发表的文章就近60篇。

5微分中值定理的进展过程

微分中值定理是微分学的核心定理之一[1]。微分中值定理是讨论函数性态和函数性质的重要工具，它有着显然的物理意义和几何意义。以拉格朗日中值定理为例，它表明“一个表示事物运动函数的曲线段，必然有一点的切线要平行于曲线段两个端点衔接的弦”。[2]所以人们非常重视微分中值定理及其应用的讨论。

古希腊时代，人们就对微分中值定理的相关内容有了朦胧的熟悉。公元前古希腊人就知道如下结论：对于抛物线形成的弓形，过弓形顶点的切线一定平行于抛物线形成的弓形的底。古希腊的闻名数学家阿基米德(Archimedes，公元前287——前221)也据此讨论出：对于随意抛物线形成的弓形的面积都可以求出来。意大利闻名数学家卡瓦列里(Cavalieri，公元1598——公元1674，)在《不行重量几何学》(1635年出版)中给出的引理3有如下几何观点：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦[3]。

1637年，法国大数学家费马(Fermat，公元1601一公元1665)在《求最大值和最小值的办法》中推导出一个定理，在大多数高等数学教材中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理——费马定理，常被用来证实罗尔定理，也被用来作为推断极值存在的须要条件。

作为微积分创立者之一的数学家费马在讨论微小问题和极大问题的解法时，讨论出“虚拟等式法”[4]——费马定理原形。虚拟等式法的含义可以用以下例子来加以说明：有一个线段，设其长度，问如何把这样一个线段截成两个线段，使这两个线段长度乘积最大。

1691年，法国数学家罗尔(公元1652——公元1719)在其发表的《方程的

解法》一文中给出多项式形式的费马定理的推广[5]引申式——罗尔定理：

“设1011100nnnaxaxaxa--++++=L为多项式，在多项式

1011100nnnaxaxaxa--++++=L2

的两个相邻根中，方程

()1202210nnnnaxnaxa+-++=L

至少有一个实根。”

这被称为原始的罗尔定理。固然也是现代罗尔定理“若函数f，在[],ab上延续，在(),ab内可导，且()()fafb=则在(),ab内至少存在一点ξ，使得()0fξ'=”在多项式中的详细应用。

从罗尔定理推导过程和详细内容来看，它和现在高等数学教材中的罗尔定理是有所不同的，用纯代数办法证实的罗尔定理和微积分概念几乎没有什么联系。我们现在看到的对普通函数的罗尔定理，是后人按照微积分理论重新表述和证实的。1834年，德国数学家德罗比什首先提出“罗尔定理(Rolle定理)”这一名称，并于1846年，由意大利数学家贝拉维蒂斯(Bellavifis)在发表的论文中正式使用。

由上可知，人们对微分中值定理的讨论[6]大约经受了将近三百年时光，从一开头的直观到现在的抽象表达，从一开头的特别形式到现在的普通形式，从一开始，要求的强条件到现在的弱条件，人们逐渐熟悉到微中值定理的重要性。循序渐进是人们熟悉探究事物逻辑的普通过程，微分中值定理的进展形成也不例外，晦涩难懂的证实推理被一些新的更容易的办法所替代，应用范围逐步扩大，这是数学进展的必由之路。

6微分中值定理的基本内容

中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是微分学应用以及自身进展的理论基础，因此说中值定理是微分学的基本定理[7]。它在数学中占了很重要的位置，本文主要介绍它在解题中的一些应用。

中值定理有四个：罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）定理。

6.1罗尔(Rolle)中值定理

若函数f，在[],ab上延续，在(),ab内可导，且()()fafb=,则在(),ab内至少存在一点ξ，使得()0fξ'=

罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段延续曲线上，假如曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注：定理中三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。

6.2拉格朗日(Lagrange)中值定理

若函数f，在[],ab上延续，在(),ab内可导，则在(),ab内至少存在一点ξ，

使得()()()fbfafba

ξ-'=-拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两点的连线。

拉格朗日公式有下面几种等价表示形式[8]：

()()()(),fbfafbaab

ξξ'-=-都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一定数。另外，若取,axbxx==+?，则拉格朗日公式可变成

()()()yfxxfxfxξ'?=+?-=?

最后要注重的是，拉格朗日定理和柯西定理中的条件只是充分条件，而不是须要条件[9]。

6.3柯西（Cauchy）中值定理

假设函数()fx和()gx在[],ab上延续，在(),ab内可导，且()0gx'≠，则至少存在一点(),abξ∈，使

()()()()

fbfafba

gξξ'-='-柯西中值定理的几何意义是：满足定理条件的由()(),ugxvfx==所确定的曲线上至少有一点，曲线的切线平行两端点连线。

6.4泰勒（Taylor）定理

若()fx在包含()fx的某开区间(),ab内具有直到1n+阶的导数，则当

(),xab∈时，有

()()()()()()()()()()200000001!2!!

nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRxn'''=+-+-++-+L其中()nRx是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：

()()()()1011!nnnxxRxfnλ++-=+，()0,xxλ∈

7微分中值定理之间的联系

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例。由于，在柯西中值定理中令()gxx=，得到拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中增强条件()()fafb=，即得到罗尔定理。

罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西中值定理，三个中值定理的几何意义有一个共同点：定理条件的函数曲线上至少有一点的切线平行曲线在区间上两端点的连线。

总的来说，这三个定理既单独存在，互相之间又存在着联系。我们从上面的研究中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。

8微分中值定理的应用

微分中值定理是微分学的理论基础，微分学的无数重要应用都建立在这个基础上。微分中值定理常用来解决下列问题：推断可导函数在给定区间内根的存在以及根的个数，求出与给定函数相应的中值公式，并证实可导函数的某些等式与不等式，证实可导函在区间上（内）的某些整体性质，如单调性、有界性、全都延续性、零点以及其他一些性质。

对于这些证实题，除了运用微分中值定理这些办法外，还有三种证实技巧：一是直接证实，这种状况不多见，普通在验证符合某定理条件后，即可定理得出结论；二是引入辅助函数，这种状况比较常见，一个般是将待为形（如拼凑重组、移项等），构成一个或两个新的辅助函数，验证它们符合某个中值定理，然后利用定理导出待证结论，这种办法需要一定的技巧，而技巧往往又要按照详细问题确定；三是反证法，假设待证命题的逆例题成立，然后从推导过程中找出与已知结论（包括极限、延续、可微等级概念与法则、性质）的冲突，从而证实原命

题成立[10]

。8.1根的存在性证实

【例1】证实方程32432axbxcxabc++=++在()0,1内至少有一个实根，其中,,abc均为常数。

证设()()32432Fxaxbxcxabcx=++-++，上面的问题等价于()Fx的导数()Fx'在内至少有一个零点。

由于()Fx在()Fx上延续，在()0,1内可导，且()()010FF==。

于是由罗尔定理知，至少存在一点()0,1ξ∈，使

()()324320Fxabcabcξξξ'=++-++=，

即()0,1ξ∈是方程32432axbxcxabc++=++的根。

【例2】函数()()211,0,1,22!n

nnnn

dPxxnndx=-=L称为n次勒让德多项式，证实：()nPx在()1,1-内恰有n个不同的实根[11]。

证由高阶导数的莱布尼茨公式知，函数

()()221,0,1,2,,1mnmmdQxxmndx

-=-=-L中都含有21x-因式，故当mn，证实在(),ab内方程

()()()()222xfbfabafx'-=-????

至少存在一根。分析：因为题目是要求方程()()()()222xfbfabafx'-=-????是否有根存在，

所以可以先对方程举行变形，把方程变为()()()()2220xfbfabafx'=????

。那么方程

()()()()222xfbfabafx'-=-????

有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有()fx'存在，所以可以利用不定分把方程

()()()()2220xfbfabafx'=????

改变为

()()()()2220fbfaxbafx=????

现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道()fx在区间[],ab上延续，在区间(),ab内可导()0a>，由函数的延续性和求导的概念，可以得到函数

()()()()222fbfaxbafx????

在[],ab上延续,在(),ab内可导()0a>，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证实该题了。

证令

()()()()()222Fxfbfaxbafx=????

明显，()Fx在[],ab上延续,在(),ab内可导，

而()()()()22FafbabfaFb=-=

按照Rolle定理,至少存在一点ξ，使

()()()()222fbfabafxξ'-=-????.

【例5】设()fx在[],ab上延续，在(),ab可导()0ab。分析：因为题目中有1

na和11na+，则可以试着构造辅助函数()xfxa=，那么就

可以得到()fx在11,1nn????+??延续，在11,1nn???+?

?可导，即可以利用Lagrange定理解题了。

解按照题意，由Lagrange定理，有

112

1limnnnnaa+→∞??-???()211lim1nxnnannξ=→∞??'

=?-?+??

()

2lnlim1nnaannξ→∞=+lna=其中，11,1nnξ??∈?+??

【例2】已知

na=

L，试求limnxna→。解令

()fx=则对于函数()fx在()(),1nnknnk+++????上满足Lagrange定理可得：

=，()()()(),1n

nknnkξ

∈+++

，对随意xI∈，有()fxL'≤。由此可得

()()12fxfxε-，取0Lε

δ=>，对随意12,xxI∈，且12xxδ-，对01α时，(),1xξ∈，11αξ->

即11xxααα

->-

又

()10xxααα-=--，

即11xαα-时，()1,xξ∈，11αξ-

故1xxααα->-，

即11xαα->时，成立不等式

ln.babbabaa

-->）

由于f(x)在[,]ab上可导，则由拉格朗日中值定理有